经济数学基础形考答案

电大【经济数学基础】形成性考核册参考答案
《经济数学基础》形成性考核册（一）
一、填空题 1.___________________sin lim
=-→x
x
x x .答案：1 2.设 ⎝
⎛=≠+=0,0
,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案1 3.曲线x y =
+1在)1,1(的切线方程是 . 答案:y=1/2X+3/2
4.设函数52)1(2
++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案x 2
5.设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f .答案: 2
π-
二、单项选择题
1. 当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ）
A ．)1ln(x +
B ． 12+x x
C ．2
1
x e - D ． x
x
sin
2. 下列极限计算正确的是（ B ） A.1lim
=→x
x x B.1lim 0
=+
→x
x x C.11sin
lim 0
=→x x x D.1sin lim =∞→x
x
x
3. 设y x =lg2，则d y =（ B ）． A ．
12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1
d x
x 4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的．
A ．函数f (x )在点x 0处有定义
B ．A x f x x =→)(lim 0
，但)(0x f A ≠
C ．函数f (x )在点x 0处连续
D ．函数f (x )在点x 0处可微 5.若x x
f =)1
(，则=')(x f （ B ）. A ．
21x B ．2
1x
- C ．x 1 D ．x 1
-
三、解答题 1．计算极限
本类题考核的知识点是求简单极限的常用方法。

它包括： ⑴利用极限的四则运算法则； ⑵利用两个重要极限；
⑶利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量)
⑷利用连续函数的定义。

（1）1
2
3lim 221-+-→x x x x 分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计算 解：原式=)1)(1()2)(1(lim
1-+--→x x x x x =12lim 1+-→x x x =2
1
1121-=+-
（2）8
66
5lim 222+-+-→x x x x x
分析：这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。

具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数的连续性进行计算 解：原式=)4)(2()3)(2(lim
2----→x x x x x =21
423243lim 2=--=--→x x x
（3）x
x x 1
1lim
--→ 分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

具体方法是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算 解：原式=)
11()
11)(11(lim
+-+---→x x x x x =)
11(11lim
+---→x x x x =1
11lim 0
+--
→x x =2
1-
（4）4
235
32lim 22+++-∞→x x x x x
分析：这道题考核的知识点主要是函数的连线性。

解：原式=320030024
23532lim
22
=+++-=+++-∞→x
x x x x （5）x
x
x 5sin 3sin lim 0→
分析：这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。

具体方法是：对分子分母同时除以x ，并乘相应系数使其前后相等，然后四则运算法则和重要极限进行计算
解：原式=53
115355sin lim 33sin lim
5
35355sin 33sin lim 000=⨯=⨯
=⨯→→→x
x x x
x x x x x x x （6）)
2sin(4
lim 22--→x x x
分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。

具体方法是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重要极限进行计算 解：原式=414)2sin(2
lim )2(lim )
2sin()2)(2(lim
222=⨯=--⨯+=--+→→→x x x x x x x x x
2．设函数⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
>=<+=0sin 0,0,1sin )(x x x
x a x b x x x f ，
问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处极限存在？ （2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.
分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。

即函数在某点极限存在的充分必要条件是该
点左右极限均存在且相等。

二是函数在某点连续的概念。

解：（1）因为)(x f 在0=x 处有极限存在，则有
)(lim )(lim 00x f x f x x +-
→→=
又 b b x
x x f x x =+=--→→)1
sin
(lim )(lim 0
1sin lim )(lim 0
==+
+→→x
x
x f x x 即 1=b
所以当a 为实数、1=b 时，)(x f 在0=x 处极限存在. （2）因为)(x f 在0=x 处连续，则有 )0()(lim )(lim 0
f x f x f x x ==+-→→
又 a f =)0(，结合（1）可知1==b a 所以当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续.
3．计算下列函数的导数或微分：
本题考核的知识点主要是求导数或（全）微分的方法，具体有以下三种： ⑴利用导数(或微分)的基本公式 ⑵利用导数(或微分)的四则运算法则 ⑶利用复合函数微分法
（1）2
22
2log 2-++=x x y x
，求y ' 分析：直接利用导数的基本公式计算即可。

解：2
ln 1
2ln 22x x y x
++=' （2）d
cx b
ax y ++=
，求y '
分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

解：2)())(()()(d cx d cx b ax d cx b ax y +'++-+'+=
'=2)()()(d cx c b ax d cx a ++-+ =2
)(d cx bc
ad +-
（3）5
31-=
x y ，求y '
分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

解：23
12
1
2
1
)53(2
3)53()
53(21])53[(------='---='-='x x x x y （4）x x x y e -=
，求y '
分析：利用导数的基本公式计算即可。

解：x
x x
xe e x xe x y --='-'='-21
2
12
1)()(
分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

（5）bx y ax
sin e
=，求y d
解：)(cos sin )()(sin sin )('-'='-'='bx bx e
bx ax e bx e bx e y ax
ax
ax
ax
=bx be bx ae ax ax cos sin -
dx bx be bx ae dx y dy ax ax )cos sin (-='=
（6）x x y x
+=1e ，求y d
分析：利用微分的基本公式和微分的运算法则计算即可。

解：21
2112
31231
2323
)1()()(x x
e x
x e x e y x
x x +-=+'='+'='-
dx x x
e dx y y x
)23
(d 21
21
+-='=
（7）2
e cos x x y --=，求y d
分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算 解：2
2
2
e 22sin )(e )(sin )e ()(cos 2x x x x x
x x x x x y ---+-
='--'-='-'='
（8）nx x y n
sin sin +=，求y '
分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算 解：)(cos )(sin )(sin )(sin ])[(sin 1
'+'='+'='-nx nx x x n nx x y n n
nx n x x n n cos cos )(sin 1+=-
（9）)1ln(2x x y ++=，求y ' 分析：利用复合函数的求导法则计算 解：)))1((1(11)1(112
12
2
2
2
'++++=
'++++=
'x x
x x x x
x y
=222212
1
22111111)2)1(211(11
x
x x x x x x x x x +=
+++⨯++=⨯++++- （10）x
x
x y x
212
321cot
-++
=，求y '
分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算 解：)2()()()2
(6
12
11sin '-'+'+'='-x x y x
06
121)1(sin 2ln 2
65
231sin
-+-'=-
-x x x x
6
52
31sin 6
1
21)1)(cos 1(2ln 2
--+-'=x x
x x x
65
23
21
sin 6
121cos 2ln 2--+-=x x x x x
4.下列各方程中y 是x 的隐函数，试求y '或y d 本题考核的知识点是隐函数求导法则。

（1）132
2
=+-+x xy y x ，求y d 解：方程两边同时对x 求导得： )1()3()()()(2
2
'='+'-'+'x xy y x 0322=+'--'+y x y y y x x
y x y y ---=
'23
2
dx x
y x y dx y y ---='=232d （2）x e
y x xy
4)sin(=++，求y '
解：方程两边同时对x 求导得： 4)()()cos(='⨯+'+⨯+xy e
y x y x xy
4)()1()cos(='+⨯+'+⨯+y x y e y y x xy
xy
xy
ye y x xe y x y -+-=++')cos(4))(cos(
xy
xy
xe
y x ye y x y ++-+-=')cos()cos(4 5．求下列函数的二阶导数：
本题考核的知识点是高阶导数的概念和函数的二阶导数 （1）)1ln(2
x y +=，求y '' 解：2
2
212)1(11x
x x x y +='++=
' 2
22
2222
)1(22)1()20(2)1(2)12(x x x x x x x x y +-=++-+='+='' （2）x
x y -=
1，求y ''及)1(y ''
解：21
2321212121)()()1(-
----='-'='-='x x x x x
x y
23
25232521234
143)21(21)23(21)2121(-
-----+=-⨯--⨯-='--=''x x x x x x y =1
《经济数学基础》形成性考核册（二）
（一）填空题 1.若
c x x x f x ++=⎰
22d )(，则22ln 2)(+=x x f .
2. ⎰
'x x d )sin (c x +sin . 3. 若
c x F x x f +=⎰)(
d )(，则⎰=-x x xf d )1(2c x F +--
)1(2
1
2 4.设函数
0d )1ln(d d e 12
=+⎰x x x
5. 若t t
x P x
d 11)(02
⎰
+=
，则2
11)(x
x P +-
='.
（二）单项选择题
1. 下列函数中，（ D ）是x sin x 2
的原函数． A ．
21cos x 2 B ．2cos x 2 C ．-2cos x 2 D ．-2
1cos x 2
2. 下列等式成立的是（ C ）．
A ．)d(cos d sin x x x =
B ．)1
d(d ln x
x x = C ．)d(22ln 1
d 2x x
x =
D ．
x x x
d d 1=
3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ）． A ．⎰+x x c 1)d os(2， B ．⎰
-x x x d 12
C ．⎰
x x x d 2sin D ．⎰+x x x
d 12
4. 下列定积分中积分值为0的是（ D ）． A ．
2d 21
1
=⎰
-x x B ．
15d 16
1
=⎰
-x C ．
0d cos =⎰-
x x π
π
D ．
0d sin =⎰-
x x π
π
5. 下列无穷积分中收敛的是（ B ）．
A ．
⎰
∞+1
d 1x x B ．⎰∞+12d 1x x
C ．⎰∞+0d e x x
D ．⎰∞+1d sin x x
(三)解答题
1.计算下列不定积分
（1）⎰x x x
d e 3 （2）⎰
+x x x d )1(2 解：原式 c e x x
+-==⎰)3(13ln 1d )e 3(x 解：原式⎰
++=x x
x x d 212
c
x x x x
+++=++=⎰25
23
2
1
2
3212
1-
5
2
342)d x 2x (x
（3）⎰+-x x x d 242 （4）⎰-x x
d 211
解：原式c x x x x x x +-=+-+=
⎰221d 2)2)(2(2 解：原式⎰--=)2-d(1211
21x x
c x +--=21ln 2
1
（5）⎰
+x x x d 22
（6）⎰
x x
x d sin
解：原式⎰++=
)d(222
1
22x x 解：原式 ⎰=x d x sin 2 c x ++=23
2
)2(3
1 c x +-=cos 2
（7）⎰x x
x d 2sin
（8）⎰+x x 1)d ln(
解：原式⎰-=2cos 2x xd 解：原式⎰
+-+=x x x d 1
x x
)1ln(
c
x
x x
d x x x ++-=+-=⎰2
sin 42cos 2)
2(2cos 42cos 2
c x x x x dx x x x +++-+=+--+=⎰)1ln()1ln()111()1ln(
2.计算下列定积分 （1）
x x d 121
⎰
-- （2）x x
x
d e
2
1
21⎰ 解：原式⎰⎰-+-=
-2
1
1
1)1(d )1(dx x x x 解：原式)1
d(2
11x
e x
⎰-=
2
5212)1(2
1)1(2
1
21
21
1
2
=
+=-+--=-x x
2
121
1e
e e
x -=-=
（3）
x x
x d ln 113
e 1
⎰
+ （4）x x x d 2cos 20
⎰π
解：原式)1d(ln ln 121
2
3
e 1
++=⎰
x x
解：原式x x dsin221
20⎰=π
2
24ln 123
1
=-=+=e x 2
12cos 41)2(2sin 41
2sin 212020
20-==-=⎰π
π
πx x xd x x
（5）
x x x d ln e
1
⎰
（6）x x x d )e 1(4
⎰-+
解：原式2
e 1
d ln 21x x ⎰= 解：原式x
e x dx -⎰⎰-=d 4040
)1(4
1
41412121ln 212221
12+=+-=-=⎰e e e xdx x x e e
4
4
440
4
055144)(4------=+--=---=⎰e e e x d e xe x x
《经济数学基础》形成性考核册（三）
（一）填空题
1.设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=161223235401A ，则A 的元素__________________23=a .答案：3 2.设B A ,均为3阶矩阵，且3-==B A ，则T AB 2-=________. 答案：72-
3. 设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2
2
2
2)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是 .答案：BA AB = 4. 设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解______________=X .答案：A B I 1
)
(--
5. 设矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020001A ，则__________1
=-A .答案：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡
-310
00210
00
1 （二）单项选择题
1. 以下结论或等式正确的是（ C ）．
A ．若
B A ,均为零矩阵，则有B A =
B ．若A
C AB =，且O A ≠，则C B =
C ．对角矩阵是对称矩阵
D ．若O B O A ≠≠,，则O AB ≠
2. 设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，且乘积矩阵T
ACB 有意义，则T
C 为（ A ）矩阵． A ．42⨯ B ．24⨯ C ．53⨯
D ．35⨯
3. 设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ）． ` A ．111
)
(---+=+B A B A ， B ．111)(---⋅=⋅B A B A C ．BA AB = D ．BA AB =
4. 下列矩阵可逆的是（ A ）．
A ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300320321
B ．⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--321101101 C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡0011 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2211
5. 矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=444333222A 的秩是（ B ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
三、解答题 1．计算
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-01103512=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-5321 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-00113020⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=0000
（3）[]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21034521=[]0
2．计算⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--723016542132341421231221321 解 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--72301654274001277197723016542132341421231221321=⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---142301112155
3．设矩阵⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=110211321B 110111132，A ，求AB 。

解 因为B A AB =
22
12
2)
1()1(01021
1
2
3211011
1
13232=--=-=--=+A 01
1
1-1-03211
10211321B ===
所以002=⨯==B A AB
（注意：因为符号输入方面的原因，在题4—题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成①；（2）写成②；（3）写成③；…）
4．设矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=01112421λA ，确定λ的值，使)(A r 最小。

解：⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡01112421λ()()()−−→−3,2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡12011421λ()()[]()()[]−−−→−-⋅+-⋅+213112⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----740410421λ()()−−
−−→−⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-⋅+4723⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎢⎢⎣⎡
---0490410421λ
当4
9
=
λ时，2)(=A r 达到最小值。

5．求矩阵⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----=32114024713458512352A 的秩。

解： ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----=32
1140247134
58512352A ()()()−−→−3,1⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡----32
114123523458502471()()[]
()()()()()[]−−−→−-⋅+-⋅+-⋅+414213512 →⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-------36152701259036152700247
1()()[]()()[]
()()()−−−→−-⋅+-⋅+3,2334332⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡---0000
00000012590024
71 ∴2)(=A r 。

6．求下列矩阵的逆矩阵：
（1）⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=111103231A
解：[]=AI ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡---100111010103001231()()()()()
−−−→−-⋅+⋅+113312⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1013400137900012
31()()−−−→−⋅+2
32 ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1013402111100012
31()()()[]
−−−→−-⋅⋅+12423⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----943100211110001
231()()[]()()−−−→−⋅+-⋅+1
32231
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----9431007320101885031()()−−−→−⋅+3
21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡943100732010311001 ∴⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=-9437323111A （2）A =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡------1121243613．
解：[]=AI ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------1001120101240013613()()[]−−−→−-⋅+321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----10011201012403100
1→ ()()[]
()()()[]
−−−→−-⋅⋅+-⋅+11213412⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----162110013412003100
1()()()
−−→
−3,2⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----013412016211003100
1→
()()−−−→−⋅+223⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210100162110031001()()[]−−−→−-⋅+132⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---21010017201003
1001
∴A -1
=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---210172031
7．设矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =．
解：[]=AI ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121()()[]−−−→−-⋅+312⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1310012
1()()()[]−−−→−-⋅⋅+122
21⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--13102501
∴
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-13251
A
∴
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-132532211BA X = ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-1101 四、证明题
1．试证：若21,B B 都与A 可交换，则21B B +，21B B 也与A 可交换。

证：∵11AB A B =， 22AB A B =
∴()()21212121B B A AB AB A B A B A B B +=+=+=+ 即 21B B +也与A 可交换。

()()()()()2121212121B B A B A B AB B A B B A B B ==== 即 21B B 也与A 可交换.
2．试证：对于任意方阵A ，T
A A +，A A AA T
T
,是对称矩阵。

证：∵()
()
T T T
T
T T
T
A A A A A A A A +=+=+=+
∴T A A +是对称矩阵。

∵T
T )(AA =()
T T T
T
AA A A =⋅
∴T AA 是对称矩阵。

∵()
()
A A A A A
A T T
T
T T
T =⋅=
∴A A T 是对称矩阵.
3．设B A ,均为n 阶对称矩阵，则AB 对称的充分必要条件是：BA AB =。

证： 必要性：
∵A A T = ， B B T
= 若AB 是对称矩阵，即()AB AB T
=
而()BA A B AB T
T
== 因此BA AB =
充分性：
若BA AB =，则()AB BA A B AB T
T T
===
∴AB 是对称矩阵.
4．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶可逆矩阵，且T B B =-1
，证明AB B 1-是对称矩阵。

证：∵A A T
= T B B
=-1
()()()
()
AB B B A B B AB AB
B
T
T
T T T
T
T
111
---=⋅⋅=⋅=
∴AB B 1
-是对称矩阵. 证毕.
《经济数学基础》形成性考核册（四）
（一）填空题 1.函数)
1ln(1
4)(-+
-=
x x x f 的定义域为___________________。

答案：(]4,2)2,1(⋃. 2. 函数2
)1(3-=x y 的驻点是________，极值点是 ，它是极 值点。

答案：x =1；（1，0）；小。

3.设某商品的需求函数为2
e
10)(p
p q -=，则需求弹性=p E .答案：p E =2
p -
4.行列式
__
__________1
11
11
1
1
11=---=D .答案：4.
5. 设线性方程组b AX =，且⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+-→0100
2310
61
1
1t A ，则__________t 时，方程组有唯一解. 答案：.1-≠t
（二）单项选择题
1. 下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）．
A ．sin x
B ．e x
C ．x 2
D ．3 – x 2. 设x x f 1
)(=
，则=))((x f f （ C ）． A ．x 1 B ．21x
C ．x
D ．2x
3. 下列积分计算正确的是（ A ）．
A ．⎰--=-1
10d 2e e x x
x B ．⎰--=+110d 2
e e x x
x C ．0d sin 11=⎰x x x - D ．0)d (3112=+⎰x x x - 4. 设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ D ）． A ．m A r A r <=)()( B ．n A r <)( C ．n m < D ．n A r A r <=)()(
5. 设线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=+=+3321
2321212a
x x x a x x a x x ，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）．
A ．0321=++a a a
B ．0321=+-a a a
C ．0321=-+a a a
D ．0321=++-a a a
三、解答题
1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y
x e y +='
解:
y x e e dx
dy
⋅= , dx e dy e x y =- dx e dy e x y ⎰⎰=- , c e e x y +=-- （2）23e d d y
x x y x
=
解: dx xe dy y x
=2
3 ⎰⎰=x xde dy y 23 dx e xe y x
x ⎰
-=3 c e xe y x
x +-=3
2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）3)1(1
2
+=+-
'x y x y
解:()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎰+⎰
=⎰+-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--c dx e x e
y dx x dx x 12
3121()()()
()
⎰++=+-+c dx e
x e x x 1ln 23
1ln 21()
()()⎰+++=c dx x x 112
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=c x x 22
121
1 （2）x x x
y
y 2sin 2=-' 解:⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰
=⎰⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎭
⎫ ⎝⎛--c dx e x x e
y dx x dx
x 112si n 2()
c dx e
x x e x
x +⋅=⎰-ln ln 2sin 2
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⋅=⎰c dx x x x x 12sin 2()
⎰+=c x xd x 22sin ()c x x +-=2cos
3.求解下列微分方程的初值问题： (1)y
x y -='2e
,0)0(=y
解：
y x
e
e dx dy 2= dx e dy e x y ⎰
⎰=2
c e e x
y
+=
22
1 用0,0==y x 代入上式得：
c e e +=
00
21， 解得2
1=c ∴特解为：2
1212+=x y
e e
(2)0e =-+'x
y y x ,0)1(=y 解：x e x
y x y 11=+
' ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰-
c dx e x e e y dx x x dx x 11
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅⋅=⎰-c dx e e x e
x x x
ln ln 1 ()()
c e
x
c dx e x
x
x
+=+=
⎰11
用0,1==y x 代入上式得： c e +=0 解得：e c -=
∴特解为：()
c e x
y x
-=
1 （注意：因为符号输入方面的原因，在题4—题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成①；（2）写成②；（3）写成③；…）
4.求解下列线性方程组的一般解：
（1）⎪⎩⎪
⎨⎧=-+-=+-+-=-+0
352023024321
4321431
x x x x x x x x x x x
解：A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----351223111201()()()()[]−−−→−-⋅+⋅+2131
12⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----111011101201()()−−−→−⋅
⋅+123⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--000011101201 所以一般解为
⎩⎨
⎧-=+-=432
4
312x x x x x x 其中43,x x 是自由未知量。

（2）⎪⎩⎪
⎨⎧=+-+=+-+=++-5
1147242124321
43214321x x x x x x x x x x x x
解：⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=5114712412111112A ()()()
−−→−2,1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---5114711111224121()()[]()()[]
−−−→−-⋅+-⋅+113212⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----373503735024
121
()()−−−→−⋅⋅+123⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----000003735024121()−
−→−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⋅512⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡--00
00053575310241
21()()[]−−−→−⋅
-⋅+221⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡
-
00
000535753105456
5101 因为秩()
=A 秩()A =2，所以方程组有解，一般解为⎪⎩
⎪⎨⎧
-+=--=4
324
31575353565154x x x x x x
其中43,x x 是自由未知量。

5.当λ为何值时，线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+--=+--=-+-=+--λ
432143214
32143211095733223132245x x x x x x x x x x x x x x x x 有解，并求一般解。

解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--------=λ109573322311
31224
511A ()()[]
()()()
()()[]−−−→−-⋅+-⋅+-⋅+314313212⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--------1418262
039131039131024
511λ ()()[]()()[]−−−→−-⋅+-⋅+224123⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----8000
00000039131024
511λ()()−−→
−⋅+121⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----80000
0000039131015
8
1λ 可见当8=λ时，方程组有解，其一般解为
⎩⎨
⎧+--=+--=4
324
319133581x x x x x x 其中43,x x 是自由未知量。

6．b a ,为何值时，方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=-+=--b
ax x x x x x x x x 321
3213213221 有唯一解、无穷多解或无解。

解： ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a A 3122111111()()[]
()()[]
−−
−→−-⋅+-+113112⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+---114
112011
11
b a ()()[]−−−→−-⋅+223⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---3300112011
11b a
根据方程组解的判定定理可知：
当3-=a ，且3≠b 时，秩()A <秩()A ，方程组无解；
当3-=a ，且3=b 时，秩()A =秩()
A =2<3，方程组有无穷多解； 当3-≠a 时，秩()A =秩()
A =3，方程组有唯一解。

7．求解下列经济应用问题：
（1）设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：q q q C 625.0100)(2
++=（万元）, 求：①当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本；
②当产量q 为多少时，平均成本最小？ 解:
① ()625.0100
++=
q q
q c ()65.0+='q q c
当10=q 时
总成本：()1851061025.0100102
=⨯+⨯+=c （万元） 平均成本：()5.1861025.010
100
10=+⨯+=
c （万元） 边际成本：()116105.010=+⨯='c （万元） ②()25.0100
2
+-
='q q c 令 ()0='q c 得 201=q
202-=q （舍去）
由实际问题可知，当q=20时平均成本最小。

（2）.某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为2
01.0420)(q q q C ++=（元），单位销售价格为q p 01.014-=（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少． 解: ()2
01.014q q pq q R -==
()()()q C q R q L -=
(
)2
2
01.042001.014q q q q ++--=
2002.0102--=q q ()q q L 04.010-='
令()0='q L ， 解得：250=q （件）
()12302025002.025*******
=-⨯-⨯=L （元）
因为只有一个驻点，由实际问题可知，这也是最大值点。

所以当产量为250件时利润达到最大值1230元。

（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为402)(+='x x C (万元/百台)．试求产量由4百台增至
6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解: ()()1004
6
404022
6
4=+=+=
∆⎰x x dx x c （万元） ()()()c x x
dx x dx x c x c ++=+=
'=⎰⎰
404022
∵固定成本为36万元 ∴()36402
++=x x x c
()x
x x c 3640++= ()2
36
1x x c -
=' 令()0='x c 解得：6,621-==x x （舍去）
因为只有一个驻点，由实际问题可知()x c 有最小值，故知当产量为6百台时平均成本最低。

（4）已知某产品的边际成本)(q C '=2（元/件），固定成本为0，边际收入
q q R 02.012)(-='，求：
①产量为多少时利润最大？
②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
解: ()()()()x x x C x R x L 02.010202.012-=--='-'='
令()0='x L 解得：500=x （件）
()()
500
550
01.01002.0102
550
500
x
x dx x L -=-=∆⎰
()()2
2
50001.050010550
01.055010⨯-⨯-⨯-⨯=
=2470-2500=-25（元）
当产量为500件时利润最大，在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会减少25元。