2.3 有理数的乘除运算(教案)北师大版(2024)数学七年级上册

2．3有理数的乘除运算
第1课时有理数的乘法法则
1．了解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则；
2．理解倒数的概念，会求一个数的倒数．
重点
运用有理数乘法法则正确计算乘法．
难点
理解有理数乘法的符号法则．
一、导入新课
问题1：指名学生计算：(－2)＋(－2)＋(－2).
问题2：你们知道有理数包括哪些数吗？小学学习的四则运算是在有理数的什么范围内进行的？(非负数)
问题3：在有理数的加、减运算中，关键问题是什么？与小学所学的运算最主要的不同点是什么？(符号问题)
学生讨论并举手回答，教师点评．
教师：根据有理数加、减运算中引出的新问题主要是负数的加、减，运算的关键是符号的确定，你能不能猜出在有理数乘法以及以后学习的除法中将引出的新内容以及关键问题是什么？(负数问题，符号的确定)
二、探究新知
1．有理数乘法法则
甲水库的水位每天升高3 cm，乙水库的水位每天下降3 cm，预计经过4天甲、乙水库水位的总变化量各是多少？
如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么经过4天甲水库的水位变化量为
3＋3＋3＋3＝3×4＝12(cm)；
乙水库的水位变化量为
(－3)＋(－3)＋(－3)＋(－3)＝(－3)×4＝－12(cm).
(1)课件出示：一只小虫沿一条东西向的跑道，以每分钟3 m的速度向东爬行2 min，那么它现在位于原位置的哪个方向？相距多少米？(规定向东为正，向西为负)
引导学生用乘法来解答：3×2＝6.①
即小虫位于原来位置的东边6 m处．
(2)把上述问题变为：小虫以每分钟3 m的速度向西爬行2 min，那么结果有何变化？
引导学生用乘法来解答：(－3)×2＝－6.②
即小虫位于原来位置的西边6 m处．
教师：请同学们比较上面两道算式，它们有什么特点呢？
引导学生得出：当我们把“3×2＝6”中的一个因数“3”换成它的相反数“－3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”．总结：把一个因数换成它的相反数，所得的积是原来的积的相反
数．
教师：应用此结论计算3×(－2)，(－3)×(－2)，(－3)×0，3×0.
学生思考后举手回答，教师点评，并进一步引导学生归纳出有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数与0相乘，积仍为0.
教师强调：“同号得正”中正数乘正数得正数就是小学学习的乘法，有理数中特别注意“负负得正”和“异号得负”．
例1(课件出示教材第50页例1)
要求学生独立完成后汇报答案，教师点评，并进一步讲解：
如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数．
三、课堂练习
1．教材第50页“随堂练习”．
2．计算：(1)9×6；(2)(－9)×6；
(3)3×(－4); (4)(－3)×(－4).
【答案】2.(1)54(2)－54(3)－12(4)12
四、课堂小结
1．什么是倒数？
2．有理数乘法法则是什么？
五、课后作业
教材第55页习题2.3第1，2题．
有理数的乘法运算是在小学数的乘法运算知识的基础上进行教学的．本节课的关键是把中学引入负数后的乘法运算化归为小学算术数的乘法运算．由于有理数的乘法是有理数最基本的运算之一，因而它是今后学习实数运算、代数式的运算、解方程以及函数知识的基础．在教学过程中，通过设置问题让学生自主探索、合作交流，从新的角度去认识乘法，引导学生理解有理数乘法法则的实质，掌握运算规律，激发学生的学习兴趣，并让学生思考归纳，培养学生的归纳能力和语言表达能力．
第2课时有理数的乘法运算律
1．掌握多个有理数连续相乘的运算方法；
2．正确理解乘法交换律、结合律和分配律，能用字母表示运算律的内容；
3．能运用运算律较熟练地进行乘法运算．
重点
多个有理数连续相乘的运算方法以及乘法的运算律，运用运算律进行乘法运算．
难点
运用乘法对加法的分配律进行简便计算．
一、导入新课
1．有理数的乘法法则是什么？
2．小学时大家学过乘法的哪些运算律？
二、探究新知
1．提出问题，激发学生探索的欲望和学习积极性．
计算(－5)×89.2×(－2)的过程能否使用简便方法．这样做有没有依据．小学里数的运算律在有理数中是否适用？
2．导入运算律：
(1)通过计算①5×(－6)，②(－6)×5，比较结果得出5×(－6)＝(－6)×5.
(2)用文字语言归纳乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
(3)用公式的形式表示为：ab＝ba.
这里的a，b表示有理数，讲解“a×b→a·b→ab”的过程．
(4)分组计算，比较[3×(－4)]×(－5)与3×[(－4)×(－5)]的结果，讨论，归纳出乘法结合律．
用文字语言归纳：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等．
用公式的形式表示为：(ab)c＝a(bc)
(5)全班交流，规范乘法结合律的两种表达形式：文字语言、公式形式．
(6)分组计算、比较，5×[3＋(－7)])与5×3＋5×(－7)的结果，讨论归纳出乘法对加法的分配律．
用文字语言归纳：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
用公式的形式表示为：a(b＋c)＝ab＋ac
(7)一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．
a(b＋c＋d)＝ab＋ac＋ad
(8)确定下列积的符号，试分析积的符号与各因数的符号之间有什么规律？
2×8×(－0.5)×(－7)，
2×(－3)×(－0.5)×(－7)，
(－2)×(－3)×(－0.5)×(－7).
当负的乘数个数为奇数时，积为________；
当负的乘数个数为偶数时，积为________.
结论1：几个不等于0的数相乘，积的符号由____________决定；
结论2：有一个乘数为0，则积为________；
用两种方法计算：
(1
3＋1
4－
1
6)×12
比较上面两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法运算量小？
三、课堂练习
1．教材第52页“随堂练习”第1、2题．
2．下列各式中用了哪条运算律？如何用字母表示？
(1)(－4)×8＝8×(－4)；
(2)[(－8)＋5]＋(－4)＝(－8)＋[5＋(－4)].
【答案】2.(1)乘法交换律：a×b＝b×a(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
四、课堂小结
这节课你有什么收获？
1．乘法的运算律
2．多个有理数相乘积的符号规律
五、课后作业
教材第55页习题2.3第3，7题
这一节课既是前面所学知识的继续，又是有理数的混合运算的基础，起着承前启后的作用．本节课的学习按以下流程进行：探索有理数的乘法运算律→运用乘法运算律简化计算的方法．通过课堂练习、变式练习，让学生灵活掌握运算律的使用场景，加深乘法对加法的分配律的理解和掌握，培养学生应用所学知识解决问题的能力，以及独立完成练习的习惯．
第3课时有理数的除法
1．通过类比小学除法与乘法的关系归纳总结出有理数除法法则
一，能理解有理数除法法则，感受类比思想，发展归纳总结的能力；
2．通过计算观察归纳出有理数除法法则二，熟练掌握有理数的除法运算，发展从大量事实概括法则的能力．
重点
正确运用有理数除法法则进行有理数的除法运算．
难点
根据不同的情况选择更简便的方法求商．
一、导入新课
问题：请同学们思考：
一个数乘以3等于12，这个数是多少？如何列算式表示？
一个数乘以－3等于－12，这个数又是多少？如何列算式表示？
根据学生所列算式，引出本节课题：第3课时有理数的除法．
二、探究新知
1．讨论探究，归纳分类
让学生利用手中的卡片讨论有理数的除法有几种情况，并进行分类．六种情况：正数÷正数，负数÷负数，同号；正数÷负数，负数÷正数，异号；0÷正数，0÷负数，0除以任何非0的数．
2．计算猜测，探究法则
根据有理数乘法法则完成以下问题：除法是乘法的逆运算，猜测以下式子结果：
8×9＝________，72÷9＝______；
2×(－3)＝________，(－6)÷(－3)＝________；
(－4)×(－3)＝________，12÷(－4)＝________；
(－1)×4＝________，(－4)÷4＝________；
0×3＝________，0÷3＝________；
(－10)×0＝________，0÷(－10)＝________.
3．观察探究，总结法则
问题1：小组合作，观察各组商的符号及商的绝对值与被除数和除数有何关系，归纳总结出有理数的除法法则，并用数学语言表述出来．
问题2：想一想被除数是0的情况下，除法法则是什么？
板书：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0.提醒学生注意：0不能做除数．4．举例示范，理解法则
例1.计算：
(1)(－15)÷(－3)；(2)(－0.75)÷0.25；
(3)7÷(－63)；(4)0÷(－13 49).
板书：解：(1)(－15)÷(－3)＝＋(15÷3)＝5；
(学生尝试完成第(1)题之后，引导学生分析得出步骤：)步骤：①判断类型；②确定符号；③绝对值相除．注意：负数在有理数运算中一定要加上括号．
(2)(－0.75)÷0.25＝－(0.75÷0.25)＝－3；
(3)7÷(－63)＝－(7÷63)＝－19 ； (4)0÷(－1349 )＝0.
5．趁热打铁，熟练法则
(1)(－64)÷4；(2)36÷(－9)；
(3)0÷(－16).
(一名学生成果展示，并讲解这三道题，教师及时鼓励学生). 问题3：对于有理数的除法还有其他解法吗？
6．法则再探，柳暗花明
计算：(男生做除法题，女生做乘法题)
(1)1÷(－25 )与1×(－52 )；
(2)0.8÷(－310 )与0.8×(－103 )；
(3)(－14 )÷(－160 )与(－14 )×(－60).
比较计算结果，你发现了什么？由此得到什么结论？并与同伴交流．
引导学生归纳出有理数除法的又一个法则并板书：除以一个数等于乘这个数的倒数．并且通过观察、比较发现在非负数范围内成立的法则在有理数范围内也成立，除法的两个法则本质上是一致的．
7．举例示范，理解法则
例2.计算：
(1)(－18)÷(－23 )；
(2)16÷(－43 )÷(－98 )；
(3)(－15)÷(－15 )÷(－2).
学生尝试完成此题之后，引导学生分析得出步骤：①除号变为乘号；②除数变为倒数；③确定符号，绝对值相乘．
本例的目的是巩固转化的思想，在书写上与例1有区别，突出了先转化再计算的思想．
8．两个有理数相除，有两种方法
方法一、有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0数都得0(0不能作除数).
方法二、把除法转化为乘法：除以一个数等于乘这个数的倒数． 说说在进行除法运算时如何选择法则使计算更简便呢？
如(－78)÷3运用上述第________种方法简便；425 ÷(－35 )用上述
________种方法比较简便．
引导学生总结：根据算式中所给数的不同合理选择法则，整数的除法先确定符号，再把两数绝对值相除；有分数或小数参与的运算，将除法转化为乘法，确定结果符号后再计算，一般情况下这样做会比较简便，学生做题时可有目的地选择方法．
三、课堂练习
计算：(1)(－18)÷6；
(2)(－1)÷(－1.5)；
(3)(－3)÷(－25 )÷(－14 )；
(4)(－12)÷(－112 )÷(－100).
【答案】(1)－3 (2)23 (3)－30 (4)1.44
四、课堂小结
1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2．有理数除法法则是什么？
3．计算有理数除法的一般步骤有哪些？
五、课后作业
教材第55页习题2.2第4、6题．
让学生深刻理解除法是乘法的逆运算，对学好本节内容有比较好的作用．教学设计可以采用课本的引例作为探究除法法则的过程．让学生自己探索并总结除法法则，同时也让学生对比乘法法则和除法法则，加深印象．并讲清楚除法的两种计算方法：(1)在除式的项和数字不复杂的情况下直接运用除法法则计算．(2)分数除法，或多个有理数进行除法运算，或者是乘、除混合运算时应该把除法转化为乘法，然后统一用乘法的运算律进行计算．。