《试卷3份集锦》福建省莆田市2020高一数学下学期期末考试试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将函数
()sin 2f x x =的图象向右平移
6
π
个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（ ） A ．()sin 23g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
B ．()sin 26g x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
C ．()sin 23g x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
D ．()sin 26g x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
2．某中学举行高一广播体操比赛，共10个队参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签供大家抽签，高一（l ）班先抽，则他们抽到的出场序号小于4的概率为（ ） A ．
710
B ．
15
C ．
25
D ．
310
3．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA|＋|MB|最短，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,0)
B ．(1,0)
C ．2205⎛⎫
⎪⎝⎭
， D ．2205⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
4．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
5．在空间直角坐标系中，点P （3，4，5）关于yOz 平面的对称点的坐标为( ) A ．（−3，4，5） B ．（−3，−4，5） C ．（3，−4，−5） D ．（−3，4，−5）
6．设1
12
2
5
11,, 7241a b c log --⎛⎛⎫
⎪⎫
=== ⎝⎝⎭⎪⎭，则（ ） A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．b a c >>
D ．a c b >>
7．若点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，则l 的方程为（ ）
A ．10x y -+=
B ．10x y +-=
C ．2210x y -+=
D ．220x y +-=
8．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3
B ．0.4
C ．0.6
D ．0.7
9．现有1瓶矿泉水，编号从1至1．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为（ ） A ．3，13，23，33，43，53 B ．2，14，26，38，42，56 C ．5，8，31，36，48，54
D ．5，10，15，20，25，30
10．设数列{}n a 满足110a =，且()
*
13n n a a n n N +-=-∈，则数列
1
n a 中的最大项为（ ） A ．
17
B ．
855
C ．
18
D ．
19
11．为了得到函数sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ）
A ．向右平移6
π
个单位长度 B ．向右平移
3π
个单位长度 C ．向左平移
6
π
个单位长度 D ．向左平移3
π
个单位长度
12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =3π
4
c =
，则c =（ ）
A B ．1
C ．2
D
二、填空题：本题共4小题
13．若三角形ABC 的三个角A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，三角形ABC 的面
积ABC
S
=
，则b 的最小值是________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和2
21n S n n =++，则61a a +=___________．
15．已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：
则当[()]2f g x =时，x =_____________.
16．已知向量1,2,7a b a b ==+=，则a 与b 的夹角为______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．如图几何体中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且22PD AD EC ===.
（1）求证：//BE 平面PDA ； （2）求PA 与平面PBD 所成角的大小. 18．已知数列{}n a 满足156
a =，()*11133n n a a n N +=+∈.
（1）求证：数列12n a ⎧⎫
-
⎨⎬⎩⎭
是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.
19．（6分）已知：(2,5)(4,12)(2,13)A m B C m -，，三点,其中0m <. （1）若,,A B C 三点在同一条直线上，求m 的值； （2）当AB BC ⊥时，求AC ．
20．（6分）已知不经过原点的直线m 在两坐标轴上的截距相等，且点()2,2P 在直线m 上. （1）求直线m 的方程；
（2）过点P 作直线n ，若直线n ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，求直线n 的方程. 21．（6分）已知公差为正数的等差数列{}n a ，12a =，且248,,a a a 成等比数列. （1）求n a ；
（2）若1
2n n n b a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项的和n T .
22．（8分）
如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面PAD 是正三角形， 且侧面PAD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点． （1）求证：PB//平面EAC ； （2）求证：AE ⊥平面PCD ； （3）当
AD
AB
为何值时，PB ⊥AC ？ 参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论． 【详解】
由题意，将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6
π
个单位长度， 可得()sin 2()sin(2)6
3
g x x x π
π
=-=-
.
故选C ． 【点睛】
本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型. 2．D 【解析】 【分析】
古典概率公式得到答案. 【详解】
抽到的出场序号小于4的概率：310
P = 故答案选D 【点睛】
本题考查了概率的计算，属于简单题. 3．B 【解析】
【分析】
由集合性质可知，求出点A 关于x 轴的对称点，此对称点与点B 确定的直线与x 轴的交点，即为点M. 【详解】
点A 关于x 轴的对称点C 的坐标为：()3,8--，
由两点可得直线BC 方程为：22y x =-，可求得与y 轴的交点为()1,0. 故选B. 【点睛】
本题考查最短路径问题，辅助作图更易理解，注意求直线方程时要熟练使用最简便的方式，注意计算的准确性. 4．D 【解析】 【分析】
建立空间直角坐标系，结合90CMN ∠=︒，求出1,AD DM 的坐标，利用向量夹角公式可求. 【详解】
以1D 为坐标原点,11111,,D A D C D D 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,如图,
设11111,,D A a D C b D D c ===,则(0,,),(,,),(,,0)22
c a C b c M a b N b ,(,0,),(0,0,)A a c D c ,
(,0,)(,0,)222
c a c CM a MN =-=--，,1(,,)(,0,)2c
DM a b D A a c =-=， 因为90CMN ∠=︒,所以0CM MN ⋅=,即有222c a =.
因为2
2
22102
c DM D A a a a ⋅=-=-=,所以1DM AD ⊥,即异面直线1AD 和DM 所成角为90︒.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查异面直线所成角的求解，异面直线所成角主要利用几何法和向量法，几何法侧重于把异面直线所成角平移到同一个三角形内，结合三角形知识求解；向量法侧重于构建坐标系，利用向量夹角公式求解.
5．A 【解析】 【分析】
由关于Oyz 平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，即可得解. 【详解】
关于Oyz 平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点P （3，4，5）关于Oyz 平面的对称点的坐标为（−3，4，5）．故选A ． 【点睛】
本题主要考查了空间点的对称点的坐标求法，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】
首先化简,a b ，可得到,a b 大小关系，再根据15
log 7 0c =<，即可得到,,a b c 的大小关系.
【详解】
111
1
2221()(2)22
a ---====
1122
2(1)4
2)2(b ---===，
1155 log 7 log 10c =<=. 所以b a c >>. 故选：C 【点睛】
本题主要考查指数，对数的比较大小，熟练掌握指数和对数函数的性质为解题的关键，属于简单题. 7．A 【解析】 【分析】
根据A ，B 关于直线l 对称，直线l 经过AB 中点且直线l 和AB 垂直，可得l 的方程. 【详解】
由题意可知AB 中点坐标是2121,22a a -+⎛⎫
⎪⎝⎭
， (1)
1(1)
AB a a k a a -+=
=---，
因为A ，B 关于直线l 对称，
所以直线l 经过AB 中点且直线l 和AB 垂直， 所以直线l 的斜率为1
1l AB
k k -==， 所以直线l 的方程为2121
22
a a y x +--=-， 即10x y -+=， 故选：A. 【点睛】
本题考查直线位置关系的应用，垂直关系利用斜率之积为1-求解，属于简单题. 8．B 【解析】 【分析】 【详解】
分析：由公式()()()()P A B P A P B P AB ⋃=++计算可得 详解：设事件A 为只用现金支付，事件B 为只用非现金支付， 则()()()()P A B P A P B P AB 1⋃=++= 因为()()P A 0.45,P AB 0.15== 所以()P B 0.4=， 故选B.
点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题． 9．A 【解析】 【分析】
根据系统抽样原则，可知编号成公差为10的等差数列，观察选项得到结果. 【详解】
根据系统抽样原则，可知所抽取编号应成公差为10的等差数列
B 选项编号公差为12；
C 选项编号不成等差；
D 选项编号公差为5；可知,,B C D 错误
A 选项编号满足公差为10的等差数列，正确
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查抽样方法中的系统抽样，关键是明确系统抽样的原则和特点，属于基础题. 10．A
利用累加法求得{}n a 的通项公式，再根据1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的单调性求得最大项.
【详解】
因为13n n a a n +-=- 故()()()11221452n n n n a a a a a a n n ----+-++-=-+-+
+-
故()()()()
2
1121
217262
2
n n n a a n n n --=--+
=-+
则()
21117262
n a n n =
-+，其最大项是{}n a 的最小项的倒数， 又2
1755
228
n a n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当且仅当3n =或4n =时，n a 取得最小值7.
故
1n a 得最大项为17
. 故选：A. 【点睛】
本题考查由累加法求数列的通项公式，以及数列的单调性，属综合基础题. 11．B 【解析】 【分析】
由三角函数的诱导公式可得sin 2cos(2)cos 2()6623
y x x x ππππ
⎛
⎫
=-=--=- ⎪⎝
⎭，再结合三角函数图像的平移变换即可得解. 【详解】
解：由sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛
⎫=-=--=- ⎪
⎝
⎭， 即为了得到函数sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象，可以将函数cos 2y x =的图象向右平移
3
π
个单位长度， 故选：B. 【点睛】
本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题. 12．A
由余弦定理可直接求出c 边的长. 【详解】
由余弦定理可得，2
2
2
1c =+-3π
21cos
54
⨯=，所以c =故选A. 【点睛】
本题考查了余弦定理的运用，考查了计算能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题
13 【解析】 【分析】 先求出3
B π
=，再根据面积得到2ac =，再利用余弦定理和基本不等式得解.
【详解】 由题得3
B π
=
,
所以1sin 223ABC
S
ac ac π=
=∴=. 由余弦定理得2
2
2
221
222222
b a
c ac a c ac =+-⨯=+-≥-=，
当且仅当a c ==
.
所以b .
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．17 【解析】 【分析】
根据所给n S 的通项公式，代入求得1a ，并由665a S S =-代入求得6a .即可求得61a a +的值. 【详解】
数列{}n a 的前n 项和3
21n S n n =++，
则11214S =++=，
而26626149S =+⨯+=，2
5525136S =+⨯+=，
所以665493613a S S =-=-=， 则6141317a a +=+=， 故答案为：17. 【点睛】
本题考查了数列前n 项和通项公式的应用，递推法求数列的项，属于基础题. 15．3 【解析】 【分析】
根据已知，用换元法，从外层求到里层，即可求解. 【详解】
令(),()2,1,()1,3g x t f t t g x x =====. 故答案为:3. 【点睛】
本题考查函数的表示，考查复合函数值求参数，换元法是解题的关键，属于基础题. 16．
3
π 【解析】 【分析】
设a 与b 的夹角为θ，由条件7a b +=，平方可得1
cos 2
θ=
，由此求得θ的值． 【详解】
设a 与b 的夹角为θ，0θπ≤≤，则由7a b +=，平方可得 714212cos θ=++⨯⨯，
解得1cos 2θ=，∴3
πθ=， 故答案为
3
π． 【点睛】
本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，已知三角函数值求角的大小，属于中档题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）见解析（2）6
π
【解析】 【分析】
（1）由//BC AD ，//EC PD ，结合面面平行判定定理可证得平面//BEC 平面PDA ，根据面面平行的
性质证得结论；（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO ，利用线面垂直的判定定理可证得AO ⊥平面PBD ，从而可知所求角为APO ∠，在Rt APO ∆中利用正弦求得结果. 【详解】 （1）
四边形ABCD 为正方形 //BC AD ∴
又AD ⊂平面PDA //BC ∴平面PDA
又//EC PD ，PD ⊂平面PDA //EC ∴平面PDA
,EC BC ⊂平面BEC ，EC BC C = ∴平面//BEC 平面PDA
BE ⊂平面BEC //BE ∴平面PDA
（2）连接AC 交BD 于点O ，连接PO
PD ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD AO PD ∴⊥
又四边形ABCD 为正方形 AO BD ∴⊥
,BD PD ⊂平面PBD ，BD PD D = AO ∴⊥平面PBD
APO ∴∠即为PA 与平面PBD 所成角
2PD AD ==且PD AD ⊥ 22PA ∴=又2211
22222
AO AC =
=+=1sin 2AO APO PA ∴∠== 6
APO π
∴∠=
即PA 与平面PBD 所成角为：6
π
【点睛】
本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解，涉及到面面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质的应用；求解直线与平面所成角的关键是能够通过垂直关系将所求角放入直角三角形中来进行求解. 18．（1）证明见解析；（2）1123n n
a =+. 【解析】 【分析】
（1）利用数列{}n a 的递推公式证明出11
212
n n a a +-
-为非零常数，即可证明出数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）确定等比数列12n a ⎧⎫-
⎨⎬⎩⎭的首项和公比，求出数列12n a ⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭的通项公式，即可求出n a . 【详解】
（1）()*11133
n n a a n N +=+∈，1111
1111113233236211113222
2
n n n n n n n n a a a a a a a a +⎛⎫
-+--- ⎪⎝⎭∴====---
-，
因此，数列12n a ⎧⎫
-
⎨⎬⎩⎭
是等比数列； （2）由于11511
2623a -
=-=，所以，数列12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭是以13为首项，以13为公比的等比数列，
1
1111
2333
n n n a -⎛⎫
∴-=⨯= ⎪
⎝⎭
，因此，1123n
n a =+. 【点睛】
本题考查等比数列的证明，同时也考查了数列通项的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 19． (1）8
3
m =-（2）10AC = 【解析】 【分析】
（1）利用共线向量的特点求解m ；
（2）先利用AB BC ⊥求解m ，再求解AC . 【详解】
（1）依题有：()()42,7,24,1AB m BC m =-=--，
,,A B C 共线
()()427240m m ∴-++=
8
3
m ∴=-.
（2）由AB BC ⊥得：()()242470m m -++=
3
2m ∴=±
又0m < 3
2
m ∴=-
()()4,86,8AC m ∴=-=
10AC ∴=
【点睛】
本题主要考查平面向量的应用，利用共线向量可以证明三点共线问题，利用向量可以解决长度问题. 20．（1）40x y +-=；（2）260x y +-=或2x =. 【解析】 【分析】
（1）根据直线m 在两坐标轴上的截距相等列出直线方程，然后代入点()2,2P 即可求出直线方程； （2）首先根据直线n 过点()2,2P 设出直线方程，然后列出三角形的面积公式，根据面积等于2求出直线
n 的方程.
【详解】
（1）因为直线m 在两坐标轴上的截距相等， 设直线m ：
1x y
a a
+=， 将点()2,2P 代入方程，得4a =， 所以直线m 的方程为40x y +-=；
（2）①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为2x =， 直线m ，直线n 和x 轴围成的三角形的面积为2， 则直线m 的方程为2x =符合题意，
②若直线m 的斜率0k =，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意， ③若直线m 的斜率0k ≠，设其方程为()22y k x -=-，令0y =， 得2
2x k
=-
，由（1）得直线m 交x 轴()4,0， 依题意有
1224222k ⎛⎫⨯--⨯= ⎪⎝⎭，即2242k ⎛
⎫--= ⎪⎝⎭， 解得1
2k =-
，所以直线m 的方程为()1222
y x -=--， 即260x y +-=，
综上，直线m 的方程为260x y +-=或2x =. 【点睛】
本题考查了直线方程的求解与直线方程的综合应用，属于中档题.
21．（1）2n a n =；（2）3
(1)28n n T n +=-⨯+
【解析】 【分析】
（1）直接利用等差数列的性质的应用求出数列的公差，进一步求出数列的通项公式． （2）利用（1）的通项公式，进一步利用错位相减法求出数列的和． 【详解】
（1）设公差为(0)d d >，由2a ，4a ，8a 成等比数列，
得()()()2
11137a d a d a d +=++，结合12a =，解得2d =，或0d =（舍去）， ∴
22(1)2n a n n =+-=.
（2）∴112
2222n n n n n b a n n +++=⋅=⨯=⨯， ∴345
21222342n n T n +=⨯+⨯+⨯+
+⨯，① 456321222322n n T n +=⨯+⨯+⨯+
+⨯，②，
由①-②可得：
(
)3345233
33212222222
28212
n
n n n n n n T n n n +++++--=+++
+-⨯=
-⨯=--⨯-
3(1)28n n +=-⨯-
∴3
(1)28n n T n +=-⨯+.
【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 22．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
1）连结BD 交AC 于O ，连结EO,由EO//PB 可证PB//平面EA ．
（2）由侧面PAD ⊥底面ABCD ，CD AD ⊥，可证PDC PAD ⊥面面，又PAD 是正三角形，所以AE ⊥平面PCD ．
（3）设N 为AD 中点，连接PN ，则PN AD ⊥，可证PN ⊥底面ABCD ，所以要使PB ⊥AC ，只需NB ⊥AC ，由相似三角形可求得比值． 【详解】
（1）连结BD 交AC 于O ，连结EO,
因为O ，E 分别为BD.PD 的中点, 所以EO//PB,
0,E EAC PB EAC ⊂⊄平面平面,所以PB//平面EAC ．
（2）ABCD CD AD CD PAD PAD ABCD AD PDC PAD CD PDC ABCD PAD ⇒⊥⎫
⇒⊥⎫
⎪⋂⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⊥⎭
矩形面面面＝面面面面面
正三角形PAD 中，E 为PD 的中点，所以，AE PD ⊥， 又PDC PAD PD ⋂=面面，所以，AE ⊥平面PCD ． （3）设N 为AD 中点，连接PN ，则PN AD ⊥． 又面PAD ⊥底面ABCD ，所以，PN ⊥底面ABCD ． 所以，NB 为PB 在面ABCD 上的射影．
要使PB ⊥AC ，只需NB ⊥AC ，在矩形ABCD 中，设AD ＝1，AB ＝x,1
,2
AN = 由ANB BAC ∠=∠,得Rt NAB ∆∽Rt CBA ∆，
2212AN AB AB AN BC x AB BC =⇒=⋅⇒=
解之得：x = 所以，当AD
AB
=PB ⊥AC ． 【点睛】
本题综合考查线面平行的判定，线面垂直的判定，及探索性问题找异面直线垂直，第三问难度较大，需要把异面直线垂直转化为射影垂直，即共面垂直问题．
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在等差数列中，若.，则
（ ） A ．100
B ．90
C ．95
D ．20
2．同时抛掷三枚硬币，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为（ ） A ．
18
B ．38
C ．
14
D ．
12
3．二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制。

二进制数据是用0和1两个数码来表示的数。

它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则“借一当二”。

当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统，计算机中的二进制则是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，用0来表示“关”。

如图所示，把十进制数化为二进制数
,十进制数
化为二进制数
，把二进制数
化为十进制数为
，随机取出1个不小于，且不超过
的二进制数，其数码中恰有4个1的概率是
A ．
B ．
C ．
D ．
4．直线350x y +-=的倾斜角为( ) A ．30-
B ．60
C ．120
D ．150
5．已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．
1
3
B ．
23
C ．
3 D ．
23
6．在中，角对应的边分别是
，已知
，
，则等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．点M(4，m ）关于点N （n, － 3）的对称点为P （6，-9）则（ ） A ．m ＝－3,n ＝10 B ．m ＝3,n ＝10 C ．m ＝－3, n ＝5
D ．m =3, n = 5
8．已知直线1l ：210x y +-=，2l ：250x ny ++=，3l ：310mx y ++=，若12//l l 且13l l ⊥，则m n +的值为( ) A ．10-
B ．10
C ．2-
D ．2
9．已知三条相交于一点的线段,,PA PB PC 两两垂直且,,A B C 在同一平面内，P 在平面ABC 外、PH ⊥平面ABC 于H ，则垂足H 是ABC 的（ ）
A ．内心
B ．外心
C ．重心
D ．垂心
10．当前，我省正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张问题．已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ） A ．30
B ．40
C ．20
D ．36
11．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2 2.5x y ==，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是
A ．0.4.7ˆ1y
x =+ B ．2 1.2ˆ-y
x = C ．-37.5ˆy
x =+ D ．-2 6.5ˆy
x =+ 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．
53
π B ．
43
π
C ．223
π+
D ．243
π+
二、填空题：本题共4小题
13．若0,
x
，则满足2sin 2
x
的x
的取值范围为______________； 14．已知tan 2α
，()1
tan 7
αβ+=
，则tan β的值为 ．
15
．设,x y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
，则32z x y =-的最小值为__________．
16．ABC 中，222sin A sin B sin
C sinBsinC ≤+-，则A 的取值范围为______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 222cos 20C C ++=． （1）求角C 的大小； （2）若2b a =
，ABC ∆的面积为
2
sin sin A B ，求sin A 及c 的值． 18．某校研究性学习小组从汽车市场上随机抽取20辆纯电动汽车调查其续驶里程(单次充电后能行驶的最大里程),被调查汽车的续驶里程全部介于50公里和300公里之间,将统计结果分成5
组:[)50,100,[)100,150,[)150,200,[)200,250,[]250,300,绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中x 的值;
（2）求20辆纯电动汽车续驶里程的中位数;
（3）若从续驶里程在[]200,300的车辆中随机抽取2辆车,求其中恰有一辆车的续驶里程为[)200,250的概率.
19．（6分）如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，点123,,P P P 四等分线段BC ．
（Ⅰ）求112AB AP AP AP ⋅+⋅的值； （Ⅱ）若点Q 是线段3AP 上一点，且1
12
AQ AB mAC =
+，求实数m 的值． 20．（6分）已知函数f （x ）＝2cosx 3sinx ﹣cosx ）.
（1）求函数f （x ）的最小正周期及单调递减区间： （2）将f （x ）的图象向左平移6π个单位后得到函数g （x ）的图象，若方程g （x ）＝m 在区间[0，2
π
]上有解，求实数m 的取值范围.
21．（6分）三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题： （1）计算：
cos 2cos88sin 47sin133︒︒+︒︒,cos5cos85sin 50sin130︒︒+︒︒,cos12cos78sin 57sin123︒︒
+︒︒
；
（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程.
22．（8分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知3
cos 22cos 2
A A +=. （1）求角A 的大小；
（2）若4a =，且73
sin sin B C +=
，求ABC ∆的面积. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
利用等差数列的性质，即下标和相等对应项的和相等，得到.
【详解】 数列
为等差数列，
，
.
【点睛】
考查等差数列的性质、等差中项，考查基本量法求数列问题. 2．B 【解析】 【分析】
根据二项分布的概率公式()()
1n k
k k
n P X k C p p -==-求解.
每枚硬币正面向上的概率都等于
12
， 故恰好有两枚正面向上的概率为：2
23
113·228
C ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 故选B. 【点睛】
本题考查二项分布.本题也可根据古典概型概率计算公式求解. 3．D 【解析】 【分析】
利用古典概型的概率公式求解. 【详解】
二进制的后五位的排列总数为
，
二进制的后五位恰好有三个“1”的个数为，
由古典概型的概率公式得
.
故选：D 【点睛】
本题主要考查排列组合的应用，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】
把直线方程的一般式方程化为斜截式方程，求出斜率，根据斜率与倾斜角的关系，求出倾斜角. 【详解】
353
350x y x +-=⇒=+
350x y -=的倾斜角为α， 035
tan 15036
k ααπ=-
=⇒==，故本题选D. 【点睛】
本题考查了直线方程之间的转化、利用斜率求直线的倾斜角问题. 5．C
试题分析：设AC BD 、的交点为O ，连接EO ，则AEO ∠为,AE SD 所成的角或其补角；设正四棱锥的
棱长为a
，则312
,,222
AE a EO a OA a ===，所以222cos 2AE OA EO AEO AE OA +-∠=
⋅ 222
312()()()
322231
2()()
a a a a a +-=
=⨯⋅，故C 为正确答案． 考点：异面直线所成的角． 6．A 【解析】 【分析】 根据正弦定理求得，根据大边对大角的原则可求得.
【详解】 由正弦定理
得：
本题正确选项： 【点睛】
本题考查正弦定理解三角形，易错点是忽略大边对大角的特点，属于基础题. 7．D 【解析】
因为点M ，P 关于点N 对称，所以由中点坐标公式可知469
5,3,322
m n m +-==-=∴=. 8．C 【解析】 【分析】
由12l //l 且13l l ⊥，列出方程，求得n 40-=，m 60+=，解得,m n 的值，即可求解． 【详解】
由题意，直线1l ：210x y +-=，2l ：250x ny ++=，3l ：310mx y ++=， 因为12//l l 且13l l ⊥，所以40n -=，且60m +=， 解得4n =，6m =-，所以462m n +=-=-．
【点睛】
本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的位置关系，列出方程求解,m n 的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 9．D 【解析】 【分析】
根据题意，结合线线垂直推证线面垂直，以及根据线面垂直推证线线垂直，即可求解。

【详解】
连接BH ，延长BH 与AC 相交于E ，连接AH ，延长AH 交BC 于D ，作图如下：
因为,PA PC PA PB ⊥⊥，故PA ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ， 故BC PA ⊥；
因为PH ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 故BC PH ⊥；
又PA ⊂平面PAH ，PH ⊂平面PAH 故BC ⊥平面PAH ，又AH ⊂平面PAH ， 故BC AH ⊥， 即BC AD ⊥；
同理可得：AC BE ⊥，又BE 与AD 交于点H ， 故H 点为ABC 的垂心.
故选：D. 【点睛】
本题考查线线垂直与线面垂直之间的相互转化，属综合中档题. 10．A 【解析】 【分析】
先求出每个个体被抽到的概率,再由乙社区的低收入家庭数量乘以每个个体被抽到的概率,即可求解 【详解】
每个个体被抽到的概率为
901
3602701809
=++,
乙社区由270户低收入家庭,故应从乙中抽取低收入家庭的户数为1
270309
⨯=, 故选:A 【点睛】
本题考查分层抽样的应用,属于基础题 11．D 【解析】 【分析】
由于变量x 与y 负相关，得回归直线的斜率为负数，再由回归直线经过样本点的中心()2,2.5，得到可能的回归直线方程. 【详解】
由于变量x 与y 负相关，排除A,B ，把()2,2.5代入直线5ˆ2 6.y
x =-+得： 2.522 6.5=-⨯+成立，所以()2,2.5在直线上，故选D.
【点睛】
本题考查回归直线斜率的正负、回归直线过样本点中心，考查基本数据处理能力. 12．A 【解析】 【分析】
观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。

【详解】
设半圆柱体体积为1V ，半球体体积为2V ，由题得几何体体积为
231214*********
V V V π
ππ=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选A 。

【点睛】
本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题。

二、填空题：本题共4小题
13．3044πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪
⎪⎢⎣⎭⎝⎭
，， 【解析】
【分析】
本题首先可确定在区间0,
上2
sin 2
x
所对应的x 的值，然后可结合正弦函数图像得出不等式2
sin 2
x
的解集． 【详解】 当0,
x
时，令2
sin x
，解得4x π=或34π，
如图，绘出正弦函数图像，结合函数图像可知， 当0,
x
时，2
sin x
的解集为304
4
x ，，
【点睛】
本题考查三角函数不等式的解法，考查对正弦函数性质的理解，考查计算能力，体现了基础性，是简单题． 14．3 【解析】 【详解】
()()()()1
2tan tan 7tan tan 311tan tan 127
αβαβαβααβα++-=+-===+++⨯-，故答案为3. 15．-1 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【详解】
由x ，y 满足约束条件2121,0x y x y x y +≤⎧⎪
+≥-⎨⎪-≤⎩
作出可行域如图，
由图可知，目标函数的最优解为A ，
联立21
21
x y x y +=⎧⎨
+=-⎩，解得A （﹣1，1）．
∴z ＝3x ﹣2y 的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣1． 故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 16．0,
3π⎛⎤
⎥⎝
⎦
【解析】 【分析】
由正弦定理将sin 2A≤sin 2B ＋sin 2C －sin Bsin C 变为222bc b c a ≤+-，然后用余弦定理推论可求
2221
cos 22
b c a A bc +-=≥，进而根据余弦函数的图像性质可求得角A 的取值范围．
【详解】
因为sin 2A≤sin 2B ＋sin 2C －sin Bsin C ，所以222a b c bc +-≤，即 222bc b c a ≤+-．
所以2221
cos 22b c a A bc +-=≥ ，
因为A 0π∈（，）
，所以A 0]3
π
∈（，． 【点睛】
在三角形中，已知边和角或边、角关系，求角或边时，注意正弦、余弦定理的运用．条件只有角的正弦时，可用正弦定理的推论sin ,sin 22a b
A B R R
=
=，将角化为边． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）34C π=
（2）10
sin 10
A =，1c =
【解析】 【分析】
（1）化简等式，即可求出角C ．
（2）利用角C 的余弦公式，求出c 与a 的关系式，再由正弦定理求出角A 的正弦值，再结合面积公式求出c 的值． 【详解】
（1）∵cos 220C C ++=， ∴
2
2cos s 10C C +=+，即
)
2
10C +=，
∴cos 2
C =-
. 又()0,C π∈，∴34
C π=
. （2）∵2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=， ∴c =，即sin C A =，
∴sin
10A C =
=.
∵1sin 2ABC S ab C ∆=
，且s in sin 2
ABC S A B ∆=，
∴1sin sin 22
ab C A B =，
∴
sin sin sin ab
C A B
=
2
sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭
1c =. 【点睛】
本题考查利用解三角形，属于基础题． 18．（1）0.003（2）168.75（3）3
5
【解析】 【分析】
（1）利用小矩形的面积和为1,求得x 值,即可求得答案;
（2）中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于
y 轴的直线横坐标,即可求得答案;
（3）据直方图求出续驶里程在[]200,300和续驶里程在[)250,300的车辆数,利用排列组合和概率公式求
出其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250的概率,即可求得答案. 【详解】
（1）由直方图可得:(0.0020.0050.0080.002)501x ++++⨯=
∴0.003x =
（2）根据中位数的计算方法为:把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于
y 轴的直线横坐标. ∴直方图可得:0.002500.005500.35⨯+⨯=
可得:
0.50.35
18.750.008
-=
∴15018.75168.75+=
∴20辆纯电动汽车续驶里程的中位数168.75.
（3
）
续驶里程在[]200,300的车辆数为:20(0.003500.00250)5⨯⨯+⨯=
续驶里程在第五组[)250,300的车辆数为200.0025)2(0⨯⨯=.
从5辆车中随机抽取2辆车,共有2
510C =中抽法，
其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250的抽法有11
326C C ⋅=种，
∴其中恰有一辆车的续驶里程在[)200,250的概率为()63105
P A =
=. 【点睛】
本题考查根据条型统计图求数据的中位数和根据组合数求概率问题,解题关键是掌握条型统计图基础知识和概率的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 19．（Ⅰ）13
8
（Ⅱ）14
【解析】 【分析】
（Ⅰ）以,AB AC 作为基底，表示出12,AP AP ，然后利用数量积的运算法则计算即可求出；（Ⅱ）由平面向量数量积的运算及其运算可得：设312
AP AQ AB m AC λ
λλ==
+，又33
3BP PC =，所以31344AP AB AC =+，解得3
14m λ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，得解．
【详解】
（Ⅰ）由题意得131
44AP AB AC =
+，21122
AP AB AC =+ 则112313111444422AB AP AP AP AB AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⋅+⋅⋅=⋅+++⋅+
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
22913
884AB AC AB AC =
++⋅ 913131111cos608848
︒=⨯+⨯+⨯⨯⨯= （Ⅱ）因为点Q 是线段3AP 上一点，所以设，312
AP AQ AB m AC λ
λλ==+
又333BP PC =，所以313
44
AP AB AC =
+， 故1
12434m λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
解得3
1
4m λ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，因此所求实数m 的值为14. 【点睛】
本题主要考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算以及平面向量基本定理的应用,属于中档题. 20．（1）函数的最小正周期为π;函数的减区间为[kπ3π+，kπ56
π
+
]，k ∈Z （2）m ∈[﹣2，1] 【解析】 【分析】
（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论； （2）利用正弦函数的定义域和值域，求得()g x 的范围，进而可得m 的范围. 【详解】
（1）函数f （x ）＝2cosx
sinx ﹣cosx
）=﹣（1+cos2x ）＝2sin （2x 6
π
-）﹣1， 故函数的最小正周期为
22π
=π. 令2kπ2π+≤2x 6π-≤2kπ32
π+，求得kπ3π+≤x≤kπ56π+，可得函数的减区间为[kπ3π+，
kπ56π
+]，k ∈Z. （2）将f （x ）的图象向左平移6π
个单位后，得到函数g （x ）＝2sin （2x 36ππ+-）﹣1＝2sin （2x 6
π+）﹣1的图象.
在区间[0，2
π]上，2x 6π+∈[6π，76π
]，sin （2x 6π+）∈[12-，1]，f （x ）∈[﹣2，1].
若方程g （x ）＝m 在区间[0，2
π
]上有解，则m ∈[﹣2，1].
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，属于中档题.
21．（1；（2）()()()
cos 45cos 135sin sin 180θθθ
θ-︒︒-+
=︒-【解析】 【分析】
（1）依据诱导公式以及两角和的正弦公式即可计算出；（2）观察（1）中角度的关系，合情推理出一般结论，然后利用两角和的正弦公式即可证明． 【详解】 （1）
cos 2cos88cos 2sin 2sin 45cos 2cos 45sin 2)47
sin 47sin133sin 47sin 47sin 47sin 47︒︒︒︒︒︒︒+︒︒
+=+===︒︒︒︒︒︒
同理可得，
cos5cos85sin 5cos550sin 50sin130sin 50sin 50︒︒︒+︒︒
+===︒︒︒︒
cos12cos 78sin12cos1257
sin 57sin123sin 57sin 57︒︒︒+︒︒+===︒︒︒︒
（2）由（1）知，可以猜出：()()()
cos 45cos 135sin sin 180θθθ
θ-︒︒-+
=︒-
证明如下：
()()()
()()cos 45cos 135cos 45sin 45sin sin 180sin sin θθθθθθθ
θ-︒︒--︒-︒+
=
+
︒-
()()
45cos 45cos 45sin 45]
sin θθθ
︒︒-︒+-︒=
=
=
【点睛】
本题主要考查学生合情推理论证能力，以及诱导公式和两角和的正弦公式的应用，意在考查学生的数学抽象素养和逻辑推理能力．
22．（1）
3π；（2【解析】 【分析】
（1）由二倍角公式得2
32cos 12cos 2A A -+=，求得1cos 2A =则角A 可求；（2）sin sin 8
B C +=，得7
sin sin sin 4
B C A +=，由正弦定理得7b c +=，再结合余弦定理得11bc =则面积可求 【详解】
（1）因为3cos 22cos 2A A +=，所以23
2cos 12cos 2
A A -+=， 解得1cos 2
A =
， 因为0A π<<，所以3
A π
=
；
（2）因为sin sin B C +=，所以7sin sin sin 4B C A +=，
由正弦定理得7
4
b c a += 所以7b c +=，
由余弦定理，2222
2cos ()22cos a b c bc A b c bc bc A =+-=+--， 所以11bc =,
所以1sinA 2ABC
S
bc =
=
. 【点睛】
本题考查二倍角公式，正余弦定理解三角形，准确计算是关键，是基础题。