高考数学.快速解决选择填空题.教师版

高考各类题型所占分值与建议解题时间比例示意
102030405060一
般小
题
创
新小
题
前
三
道
大题
导
数大
题
解
析
几
何
大
题
创
新大
题
分值时间
【教师备案】
⑴ 从图中可以看出只有在解一般小题和前三道大题时提高解题效率，节约考试时间才能保证有充足的时间冲刺高分；
⑵ 解选择填空题时一定要灵活使用直接法与间接法；由于平时对直接法已经作了充分的训练，在本讲中集中系统的讲解间接法；
⑶ 不要苛求一气呵成的解决选择填空题，对使用间接法解决的题目，可以先做好标记，然后在有空余时间时再进行一般性检查．
【教师备案】选择填空题解题策略
对于简单题目和选择支对解题思路没有明显帮助时使用直接法；其他情形可以尝试使用间接法． 当间接法不能奏效时，还需回到直接法进行求解．无论使用何种方法，一定要尽量做到：能使用逻辑知识判断的就不使用具体数学知识；能使用低级数学知识的就不使用高级数学知识；能粗略的定性判断的就不做精细的定量计算．
【教师备案】
讲次
尖子班 目标班 说明
第1讲 快速解决选择填空题 1 1
第2讲 前三道解答题满分策略 1
0.5 第3讲 导数解答题针对性突破
1.5 1 第4讲 解析几何解答题应对策略与计算技巧 1.5 1.5 第5讲 创新小题类型全解
1.5
1.5
知识前言
快速解决
选择填空题
第6讲创新大题高分攻略01
第7讲知识点与易错题精讲 1.5 1.5
第8讲查漏补缺00
板块一特殊值法与排除法
特殊值法和排除法都属于间接法，在实际解题中这两种方法往往交替使用．间接法总的原则是两个方面：“利己排他”．“利己”的意思是尽量挑选容易思考和计算的方面进行思考，这是特殊值法的主要思想；“排他”的意思是要以排除错误选择支为目的，这是排除法的主要思想．
特殊值法
知识点睛
以下这里的“值”，不再指“数值”，而是各参数的具体取值的总和，表征一种状态．
当选择支互斥（或互斥程度很高时）时，可以考虑将条件特殊化为方便求解结论的形式，得到最终答案．例如所要求的结论是定值，就是选择支完全互斥的一种常见体现．如果选择支并不完全互斥，那么特殊值法可能只能排除个别选择支，此时特殊值法就相当于排除法．
特殊值法的具体的步骤为：
①判断选择支的互斥程度；
②特殊化条件，使得结论易求；
③求解结论．
由于对于填空题而言并不是所有的题目所要求的结论均为定值，因此在有空余时间时需要进一步的一般性证明．步骤如下：
①判断所要求的结论是否为定值（也就是说如果用特殊值法求解，答案是否具有排他性）；
②特殊化条件，使得结论易求；
③求解结论；
④对于结论可能不为定值的，进行一般性检查．
常见的特殊值取法有以具体数值代替约束条件、特殊函数（数列）、特殊几何图形等等．
考点1：以具体数值代替约束条件
例1
⑴（2012年山东理）设变量,x y 满足约束条件222441x y x y x y +⎧⎪
+⎨⎪--⎩
≥≤≥，则目标函数3z x y =-的取值范
围是（ ）
A ．3,
62
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．[]1,6- D ．36,2⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦
⑵（2012年大纲）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，则n S =（ ）
A ．1
2
n - B ．1
32n -⎛⎫
⎪
⎝⎭ C ．1
23n -⎛⎫
⎪
⎝⎭
D ．
1
12n - ⑶（2012年重庆）若()()()4f x x a x =+-为偶函数，则实数a = ；
⑷（2011年浙江）在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若cos sin a A b B =，则sin2cos2A B +=（ ）
A ．12-
B ．1
2
C ．1-
D ．1
【解析】 ⑴ A ． ⑵ B ．
⑶4． ⑷ D ．
备选1 ⑴ 若a b c >>，则11a b b c +
-- 3
a c
-（填“>”、“=”或“<”） ⑵ （2011年福建理）已知O 是坐标原点，点()1,1A -，点(),M x y 为平面区域2
12x y x y +⎧⎪
⎨⎪⎩
≥≤≤上
的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）
A ．[]1,0-
B ．[]0,1
C ．[]0,2
D ．[]1,2-
【解析】 ⑴ >．
⑵ C ． 备选2
⑴（2011年辽宁文）若等比数列{}n a 满足116n n n a a +=，则公比为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16
⑵（2012年江西文）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比不为1．若11a =，则对任意的n *∈N 都有2120n n n a a a +++-=，则5S = ．
【解析】 ⑴ B ． ⑵ 11． 备选3
（2011年浙江理）若函数()2f x x x a =-+为偶函数，则实数a = ；
【解析】 0．
经典精讲
备选4
（2012年湖北理11改编）设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若
()()3a b c a b c ab +-++=，则C =（ ）
A ．
π6 B ．π3 C ．π4 D ．π2
【解析】 B ．
考点2：以特殊函数（数列）代替抽象函数（数列）
例2 ⑴ 函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()πf x '>，则()3f x x >+的解集为（ ）
A ．()1,1-
B ．()1,-+∞
C ．(),1-∞-
D ．(),-∞+∞
⑵（2009年辽宁理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655S S -=，则4a = ．
【解析】 ⑴ B ．
⑵ 13．
备选5 ⑴ 函数()()sin f x M x ωϕ=+（0ω>）在[],a b 上是增函数，且()f a M =-，()f b M =，
则函数()()cos g x M x ωϕ=+在[],a b 上（ ）
A ．是增函数
B ．是减函数
C ．可以取得最大值M
D ．可以取得最小值M - ⑵ （2012年江苏）已知函数()2f x x ax b =++（,a b ∈R ）的值域[)0,+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(),6m m +，则实数c 的值为 ．
【解析】 ⑴ C ． ⑵ 9．
考点3：以特殊几何图形代替一般几何图形．
例3
⑴（2012年浙江理）在ABC △中，M 是BC 的中点，310AM BC ==，，则AB AC ⋅=________． ⑵在ABC △中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()
PA PB PC ⋅+等于（ ）
A ．49-
B ．43-
C ．43
D ．49
经典精讲
经典精讲
⑶ （2010年江苏）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C C
A B
+
的值是 ． 【解析】 ⑴ 16-．
⑵ A ． ⑶ 4．
备选6
（2011年重庆理）若ABC △的内角A 、B 、
C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足()2
24a b c +-=，且60C =︒，则ab 的值为（ ）
A ．43
B ．843-
C ．1
D ．23
【解析】 A ．
如果我们发现没有较好的特殊值可以方便的排除选择支，此时可以从选择支出发从选择支的互斥部分（可以是特殊值也可以是某些性质）中抽取方便计算的待检样例或是方便验证的性质，通过代回题干对这些待检样例或性质的检验可以排除一个或多个选择支，这种方法称为排除法．根据互斥部分的不同，排除法可以是特例排除和性质排除．
排除法的具体的步骤为： ① 判断选择支的互斥部分；
② 从互斥部分中抽取方便计算的待检样例；
③ 将对待检样例进行检验，从而达到排除错误选择支的目的．
无论从哪个角度进行排除，其思路核心都是找到最有效的待检样例或性质．要做到这一点，就必须在解题过程中保持对选择支的关注，并对其进行认真细致的观察．
知识点睛
排除法
考点4：性质排除
例4
⑴（2011年山东）函数2sin 2
x
y x =
-的图象大致是（ ） O
y
x
A.O y
x
O y
x C.O y
x
D.
A ．
B ．
C ． D
⑵（2010年安徽理）动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间0t =时，点A 的坐标是13,2⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）
A ．[]0,1
B ．[]1,7
C ．[]7,12
D ．[]0,1和[]7,12
【解析】 ⑴ C ．
⑵ D ．
考点5：特例排除
例5
⑴（2012年山东理）若ππ,42θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，37sin 2θ=，则sin θ=（ ）
A ．3
5
B ．45
C ．7
D ．34
⑵ 为了了解某树林中树木的健康情况，在每10棵树中挑选1棵进行检查，树木数量除以10的余数大于6时再增加1棵进行检查．那么，需要检查的树木数量y 与树木的总数量x 之间
的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为（ ）
A ．10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
B ．310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
C ．410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
D ．510x y +⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
【解析】 ⑴ D ．
⑵ B ．
经典精讲
经典精讲
备选7
（2011年江西理）若()224ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为（ ） A ．()0,+∞ B ．()
()1,02,-+∞ C ．()2,+∞ D ．()1,0-
【解析】 C ．
备选8
已知函数()()22241f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 和()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．()0,2
B ．()0,8
C ．()2,8
D ．(),0-∞
【解析】 B ．
考点6：从选项中提炼出合适的待检样例
例6 ⑴（2012年大纲卷理）已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c =（ ）
A ．2-或2
B ．9-或3
C ．1-或1
D ．3-或1
⑵（2009年重庆）已知以4T =为周期的函数()(](]
21,1,112,1,3m x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >．若
方程()3f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A ．1583⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， B ．157⎛⎫ ⎪ ⎪⎝， C ．4833⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．473⎛⎫
⎪⎝⎭， 【解析】 ⑴ A ．
⑵ B ．
备选9 （2011年四川文）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，13n n a S +=（1n ≥），则6a =（ ） A ．434⨯ B ．4341⨯+ C ．54 D ．541+ 【解析】 A ．
有时候我们无法得到方便求解结论的特殊值（或者出题人有意避免我们取方便求解结论的特殊值），此时可以利用极限的思想把条件极端化，利用状态连续变化的特点（中学阶段问题的一大特征）解决问题．
经典精讲
板块二 极限思想
考点7：极限思想
例7
⑴ 在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 ； ⑵（2012年新课标全国卷）已知0ω>，函数()πsin 4f x x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭在π,
π2⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，则ω 的取值范围是（ ）
A ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．(]0,2
【解析】 ⑴ 2ππn n -⎛⎫
⎪⎝⎭，
⑵ A ．
备选10 已知四面体四个面的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，且1234S S S S ≤≤≤，则
123
4
S S S S ++的取
值范围是（ ）
A ．()2,3
B ．(]2,3
C ．[]1,3
D ．(]1,3
【解析】 D ．
备选11 点P 为锐角ABC △的外心，且4,2AC AB ==，则()
AP AC AB ⋅-=（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
【解析】 C ．
备选12 （2009年湖南理）将正ABC △分割成2n （2n ≥，n *∈N ）个全等的小正三角形（图中分别
给出了2n =和3n =的情形），在每个三角形的定点各放置一个数，使位于ABC △的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列．若顶点A 、B 、C 处的三个数互不相同和为1，记所有顶点上的数之和为()f n ，则有()22f =，
()3f = ，…，()f n = ．
C B A
C
B A
【解析】 103，()()1
126
n n ++．
经典精讲
考点8：对称思想
例8
⑴（2008年江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为()0,A a ，(),0B b ，(),0C c ；点()0,P p 在线段AO 上（异于端点），设,,,a b c p 为非零常数．设直线
BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F ．
F E P
C
B
A O y x
某同学已正确算得OE 的方程为11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫
-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，那么直线OF 的方程为________
110x y p a ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
． ⑵（2011年安徽理）函数()()1n
m f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是（ ）
10.5O y
x
A ．1m =，1n =
B ．1m =，2n =
C ．2m =，1n =
D ．3m =，1n =
【解析】 ⑴ 11
c b -．
⑵ B ．
备选13 （2010年天津理）设函数()()21
2
log ,0log ,0x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围
是（ ）
A ．()()1,00,1-
B ．()(),11,-∞-+∞
C ．()()1,
01,-+∞ D ．()(),10,1-∞-
【解析】 C ．
经典精讲
板块三 对称思想
备选14 （2012年天津理）已知ABC △为等边三角形，2AB =．设点P 、Q 满足AP AB λ=，
()1AQ AC λ=-，λ∈R ．若3
2
BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）
A ．
1
2
B ．122±
C ．110±
D ．3222-±
【解析】 A ．
备选15 （2012年海淀二模）某同学为研究函数()()2
2111f x x x =+++-（01x ≤≤）的性质，
构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则()AP PF f x +=．请你参考这些信息，推知函数()f x 的图象对称轴方程
是 ；函数()()49g x f x =-的零点的个数是 ．
P
F
E
D
C B A
【解析】 1
2
x =；2．
考点9：对称最值问题
由于在中学数学阶段状态都是连续变化，于是对称最值问题的最值状态往往是参数在平均状态（这种状态一般称为均值）或者极端状态（这种状态一般称为边界值）时取得，因此我们可以利用这一特点快速解决对称最值问题．
需要注意在实际解题时可以跳过较难考虑的某些边界值．此外，在中学阶段均值处一定是极值位置，但并非所有对称最值问题的最值都是在均值处或边界值处取得的，在时间允许的情况下，应该对一般性进行检验．
【备注】“连续变化”这个条件很重要．中学阶段破坏“连续变化”常见的情况有分段产生跳跃点（高斯
函数）和离散化（数列）．如下题：
已知,,0x y z >，1x y z ++=，则111x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦的最小值为 ．
【解析】 7．
111x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的最小值位置可以由()111,,,,333x y z ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
调整得到： 知识点睛
将(),,x y z 从111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭调整到111,,2333εεε⎛⎫
++- ⎪⎝⎭（其中ε足够小），
则111,,x y z ⎛⎫
⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭
从()3,3,3调整为()2,2,3． 接下来证明1117x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦≥．
111111111y z z x x y x y z x y z x y z ⎡⎤⎛⎫+++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫++>-+-+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝
⎭⎣⎦⎝⎭ 6x y y z x z y x z y z
x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭≥． 即1116x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++>⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦，但111x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦是整数，因此1117x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦≥．
例9
⑴ 若,,0a b c >，且1a b c ++=，则111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的最小值是 ．
⑵（2009年安徽理）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120︒．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC xOA yOB =+，其中,x y ∈R ，则x y +的最大值是 ．
C
B
A
O
⑶（2012年天津）设,m n ∈R ，若直线()()1120m x n y +++-=与圆()()22
111x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）
A ．13,13⎡⎤-+⎣⎦
B ．(
)
,1313,⎤⎡-∞-++∞⎦
⎣
C ．222,222⎡⎤-+⎣⎦
D ．()
,22
2222⎤⎡-∞-++∞⎦⎣
【解析】 ⑴ 8．
⑵ 2．
⑶ D ．
备选16 （2011年陕西）植树节某班20名学生在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相
距10米．开始时需将树苗集中放置在某一棵树旁边．现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
A ．1和20
B ．9和10
C ．9和11
D ．10和11
【解析】 D ．
经典精讲
备选17 如图，P 是AOB ∠内的一点，π
4
AOB ∠=
，2OP =．过P 向角的两边作垂线，垂足分别为M 、N ．则PMN △面积的最大值为 ．
N
M
P
B A
O
边界值处
边界值处
均值处O
A
B P
M
N
O
A
B P
M
N
【解析】
．
备选18 过圆224x y +=内一点()1,1P 作互相垂直的弦AB 、CD ，则A 、B 、C 、D 形成的四边形面积的最大值为 ．
【解析】 6．
备选19 ⑴ （2010年全国大纲卷I 理）已知半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若2AB CD ==，
则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）
A
B
C
． D
⑵ （2012年上海理）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =．若2AD c =，
且2AB BD AC CD a +=+=，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ． C
D
B
A
【解析】 ⑴ B ．⑵
练习1
已知方程()
()2
2
2x a y b r -+-=的曲线如图，则直线0ax by r ++=与直线10x y -+=的交点
在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
y
O
x
【解析】 A ．
练习2
（2011年江西理）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足n m n m S S S ++=，且11a =，那么10a =（ ）
A ．1
B ．9
C ．10
D ．55
【解析】 A ．
练习3
（2012年江西理）在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则
2
2
2PA PB PC
+=（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．10
【解析】 D ．
练习4
（2010年天津理）设集合{}|1,A x x a x =-<∈R ，{}|2B x x b =->，若A B ⊆，则实数,a b
必满足（ ）
A ．3a b +≤
B ．3a b +≥
C ．3a b -≤
D ．3a b -≥
【解析】 D ． 练习5
在平面直角坐标系中，点()0,0O ，()6,8P ，将向量OP 绕点O 按逆时针旋转3π
4
后得到向量OQ ，则点Q 的坐标是（ ） A ．()72,2-- B ．(
)72,
2- C ．()46,2-- D ．()
46,2-
【解析】 A ．
实战演练
练习6
对任意的锐角,αβ，下列不等关系中正确的是（ ）
A ．()sin sin sin αβαβ+>+
B ．()sin cos cos αβαβ+>+
C ．()cos sin sin αβαβ+<+
D ．()cos cos cos αβαβ+<+
【解析】 D ． 练习7
在ABC △中，10a b c ++=，7
cos 8
C =
，则ABC △面积的最大值为 ．
【解析】。