小学数学竞赛三 循环问题

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三循环问题
分析我们将1÷7的过程分解成下列各式:
1÷7=0 (1)
10÷7=1 (3)
100÷7=14 (2)
1000÷7=142 (6)
10000÷7=1428 (4)
100000÷7=14285 (5)
1000000÷7=142857 (1)
……
由此发现,随着后补零的增加,每次除得的余数将按“132645”循环出现,商的小数点后面按“142857”循环出现,也就是6位一循环.
每6位一循环,由于1994÷6=332…2,所以小数点后第1994位上的数字是4.
在这类问题中,关键是确定一个“循环节的长度”,而这就要通过诸多特殊情况的分析才能发现.
例2 有一列数,第一个是1994,第二个是1,以后每个数都是它前边两个数以大减小的差,求这列数的第100个是多少?
分析先按题中条件写出一些数:
1994,1,1993,1992,1,1991,…这串数不像例1那样,完全一样地循环,如果从第一个开始,每三个数分一组:
(199,1,1993),(1992,1,1991),(1990,1,1989),…那么每一组的第一个数就形成了一列从大到小的连续偶数:
1994,1992,1990,…
每一组的第二个数都是1;每一组的第三个数形成一列从大到小的连续奇数:
1993,1991,1989,…
解由于100÷3=33…1,说明这列数的第100个数是第34组的第一个,应该是一个偶数.也就是下面这列数的第34个.
在这列数中,从第二个开始,每一个数都比它前一个数少2,也就是:
第二个数:1992=1994-2×1
第三个数:1990=1994-2×2
第四个数:1988=1994-2×3
…………
依照这个规律,第34个偶数应该是:
1994-2×(34-1)=1928
因此本题答案为1928.
例3 一列数,第一个是1949,第二个是1994,从第三个开始,每个数是它前两个数的平均值的整数部分,问这列数的第100个数是多少?
分析先写出一些数来观察规律:
1949,1994,1971,1982,1976,1979,1977,1978,1977,…
从这列数看出,相邻两数之差越来越小,这个差等于1时,往后的数就总不变了.
解由于从第九个数往后,每个数都是1977,所以第100个数也是1977.
例4 一列数,第一个是0,第二个是1,从第三个数开始,每个数的3倍是它两边两个数之和.
(1)第1994个数是奇数,还是偶数?
(2)第1994个数除以3的余数是多少?
分析按已知条件列举出一些数:
0,1,3,8,21,55,144,…
分别求出这些数除以2的余数和除以3的余数,形成下表:
由此表不难分析出循环规律.
解(1)由于自然数的奇、偶性满足下列关系:
奇数×3=奇数,奇数-奇数=偶数
奇数-偶数=奇数,偶数-奇数=奇数
所以这列数中相邻两数奇、偶性不同时,下一个数为奇数;相邻两数同为奇数时,下一个数为偶数.所以这列数的奇、偶循环规律为:
偶,奇,奇,偶,奇,奇,…,
每三个数一循环,又由于:
1994÷3=664 (2)
所以第1994个数为奇数.
解(2)由已知条件,隔一个数的两个数之和是3的倍数,所以这列数除以3的余数是按0,1,0,2每四个数一循环,由于
1994÷4=498 (2)
所以第1994个数除以3余1.
事实上,我们还可以求出这个数除以6的余数,将除以3余1的奇数从小到大排列出来就是:
1,7,13,19,25,31,37,…
它们除以6都余1.。

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