必修5 第二章 第三节 等比数列及其前N项和 学生版

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教学辅导教案
1.判断数52，27()k k *+∈N 是否是等差数列{}n a ：5,3,1,1,,---L 中的项，若是，是第几项？
2.若数列{}n a 是等差数列，且11a =，35a =，则10a 等于（ ） A ．19 B.21 C ．37 D ．41
3.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求它的首项、公差与51a 的值．
4.设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++等于（ ）
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75 5.若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15
1．在等比数列{a n }中，a 2 015＝8a 2 012，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8
2．一种专门侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，若该病毒占据64MB 内存（1MB=210KB ），则开机后经过（ ）分钟．
A ．45
B ．44
C ．46
D ．47 3．2＋3和2－3的等比中项是( )
A ．1
B ．－1
C ．±1
D ．2
4.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2+a 3的值为（ ） A ．﹣6 B ．﹣8
C ．﹣10
D ．﹣12
5.设f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1 (n ∈N *)，则f (n )等于( )
A.27(8n －1)
B.27(8n ＋1－1)
C.27(8n ＋2
－1) D.27(8n ＋3－1)
6.在等比数列{a n }中，S n 为前n 项和，已知a 5=2S 4+3，a 6=2S 5+3，则此数列的公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
一、等比数列的基本概念
1.定义：如果一个数列从第______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q ≠0)． 2．递推关系：
在数列{a n }中，若a n ＋1
a n ＝q (n ∈N *)，q 为非零常数，则数列{a n }是等比数列．
（本部分主要给学生讲解等比数列的基本概念，着重强调公差是后一项前去前面一项，并且是从第二项开始，一定要强调各项不能为0）
【例1】判断下列数列哪些是等比数列，如果不是，请说明理由？ ∈ 1, 2, 4, 8, …，263
∈ 2000 , 2000×1.1, 2000×1.12,…, 2000×1.19 ∈ -1, -2, -4, -8,
∈－1, －1, －1, －1,… ∈1, 0, 1, 0,… 二、等比数列的通项公式
若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则1
1n n a a q
-=．
通项公式的变形：∈n m n m a a q -=；∈()11n n a a q --=；∈11
n n a q a -=；∈n m n m
a q a -=．
【例2】已知等比数列{a n }的公比是2，a 3=1，则a 5的值是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．16
三、等比中项：
在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．注意：a 与b 的等比中项可能是G ± 【例3】各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2，则log 2a 7+log 2a 11=
（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
四、等比数列的基本性质
∈若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；
∈若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =⋅
公式①重点强调左边和右边的项数一定要保持一致 【例4】在等比数列 {a n } 中，a 5a 7=2，a 2+a 10=3，则
=（ ）
A ．2
B ．
C ．2或
D ．﹣2 或﹣
五、等比数列前n 项和公式 等比数列前n 项和公式 (1)公式：S n ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 11－q n
1－q
＝a 1－a n q
1－q q ≠1，
q ＝1.
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．
思考 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 等于________．
【例5】在等比数列{a n }中，a 1•a 2•a 3=27，a 2+a 4=30试求： （1）a 1和公比q ；（2）前6项的和S 6．
六、等比数列及其前N 项和的性质综合应用 1.等比数列的前n 项和的性质：∈若项数为(
)*
2n n ∈N ，则S q S
=偶
奇
．
∈n n m
n m S S q S +=+⋅．∈n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列（0n S ≠）
2.错位相减法“差比数列”
一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和． 【例6】已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m∈N +满足=9，
=
，
则数列{a n }的公比为（ ） A ．
B ．2
C ．3
D ．4 【例7】已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，且
（n∈N *）．
（∈） 求c ，a n ；（∈） 若，求数列{b n }前n 项和T n ．
1.对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是（ ） A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列
2.在等比数列{a n }中，若a 6=6，a 9=9，则a 3为（ ）
A ．2 B
． C ． D ．4
3.在等比数列{a n }中，a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 5a 6a 7=（ ） A ．3
B ．
C ．±3
D ．以上皆非
4.已知等比数列{a n }中，a 2=2，a 5=，则a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1=（ ）
A ．（1﹣）
B ．（1﹣）
C ．16（1﹣）
D ．16（1﹣）
5.已知{a n }，{b n }都是等比数列，那么（ ） A ．{a n +b n }，{a n •b n }都一定是等比数列
B ．{a n +b n }一定是等比数列，但{a n •b n }不一定是等比数列
C ．{a n +b n }不一定是等比数列，但}{a n •b n }一定是等比数列
D ．{a n +b n }，{a n •b n }都不一定是等比数列 6.已知数列{a n }的前n 项和为，且S n =n 2+n ， （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）令b n =3an ，求证：数列{b n }是等比数列．
【查漏补缺】
忽略等比数列中的项的符号致误
1.已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，求
21
2
a a b
1．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3为( ) A ．4 B.32 C.16
9 D ．2
2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2＋log 35 3．数列{a n }为等比数列，且a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，a n >0，则该数列的公比q 是( ) A.22 B.25
5 C.1－52 D.5－12 4．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 14＝6，a 4＋a 17＝5，则a 6
a 19等于( ) A.32 B.23 C.1
6 D ．6 5．在等比数列{a n }中，a 5·a 6·a 7＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 7·a 8·a 9的值等于( ) A ．48 B ．72 C ．144 D ．192 6.数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…前n 项和等于( ) A ．2n ＋1－n B ．2n ＋1－n －2 C ．2n －n D ．2n
第一、二天作业
1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 5＋a 6＝( ) A ．80 B ．90 C ．95 D ．100 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零的常数)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列
C ．或者是等差数列，或者是等比数列
D ．既非等差数列，也非等比数列 4．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≠1 B ．a ≠0或a ≠1 C ．a ≠0 D ．a ≠0且a ≠1 5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________． 6．已知{a n }是等比数列，若a n >0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5＝________. 7．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的序号为________． ∈{a 2n }；∈{a 2n }；∈{1
a n }；∈{lg|a n |}。