2020年中考数学必考高分考点：正方形(学生版)

专题22 正方形
1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2．正方形的性质：
（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；
（2）正方形的四个角都是直角,四条边都相等；
（3）正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；
（4）正方形是轴对称图形,有4条对称轴；
（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；
（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3．正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义,途径有两种：
先证它是矩形,再证有一组邻边相等。

即有一组邻边相等的矩形是正方形
先证它是菱形,再证有一个角是直角。

即有一个角是直角的菱形是正方形。

4．正方形的面积：设正方形边长为a,对角线长为b ,S正方形=
2
2
2
b
a
【例题1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知∠A＝90°,BD＝4,CF＝6,则正方形ADOF的边长是（）
A．√2B．2C．√3D．4
专题知识回顾
专题典型题考法及解析
【例题2】
（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接E B．过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．
一、选择题
1．（2019内蒙古包头）如图,在正方形ABCD中,AB＝1,点E,F分别在边BC和CD上,AE＝AF,∠EAF＝60°,则CF的长是（）
A．B．C．﹣1D．
2．（2019湖南张家界）如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺
时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形
OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是（）
A．（,﹣）B．（1,0）C．（﹣,﹣）D．（0,﹣1）
3.（2019•四川省广安市）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）
专题典型训练题
()A
6
1
()B
3
1
()C
5
1
()
D
4
1
4.（2019•贵州省铜仁市）如图,正方形ABCD中,AB＝6,E为AB的中点,将△ADE沿DE翻折得到△FDE,延长EF交BC于G,FH⊥BC,垂足为H,连接BF、DG．以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是（）
A．2B．3C．4D．5\
5．（2019黑龙江省绥化）如图,在正方形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个动点,P是正方形四边上的任意一点,且AB＝4,EF＝2,设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时,下列关于P点个数的说法中,一定正确的是（）
①当x＝0（即E、A两点重合）时,P点有6个
②当0＜x＜42﹣2时,P点最多有9个
③当P点有8个时,x＝22﹣2
④当△PEF是等边三角形时,P点有4个
A．①③B．①④C．②④D．②③
二、填空题
6．（2019湖南邵阳）公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”．如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是.
1
2
7．（2019湖南张家界）如图：正方形ABCD的边长为1,点E,F分别为BC,CD边的中点,
连接AE,BF交于点P,连接PD,则tan∠APD＝．
8.（2019•湖北省随州市）如图,已知正方形ABCD的边长为a,E为CD边上一点（不与端点重合）,将△ADE 沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG,CF．给出下列判断：
①∠EAG=45°；
②若DE=a,则AG∥CF；
③若E为CD的中点,则△GFC的面积为a2；
④若CF=FG,则DE=（-1）a；
⑤BG•DE+AF•GE=a2．
其中正确的是______．（写出所有正确判断的序号）
9．（2019福建）如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）
10.（2019•四川省凉山州）如图,正方形ABCD中,AB＝12,AE＝AB,点P在BC上运动（不与B、C重合）,过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为．
11. （2019•广东广州）如图,正方形ABCD的边长为a,点E在边AB上运动（不与点A,B重合）,∠DAM＝45°,点F在射线AM上,且AF＝BE,CF与AD相交于点G,连接EC,EF,EG,则下列结论：
①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；
③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．
其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）
12.（2019·广西贺州）如图,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE 绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为．
13．（2019•山东青岛）如图,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF．若AD＝4cm,则CF的长为cm．
14.（2019江苏镇江）将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图）,使得点D 落在对角线CF 上,EF 与AD 相交于点H ,则HD
＝ ．（结果保留根号）
15．（2019辽宁抚顺）如图,在2×6的网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,网格中小正方形的顶点叫格点,点A ,B ,C 在格点上,连接AB ,BC ,则tan ∠ABC ＝ ．
三、解答题
16．（2019湖南湘西州）如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在边CD ,AD 上,且AF ＝CE ．
（1）求证：△ABF ≌△CBE ；
（2）若AB ＝4,AF ＝1,求四边形BEDF 的面积．
17. (2019海南)如图,在边长为1的正方形ABCD 中,E 是边CD 的中点,点P 是边AD 上一点(与点A,D 不重合),射线PE 与BC 的延长线交于点Q.
第10题图
H
G
F
E
D
C
B
A
(1)求证:△PDE≌△QCE;
(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB＝PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.
18．（2019湖南株洲）如图所示,已知正方形OEFG的顶点O为正方形ABCD对角线AC、BD的交点,连接CE、DG．
（1）求证：△DOG≌△COE；
（2）若DG⊥BD,正方形ABCD的边长为2,线段AD与线段OG相交于点M,AM＝1
2
,求正方形OEFG的边
长．
19.（2019•湖北省仙桃市）如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE＝CF,过点E作EG ∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF．求证：
（1）AE⊥BF；
（2）四边形BEGF是平行四边形．
20．（2019•山东泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF＝90°,FG ⊥AD,垂足为点C．
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗？若垂直,给出证明；若不垂直,说明理由．
21．（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1）,在正方形ABCD中,点E,Q分别在边BC,AB上,DQ⊥AE于点O,点G,F分别在边CD,AB上,GF⊥AE．
①求证：DQ＝AE；
②推断：的值为；
（2）类比探究：如图（2）,在矩形ABCD中,＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠,使点A落在BC 边上的点E处,得到四边形FEPG,EP交CD于点H,连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系,并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下,连接CP,当k＝时,若tan∠CGP＝,GF＝2,求CP的长．。