七年级数学竞赛专题4 代数式的值

代数式的值
一、填空题
1、若3x3-x=1，则9x4+12x3-3x2-7x+1999=
2、已知x=1999，则|4x2-5x+1|-4|x2+2x+2|+3x+7=
3、已知a2+bc=14，b2-2bc=-6，则3a2+4b2-5bc=
4、已知a-b=5，ab=-1，则代数式（2a+3b-2ab）-（a+4b+ab）-（3ab+2b-2a）=
5、若x+7y=y-3x ，则=
6、若a、b、c、d 为互不相等的整数，且abcd=25，则a+b+c+d=
二、解答题
7、已知，求代数式的值变式题：已知=3，求分式的值．
8、已知关于x的二次多项式a（x3-x2+3x）+b（2x2+x）+x3-5，当x=2时，多项式的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值．
变式题：当x=-5时，代数式ax4+bx2+c的值是3，求当x=5时，代数式ax4+bx2+c的值．
9、把（x2-x-1）n展开得
a2n x2n+a2n-1x2n-1+…+a2x2+a1x+a0，求
a0+a2+a4+…+a2n的值．当x=1时，有
a2n+a2n-1+…+a2+a1+a0=（x2-x-1）n=（-1）n，当x=-1时，有a2n-a2n-1+…+a2-a1+a0=（x2-x-1）n=1 ∴a0+a2+a4+…+a2n= ．
练习：已知（2x-1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0是关于x的恒等式．求：（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5的值；2）a0-a1+a2-a3+a4-a5的值（3）a0+a2+a4值
10、已知：，求证x+y+z=0．
11、设100个实数a1、a2、a3，、…、a100满足（n-2）
a n-（n-1）a n-1+1=0（2≤n≤100），并且已知
a100=199，求a1+a2+a3+…+a100的值．
解：已知a100=199，得a99=197，依次求出
a98、a97、a96、…a2、a1分别为195、193、191、…、3、1，所以a1+a2+a3+…+a100=1+3+5+…+197+199 =（1+199）+（3+197）+（5+195）+…+（99+101）=50×200=10000．
12、设f（x）=ax7+bx3+cx-5，其中a、b、c为常数，已知f（-7）=7，求f（7）的值．
13、已知x+y=1，求代数式x3+y3+3xy的值．
变式题：已知x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值．
14、已知a为有理数，且a3+a2+a+1=0，求代数式
1+a+a2+a3+…+a1995的值．
15、求代数式5x2-4xy+y2+6x+25的最小值．
16、已知m=4x2-12xy+l0y2+4y+9，当x、y各取何值时，m的值最小？
17、已知a2+b2+c2=ab+bc+ac，且a=1，
求代数式（a+b-c）2004的值．
19、已知a、b、c满足a+b+c=0，且abc＞0，
，
，
求代数式x2000-6xy+y3的值．
20、已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1，求代数式a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）的值．21、若，求
的值．
22、已知a+b+c=3，（a-1）3+（b-1）3+（c-1）3=0，且a=2，求代数式a2+b2+c2的值．
23、已知a是方程2x2+3x-1=0的一个根，求代数式的值．
24、已知a=2004x+2005，b=2004x+2006，c=2004x+2007，求多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值．
25、小明做一道数学题，“求代数式
10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1，当
x=-1时的值”？由于将式中某一项前的“+”号看为“-”号，误求得代数式的值为7，问小明同学看错了第几项前的符号？
26、，求代数式3a3-（a+a3-2a2-2）-2（1+a2+a3-6a）的值
代数式的值
一、选择题（共1小题，每小题3分，满分3分）
1、若3x 3-x=1，则9x 4+12x 3-3x 2-7x+1999的值等于（ ）
A 、1997
B 、1999
C 、2001
D 、2003
二、填空题（共2小题，每小题4分，满分8分）
2、已知x=1999，则|4x 2-5x+1|-4|x 2+2x+2|+3x+7= -19990
3、已知a 2+bc=14，b 2-2bc=-6，则3a 2+4b 2-5bc= 18．
三、解答题（共30小题，满分149分）
4、已知a-b=5，ab=-1，求代数式（2a+3b-2ab ）-（a+4b+ab ）-（3ab+2b-2a ）的值． （21）
5、若x+7y=y-3x ，求
的值． （
）
6、若a 、b 、c 、d 为互不相等的整数，且abcd=25，求a+b+c+d 的值． （a ，b ，c ，d 分别是±1，±5 0 ）
7、已知 ，求代数式
的值．
8、已知关于x 的二次多项式a （x 3-x 2+3x ）+b （2x 2+x ）+x 3-5，当x=2时，多项式的值为-17，求当x=-2时，该多项式的值．
（b=-1当x=-2时，原式=6b+5=-1）
9、把（x 2-x-1）n 展开得
a 2n x 2n +a 2n-1x 2n-1+…+a 2x 2+a 1x+a 0，求a 0+a 2+a 4+…+a 2n 的值．
当x=1时，有a 2n +a 2n-1+…+a 2+a 1+a 0=（x 2-x-1）n =（-1）n ，
当x=-1时，有a 2n -a 2n-1+…+a 2-a 1+a 0=（x 2-x-1）n
=1
∴a 0+a 2+a 4+…+a 2n = ．
10、已知：
，求证x+y+z=0．
11、设100个实数a 1、a 2、a 3，、…、a 100满足（n-2）
a n -（n-1）a n-1+1=0（2≤n≤100），并且已知a 100=199，求a 1+a 2+a 3+…+a 100的值． 解：已知a 100=199，根据（n-2）a n -（n-1）a n-1+1=0可得，98×199-99×a 99+1=0，解得，a 99=197， 依次可以求出a 98、a 97、a 96、…a 2、a 1分别为195、
193、191、…、3、1，
所以a 1+a 2+a 3+…+a 100=1+3+5+…+197+199=（1+199）+（3+197）+（5+195）+…+（99+101）=50×200=10000．
12、设f （x ）=ax 7+bx 3+cx-5，其中a 、b 、c 为常
数，已知f （-7）=7，求f （7）的值．
（a （-7）7+b （-7）3-7c-5=7，∴a77+b73+7c=-12， ∴f （7）=-12-5=-17）
13、已知x+y=1，求代数式x 3+y 3+3xy 的值． （x 3+3xy+y 3=（x+y ）（x 2-xy+y 2）+3xy=1）
14、已知a 为有理数，且a3+a2+a+1=0，求代数式1+a+a2+a3+…+a1995的值．（0）
15、求代数式5x2-4xy+y2+6x+25的最小值．
（5x2-4xy+y2+6x+25=（2x-y）2+（x+3）2+16）16、已知m=4x2-12xy+l0y2+4y+9，当x、y各取何值时，m的值最小？（m=4x2-12xy+l0y2+4y+9=（2x-3y）2+（y+2）2+5）
17、已知a2+b2+c2=ab+bc+ac，且a=1，
求代数式（a+b-c）2004的值．
解得：（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0
故（a+b-c）2004=（1+1-1）2004=1
18、已知a、b、c、d都是正整数，并且a5=b4，c3=d2，c-a=9，求a-b的值．
根据已知a5=b4，c3=d2，得出a，b，c，d之间的关系，进而求出（）（- ）=9，进一步得出=5，=4，从而可以求出a-b=16-32=-16．
19、已知a、b、c满足a+b+c=0，且abc＞0，
，
，求代数式
x2000-6xy+y3的值．
判断a、b、c的符号两负一正，以及当a＞0时，=1，当a＜0时，=-1，可求x=-1，将y的不等式变形为+ + ，由a+b+c=0，得
b+c=-a，a+c=-b，a+b=-c，可求y=-3，∴
x2000-6xy+y3=1-18-27=-44．20、已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1，求代数式a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）的值．
解：将等式a+b+c=0左右两边同时平方，得，（a+b+c）2=0，变形得，a2+b2+c2+ab+ac+ba+bc+ca+cb=0，∵a2+b2+c2=1，∴1+ab+ac+ba+bc+ca+cb=0，∴ab+ac+ba+bc+ca+cb=-1，即：a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）=-1．
21、若，求
的值．
解：解法1：（1）若a+b+c≠0，由等比定理有
若
= =1，
所以a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，
于是有= =8．
（2）若a+b+c=0，则a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，
于是有= =-1．
解法2：若=k，
则a+b=（k+1）c，①a+c=（k+1）b，②
b+c=（k+1）a．③；①+②+③有2（a+b+c）=（k+1）（a+b+c），所以（a+b+c）（k-1）=0，故有k=1或a+b+c=0．
当k=1时，= =8．
当a+b+c=0时，= =-1．
22、已知，试求代数式的值．由，2a2-5a+2=0，∴（2a-1）（a-2）=0，∴2a-1=0，a-2=0，解得a= 或a=2，故为
23、已知a是方程2x2+3x-1=0的一个根，求代数式的值．
（将逐步转化为含有
2a2+3a因式的形式用1代替，得）
24、已知a=2004x+2005，b=2004x+2006，
c=2004x+2007，求多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值．（可知a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2 故为3）
25、小明做一道数学题，“求代数式
10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1，当
x=-1时的值”？由于将式中某一项前的“+”号看为“-”号，误求得代数式的值为7，问小明同学看错了几项前的符号？
（把x=-1代入得-10+9-8+7-6+5-4+3-2+1=-5，误求得代数式的值为7，比-5大12，则12÷2=6，系数为6，五次项）
26、，求代数式3a3-（a+a3-2a2-2）-2（1+a2+a3-6a）的值．（11a= ）
27、已知=3，求分式的值．（提示：分式的分子与分母同除以a，b）（= ）28、当x=-5时，代数式ax4+bx2+c的值是3，求当x=5时，代数式ax4+bx2+c的值．（3）29、已知（2x-1）5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0是关于x的恒等式．求：（1）a0+a1+a2+a3+a4+a5的值；（2）a0-a1+a2-a3+a4-a5的值；
（3）a0+a2+a4的值．
（1）令x=1，得a0+a1+a2+a3+a4+a5=（2×1-1）5=1；（2）令x=-l，得a0-a1+a2-a3+a4-a5=[2×（-1）-1]5=-243；（3）将上面两式相加，得2a0+2a2+2a4=-242，
解得a0+a2+a4=-121．
30、已知x2+4x-1=0，求代数式2x4+8x3-4x2-8x+1的值．
解：原式=2x2（x2+4x-1）-2（x2+4x-1）-1=-1．
31、已知a+b+c=3，（a-1）3+（b-1）3+（c-1）3=0，且a=2，求代数式a2+b2+c2的值．
把a=2代入得b+c=1，bc=0，∴a2+b2+c2=22+（b+c）2-2bc=5 32、若a、b、c都是有理数，且a+b+c=0，
a3+b3+c3=0，求代数式a5+b5+c5的值．
根据a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=0，进而判断abc=0，故可判断代数式a5+b5+c5的值．
解答：解：a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ac）=0，得abc=0∴a5+b5+c5=0，故答案为0．
33、已知，试求代数式的值．解：由已知条件知a≠0，
∵，∴，
即，∴．。