中考最值问题大全

中考最值问题解题策略
垂线段最短在最值问题中的应用
模型一点到直线的所有线段中，垂线段最短
点P在直线l外，过点P作l的垂线PH，垂足为H，则点P到直线l的最
短距离为线段PH的长，即“垂线段最短”．
1、如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段
OM的取值围是_______________。

2、如图，在锐角△ABC中，BC＝4，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，
M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值是________．
3. 如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝32，⊙O的半径为1，点P
是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，
则线段PQ的最小值为________．
模型二“胡不归”问题
基本模型：两定一动，动点在定直线上
问题：点A为直线l上一定点，点B为直线外一定点，P为直线l上一动点，要使
2
2
AP＋BP 最小．
解决：过点A作∠NAP＝45°，过点P作PE⊥AN，在直角三角形中将
2
2
AP转化为PE，使得
2
2
AP＋BP＝PE＋BP，然后利用“两点之间线段最短”将“折”变“直”，再利用“垂线段最短”转化为求BF的长度．
此类题的解题步骤：第一步：以系数不为1的线段的定端点为顶点作一个角，使其正弦值等于此线段的系数(注意题目中有无特殊角)；
第二步：过动点作第一步中角的边的垂线，构造直角三角形；
第三步：根据两点之间线段最短，将“折”变“直”，再利用
“垂线段最短”找到最小值的位置．
4. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，边长为3，P是对角线
BD上的一个动点，则
1
2
BP＋PC的最小值是( )
A B
O
M
A. 3
B.
332 C. 3 D.3
32
5. 如图，在△ACE 中，CA ＝CE ，∠CAE ＝30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上，设点D 是线段AC 上任意一点(不含端
点)，连接OD ，当1
2
CD ＋OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB
的长．
6、如图6－2－4，二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，tan ∠CBO ＝2．⑴此二次函数的解析式为：______________________________________;
⑵动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针方向旋转，到与直线AB 重合时终止运动，直线l 与线段BC 交于点D ，P 是线段AD 的中点．
①直接写出点P 所经过的路线长_________________________________________.
②点D 与B 、C 不重合时，过点
D 作D
E ⊥AC ， D
F ⊥AB 于点F ，连接PE 、PF ，在旋转过程中，∠EPF 的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．
③在②的条件下，连接EF ，求EF 的最小值．
A
B
O
P x y C D
A
B
O
x
y C
图6-2-4
7．如图6－2－5，等边△ABC 的边长为3，N 为AC 的三等分点，三角形边上的动点M 从点
A 出发，沿A →
B →
C 的方向运动，到达点C 时停止．设点M 运动的路程为x ，MN 2＝y ，则y 与x 的函数图象大致是（
）
8．如图6－2－
6，O 为原点，每个小方格的边长为1
个单位长度，A 、
B 是第一象限横、纵坐标均为整数的两点，且OA ＝OB
⑴则A 、B 两点的坐标分别为__________、______________；
⑵画出线段AB 绕点O 旋转一周所形成的图形，并求出其面积（结果保留π）．
9．如图6－2－7①和6－2－7②，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝14，cos ∠ABC ＝
5
13
探究：如图6－2－7①，AH ⊥BC 于点H ，AH ＝____________,AC ＝___________，△ABC 的面积S △ABC ＝___________________．
拓展如图6－2－7②，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ．设BD ＝x ，AE ＝m ，CF ＝n （当点D 与A 重合时，我们认为S △ABD ＝0）
⑴用x ，m 或n 的代数式表示S △ABD 及S △CBD ；
⑵求（m ＋n ）与x 的函数关系式，并求（m ＋n ）的最大值及最小值； ⑶对给定的一个x 值，有时只能确定唯一的点D ，指出这样的x 的取值围．
A
B C
D
图6-2-5
图6-2-6
C
对称性质在最值问题中的应用
模型一两点一线
类型1 异侧和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB值最小．
问题解决：
结论：根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值即为线段AB长．
类型2 同侧和最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB值最小．
问题解决：
结论：将两定点同侧转化为异侧问题，PA＋PB最小值为AB′．
类型3 同侧差最小值问题
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最小．问题解决：
结论：根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，当PA＝PB时，|PA－PB|＝0.
类型4 同侧差最大值问题
问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
问题解决：
结论：根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，则|PA－PB|的最大值为线段AB 的长．
类型5 异侧差最大值问题
问题：两定点A、B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．
问题解决：
结论：将异侧点转化为同侧，同类型4，|PA－PB|的最大值为AB′.
1.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且DM＝2，点N
是对角线AC上一动点，则线段DN＋MN的最小值为
________．
2.如图，点C的坐标为(3，y)，当△ABC的周长最小时，
则y的值为________．
3.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，
P为射线CD上的动点，则|PA－PB|的最大值为________．
A B
C
D
P
E
A
B C
D
P
N
A
C B
D
E
P
图6-1-1③图6-1-1④图6-1-1⑤
4、如图6－1－1④，已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM ＋PN 的最小值＝ .
5、如图6－1－1⑤，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，点D 是BC 边上的点，CD ＝3，将△ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在AB 边上的点E 处，若点P 是直线AD 上的动点，则△
PEB 的周长的最小值是 .
6.（1）如图6－1－2①，在等边△ABC 中，AB ＝6，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使PB ＋PE 的值最小，最小值为 .
（2）如图6－1－2②，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC ＝60°，
P 是OB 上一动点，则PA ＋PC 的最小值是 ；
（3）如图6－1－2③，点D 、E 分别是△ABC 的AC 、AB 边的中点，BC ＝6，BC 边上的高为4，P 在BC 边上，则△PDE 周长的最小值为 .
7.（1）如图6－1－3①，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（1，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA ＋PC 的最小值为 . （2）如图6－1－3② ，菱形ABCD 中AB ＝2，∠A ＝120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，
C
图6-1-2① 图6-1-2② 图6-1-2③
CD ，BD 上的任意一点，则PK ＋QK 的最小值为 .
M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM ＋MN 的最小值是 .
8.（1）如图6－1－4①，∠AOB ＝45°，P 是∠AOB 一点，PO ＝10，Q 、R 分别是OA 、OB
上的动点，则△PQR 周长的最小值是 . （2）如图6－1－4②，点A （a ，1）、B （－1，b ）都在双曲线y ＝3x (x <0)上，点P 、Q
分别是x 轴、y 轴上的动点，当四边形PABQ 的周长取最小值时，PQ 在直线的解析式是（ ）.
A .y ＝x
B .y ＝x ＋1
C .y ＝x ＋2
D .y ＝x ＋3
（3）如图6－1－3③，锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，AD 平分∠BAC ，
C B
P 图6-1-3②
图6-1-3③
A
B
O
P
R
Q
a
b 图6-1-4①
图6-1-5
9. 如图6－1－5已知，直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点
B 到直线b 的距离为3，AB ＝
a 上找一点M
MN ⊥a 且AM ＋MN ＋NB 的长度和最短，则此时AM ＋NB ＝（ A .6 B .8 C .10 D .12
10、如图6－1－13③，一次函数y ＝－2x ＋4的图象与x 、y 轴分 别交于点A ，B ，D 为AB 的中点，C 、A 关于原点对称．P 为OB 上一动点，请直接写出︱PC －PD ︱的围：__________________．
11．如图6－1－14，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1），B （1，2），点P 在x 轴上运动，当点P 到A 、B 两点距离之差的绝对值最大时，点P 的坐标是____________________． 12．在⊙O 所在的平面上有一点A ，它到⊙O 的最近距离是3，最远距离是7，则⊙O 的半径为________________．
13．在A 、B 均在面积为1的小正方形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标坐标系如图6－1－15，若P 是x 轴上使得︱PA －PB ︱的值最大的点，OP ＝__________________.
14．如图6－1－16，抛物线y ＝ax 2
＋bx －4a 经过A (－1,0)、C (0,4)两点，与x 轴交于另一点B ．⑴抛物线及对称轴分别为________________________________;
⑵点D 所在抛物线的对称轴上，求︱DB －DC ︱的最大值．
模型二 一点两线
类型1 一定点与两条直线上两动点问题
问题：点P 在∠AOB 的部，在OB 上找一点D ，在OA 上找一点C ，使得△PCD 周长最小．
图6-1-14
图6-1-15
图6-1-13③
问题解决：
结论：要使△PCD周长最小，即PC＋PD＋CD值最小，根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可，则△PCD周长最小为线段的长．
类型2 两定点与两条直线上两动点问题
问题：点P、Q在∠AOB的部，在OB上找点D，在OA上找点C，使得四边形PQDC周长最小．
问题解决：
结论：将问题转化为类型1即可，PC＋CD＋DQ的最小值为线段P’Q ’
长，则四边形PQDC的周长的最小值为P’Q’＋PQ的值．
1.如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD
上分别找一点M，N使△AMN的周长最小，则∠AMN＋∠ANM的度
数为________．
2.如图，在直角坐标系中，已知A(－3，－1)，B(－1，－3)，若
D是x轴上一动点，C是y轴上的一个动点，则四边形ABCD的
周长的最小值是________．
模块四“小虫爬行问题”A′
B′
C′
D′
例6－1－2（1）如图6－1－6①，已知长方体的长为AC ＝2cm ，宽BC ＝1cm ，高AA ′＝4cm ，一只蚂蚁沿长方体的表面从A 点爬到B ′点的最短路径是多少？
【规律】“小小相加凑一边时路径最短.” （2）如图6－1－6②，圆柱形杯高为12cm 、底面 周长为18cm ，在杯离杯底4cm 的点C 处有一滴 蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离 为多少cm ?
【规律】“一点一点外要用轴对称.” 练习：
1.（1）如图6－1－7①，长方体的长宽高分别为15、10、20，点B 离点C 的距离为5，一只
A
（2）6－1－7②，底面半径为3cm 的圆锥的主视图是个正三角形，C 是母线OB 的中点，则从圆锥表面从A 到C 的最短距离等于 cm .
（3）6－1－7③,圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，爬行的最短路程（π取3）是（ ）cm .
A .20
B .10
C .14
D .无法确定
（4）如图6－1－7④，ABCDEFGH 是个无上底长方体容器，M 在容器侧，位于侧棱BF 上，已知AB ＝5，BF ＝9，FM ＝3，则从外部的点A 到部的点M 的最短距离等于 . 2.如图6－1－8，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm ？
模块五 折叠最值
【规律】折叠背景下的最值问题，考查的是动手操作能力、合图6-1-7④
图6-1-7 ③
图6-1-7②
图6－1－8
A C ′ 蚂蚁
蜜蜂
A D ′
情推理能力.方法是：
（1）在折叠中感受大小变化规律，（2）通过特殊位置求最值.
1、如图6－1－9，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点M、N 分别在AB、BC上（含端点），且AB＝6，BC＝10，设AE＝x，则x的取值围是 .
【规律】A、E重合时x最小为0，折痕的两端点在AB、CD上，不合题意，向下移动N 到C时，得x的最小值，继续沿BC向B移动N，使M上移至A时，得到满足条件的x最大值；
2.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5，如图6－1
－11，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当
点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点
P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大
距离为 .
模块六圆中最长弦是直径
解法归一：求对角是直角的双直角四边形中对角线的最小值、
或圆中线段最小值时常用它．
1、如图6－3－1，等腰直角△ABC斜边长为4，D为是斜边AB
的中点，直角∠FDE分别交AC、BC于F、E，则线段EF的最小
值是_________________．
2．如图6－3－2，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且
∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交点
G、H两点，若⊙O的半径为6，则GE＋FH的最大值为____________．
模块七、求两正数和的最小值[9]
解法：①由（a－b）2≥0得a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时成立；
②对任意正数m,n可设m＝a2、n＝b2(a、b为正数)，则有m＋n＝a2＋b2≥2ab＝
2
即m＋n≥
2m＝n时等号成立．
这是高中两个最重要的不等式．求两个正数和的最小值时就用它，并且只有这两个正数相等时和才取最小值．
1、阅读理解：对任意实数a，b，
∵（
2≥0，∴a－
b≥0，∴a＋b≥
a＝b时，等号成立．
根据上述容，回答下列问题：
⑴若m＞0，只有m＝____时m＋1
m
有最小值______________；
⑵若n＞0，只有n＝_____时n＋2
n
有最小值_____________；
图6－1－9
图6－1－11
B′
A′D′
C′
P′
Q
A′
图6-3-2
图6-3-1
⑶若x ＞0，只有x ＝______时，8x 2＋
22
x
有最小值___________________; 2、如图6－4－1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上与点A 、B
不重合的任意一点，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝a ，
DB ＝b ．请用本题图验证a ＋b ≥
并指出等号成立时的条件．
3、如图6－4－2，已知A （－3，0），B （0，－4），P 为双曲
线y ＝12
x
(x ＞0)上任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥
y 轴于点D ，求四边形ABCD 的面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．
4、公式：对于任意正数a 、b ，总有a ＋b ≥
，并且只有当a ＝b 时，等号成立．
直接应用或变形应用
⑴已经y 1＝x （x ＞0），y 2＝1
x
（x ＞0），则当x ＝____________时，y 1 ＋y 2取得最小值___________.
⑵已知函数y ＝x ＋a
x
(a ＞0，x ＞0)，当x ＝______________时，该函数有最小值_____________．
⑶已知函数y 1＝x ＋1与函数y 2＝(x ＋1)2＋4，当x ＞－1时，求21
y
y 的最小值，并指出相应的
x 的值．
实际应用
已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设汽车一次运输的路程为x 千米，求当x 为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
模块八 二次函数最值
解法归一：“二次整数ax 2＋bx ＋c 最值”完全可以借助二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 最值解决，解决方案有三：一用配方法，二用顶点公式，三图象法．（注：a ,b ,c 为常数，且a ≠0） 1、 ⑴x 2－2x ＋6的最小值是_______________________; ⑵二次函数y ＝－x 2
＋6x 的最大值是______________________． 2、如图6－6－1，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，P 是
B
图
6-4-1
D
E
BC上任意一点（P不与B、C重合），过点P作AP⊥PE交CD于点Ｅ．设BP为x，CE为y，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
3、如图6－6－2，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4经过点B（1，0），C （5，0），交纵轴于点A，对称轴l与x轴相交于点M．
⑴请直接写出抛物线的解析式，对称轴及点A的坐标;
⑵在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
4、如图6－6－3，把一边长为4的正方形ABCD折叠，使B点
落在AD上的E处，折痕为MN，设AE＝x，问x为何值时，折
起的四边形MNFE面积最小，并求出这个最小面积的值．
图
6-6-2 图6-6-3
模块九 几何探究最值类[8]
1、请阅读下列材料：问题：如图6－7－1①，圆柱的高AB 和它的底面半径均为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线．
小明设计了两条路线：
路线1：走圆柱表面最短路线（即图6－7－1②侧面展开图中的线段AC ）． 路线2：走圆柱高线与度面直径（即图6－7－1①中的AB ＋BC 的长）
设路线1的长度为l 1，设路线2的长度为l 2，则l 1
2
＝AC 2
＝AB 2
＋2
BDC l 22＝(AB ＋BC )2，将AB ＝5，BC ＝10，半圆弧BDC 长5π代入上面的式子得（请你帮小明完成下面的计算）：
l 12＝AC 2＝ ；
l 22＝(AB ＋BC )2＝ ； l 12－l 22＝ . ∴l 12>l 22 ∴l 1>l 2 ∴选择路线2较短.
（1）小明对上述问题结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm ,高
AB 为5dm ”继续按前面的路线进行计算（请你帮小明完成下面的计算）： 路线1：l 12＝AC 2＝ ；
路线2：l 22
＝(AB ＋BC )2
＝ ；
∵l 12 l 22，∴l 1 l 2（填>或<），所以选择路线 （填1或2）较短. （2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短.
2、在河岸l 同侧有A 、B 两个村庄，A 、B 到l 的距离分别是3km 和2km ，AB ＝akm (a >1)现计划在河岸上建一抽水站P 向两个村庄供水.
方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种管道铺设方案：
图6－7－2①是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d ，且d 1＝PB ＋BA (km )(其中PB ⊥l 于P 点)；
图6－7－2②是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2,且d 2＝PA ＋PB (km )(其中点A ′与点A 关于l 对称，A ′B 与l 交于点P ).
观察与计算（1）在方案一中，
d 1＝ km (用含a 的式子表示)；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图6－7－2③的辅助线，请你按小宇同学的思路
C
图6-7-1①
图6-7-1②
沿AB 剪开 摊平
图6-7-2①
图6-7-2②
图6-7-2③
P
计算，d 2＝ km (用含a 的式子表示). 探索归纳：（1）①当a ＝4时，比较大小：d 1 d 2（填“>”或“＝”或“<”）；
②当a ＝6时比较大小：d 1 d 2（填“>”或“＝”或“<”）；
（2）请你就a （当a >1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？ 3、（1）如图6－7－3①，把矩形AA ′ B ′ B 卷成以AB 为高的圆柱形，则点A
与 重合，点B
与 重合.
探究与发现
（2）如图6－7－3②所示，若圆柱的底面周长是30cm ，高是40cm ，从圆柱底部A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B 处作装饰，则这条丝线的最小长度是 cm ；（丝线的粗细忽略不计）
（3）若用丝线从图6－7－3②圆柱底部A 处沿侧面缠绕4圈直到顶部B 处（如图6－7－3③所示），则至少需要多长丝线？ 创新与应用：（4）如图6－7－3④，现有一圆柱形的玻璃杯，准备在杯子的外侧缠绕一层装饰带，为使带子的两端沿AE 、CF 方向进行裁剪，如图6－7－3⑤，若带子宽度为1.5厘米，杯子的半径为6厘米，裁剪角为α，则sin α＝ .
4、如图6－7－4①是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm 的正三角形，三个侧面都是矩形.现将宽为15cm 的彩色矩形纸带AMCN 裁剪成一个平行四边形ABCD （如图6－7－4②），然后用这条平行四边形纸带按如图6－7－4③的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重合部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.
（1）请计算图6－7－4②中裁剪的角度∠BAD ；
′
图6-7-4②
图6-7-4①
B C ′
′ 图6-7-3⑤
图
6-7-4
B 图6-7-3④
B
B A B ′’′ ’′
图6-7-3① 图6-7-3②
图6-7-3③
（2）计算按图6－7－4③方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度.。