巩固练习_基本不等式_提高

【巩固练习】
一、选择题
1. 下列结论正确的是( )
A ．当x >0且x ≠1时，1lg 2
lg x x +
≥ B ．当x >02≥ C ．当x ≥2时，1x x +的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，1x x
-无最大值 2. 若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的个数为( )
①ab ≤1；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤
112a b +≥. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3. 设0,0a b >>,3a 与3b 的等比中项,则
11a b +的最小值为( ) A.8 B.4 C.1 D.14
4．若-4<x<1，则22222
x x x -+-有（ ） A ．最小值1 B.最大值1 C.最小值-1 D.最大值-1
5. 利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为2
30400010
x y x =-+，则每吨的成本最低时的年产量为( ) A ．240 B ．200
C ．180 D. 160
6．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )
A ．3
B ．4 C.92 D.112
二、填空题
7．已知x ，y ∈R ＋，且满足
134x y +=，则xy 的最大值为________． 8．若lgx+lgy=1，则
25x y +的最小值为_____. 9. 已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________．
10. 若对任意x ＞0，231
x a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是________． 11. 有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如下图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．
三、解答题
12. 若1x >-，则x 为何值时11
x x +
+有最小值，最小值为几？ 13. 已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1119a b c ++≥. 14. 求证:47(3)3
a a a +≥>- 15. 某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．
(1)设该厂每x 天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1关于x 的函数关系式；
(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y 最小，并求出这个最小值．
【答案与解析】
1．【答案】 B
【解析】
A 中，当x>0且x≠1时，lg x 的正负不确定， ∴1lg 2lg x x +≥或1lg 2lg x x
+≤-； C 中，当x≥2时，min 152x x ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭； D 中，当0<x≤2时，1y x x =-
在(0,2]上递增，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭.故选B. 2. 【答案】 C 【解析】 因2
12a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以①正确；
因224a b a b =+++++=，
2，故②不正确； 因2
22
22a b a b ++≥=，所以③正确； 因a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝2[(a ＋b )2－3ab ]＝2(4－3ab )＝8－6ab ≥8－6＝2，所以④不正确； 因1122a b a b ab ab
++==≥，所以⑤正确． 故正确的命题为①③⑤.
3．【答案】B
【解析】由题意的33a b +=，所以1a b +=， 则
1111()()1124b a a b a b a b a b a b
+=++=+++≥+=.
4．【答案】D 【解析】2222(1)1111[(1)]2 1.222(1)212
x x x x x x x -+-+==--+≤-⨯=----
5. 【答案】B
【解析】依题意得每吨的成本是40003010y x x x
=+-，则
3010y x ≥=，当且仅当 400010x x
=，即x ＝200时取等号，因此当每吨的成本最低时，相应的年产量是200吨，选B.
6．【答案】 B
【解析】 ∵2
222x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
∴228(2)2x y x y +⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭ 即(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0
∴x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍)．
7．【答案】 3
【解析】 由134
x y +=为定值知 23412123342x y x y xy ⎛⎫+ ⎪=⋅⋅≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
. ∴当且仅当
34
x y =时xy 有最大值3. 8．【答案】2
【解析】
lgx+lgy=1, xy=10,
252x y +≥. 9. 【答案】116
【解析】21141444216x y xy x y +⎛⎫=⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当142
x y ==时取等号．
10. 答案: 15
a ≥ 【解析】 2
11313x a x x x x ≥=++++
又12x x +
≥ ∴1115
3x x
≤++ ∴15
a ≥
11. 【答案】2500 m 2
【解析】设所围场地的长为x ，则宽为
2004x -，其中0<x <200，场地的面积为2220012002500m 442x x x x -+-⎛⎫⨯≤= ⎪⎝⎭
，当且仅当x ＝100时等号成立．
12. 【解析】∵1x >-, ∴10x +>, ∴111121111
x x x x +=++-≥-=++ 当且仅当111x x +=
+即0x =时，原式有最小值1. 13.【解析】 证明：∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，∴11a b c b c a a a a
++==++， 11a b c a c b b b b ++==++， 11a b c a b c c c c
++==++. ∴1111113b c a c a b b a c b a c a b c a a b b c c a b b c c a
++=++++++++=++++++
3≥+3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号． ∴1119a b c
++≥. 14.【解析】证明:443333
a a a a +=+-+--由基本不等式和3a >
得4433333a a a a +=+-+≥--
=237= 当且仅当
433
a a =--即5a =时取等号. 15. 【解析】 (1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x －1)天．
∴每次购买的原材料在x 天内总的保管费用为y 1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝(6x 2－6x )(元)．
(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x 元， ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为21600(66600) 1.54006594y x x x x x
=-++⨯=++.
∴594714y ≥=， 当且仅当6006x x
=，即x ＝10时，取等号． ∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y 最小，为714元．。