陕西省西工大附中2014届高三上学期第四次适应性训练数学(理)试题Word版含解析

陕西省西工大附中2014届高三第四次适应性训练数学理试
题
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．1-或1 【答案】A
【KS5U 解析】因为复数2(1)(1)z x x i =-+-为
纯虚数，所以
210
,110x x x ⎧-==-⎨
-≠⎩解得，所以实数x 的值为-1.
2．集合{|P x y ==，集合{|Q y y ==，则P 与Q 的关系是( )
A ．P ＝Q
B ．P Q
C ．P ≠⊂Q
D ．P∩Q ＝∅ 【答案】C
【KS5U 解析】因为集合{|P x y = {}|1x x =≥，集合
{|Q y y = {}|0y y =≥，则P 与Q 的关系是P ≠⊂Q 。

3．设{}12
1,0,,1,2,3a ∈-，则使函数a
y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】B
【KS5U 解析】满足函数a y x =的定义域为R 的a 的值为1,2,3，其中为满足是奇函数的只有1和3，所以选B 。

4．在103cos ,2
1tan ,==∆B A ABC 中，则tan C 的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C
D ．2 【答案】A
【KS5U 解析】因为0
1c o s ,s i n
,t a n 10
10
3
B
B B ===所以所以，所以
()1123tan tan 111123
C A B +
=-+=-=--⨯。

5．执行右面的程序框图，若输入N ＝2013，则输出S 等于( )
A ．1
B ．20122011
C ．20132012
D ．2014
2013
【答案】D
【KS5U 解析】第一次循环：()11
1,12
k S S k k ==+
=+，满足条件，继续循环；
第二次循环：()111
2,1223
k S S k k ==+
=++⨯，满足条件，继续循环；
第三次循环：()1111
3,122334
k S S k k ==+
=+++⨯⨯，满足条件，继续循环；
第四次循环：()11111
4,12233445
k S S k k ==+=++++⨯⨯⨯，满足条件，继续循环；
……
第
2013次循环
：
()
1
11
1
1
2
013,122
3
3
4
k S S k k ==+=
++++=+⨯⨯⨯⨯
…+，此时不
满足条件，结束循环，所以输出S 等于
2014
2013。

6．直线3y kx =+与圆()()22
324x y -+-=相交于M,N 两点，
若MN ≥则k 的取值范围是（ ）
A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,43
B ．[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝
⎛
-∞-,043,
C ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-33,33 D ．⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡-0,32 【答案】A
【KS5U 解析】因
为MN ≥，所以圆心到直线的距离
1d ≤，
即
31,0
4k ≤≤≤解得-，所以k 的取值范围是⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-0,43。

7
．设1m -=⎰
，若将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移m 个单
位后所得图像与原图像重合，则ω的值不可能．．．为．
（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 【答案】B
【KS5U 解析】
易知1
2
m -π
==
⎰
，若将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左
平移m 个单位后所得图像与原图像重合，则2
π
为周期的整数倍，即
2,42nT n n ππωω
==⨯=所以，所以ω的值不可能．．．为．6.．． 8．如图所示，在ABC ∆中， 60=∠B ， 45=∠C ,高3=AD ，在BAC ∠内作射线AM 交BC 于点M ，则1<BM 的概率为（ ）
A ．31
B ．52
C ．33
D ．213-
【答案】B
【KS5U 解析】由题意，∠B=60°，AD ⊥BC ，AD= 3 ，可知AB=2，
在△ABM 中，利用余弦定理得，当BM=1时，AM 2=AB 2+BM 2-2AB •BMcos ∠ABM=3， 所以cos ∠
BAM=∴∠BAM=30°，
从而所求的概率为P=故选B ．
9．已知一个四面体有五条棱长都等于2，则该四面体的体积最大值为( ) A ．12 B ．1 C ．2
2 D ．2 【答案】B
【KS5U 解析】若一个四面体有五条棱长都等于2，则它必然有两个面为等边三角形，如图
由图结合棱锥的体积公式，当这两个平面垂直时，该四面体的体积最大，此时棱
锥的底面积1
22
S =⨯=
，棱锥的高为
，则该四面体的体积最大值为
1
13
V ==．
10．设变量y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥-,5,4,2x y x y x 则点),(y x y x P -+所在区域的面积为
（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10 【答案】C
【KS5U 解析】画出约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥-,5,4,2x y x y x 的可行域，令12,z x y z x y =+=-，则
[][]124,8,2,6z z ∈∈，所以点),(y x y x P -+所在区域的面积为8.
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．
11．已知平面向量a ，b ，c 不共线，且两两之间的夹角都为 120，若|a |＝2，|b |＝2，|c |＝1，则a +b +c 与a 的夹角是___________． 【答案】60°
【KS5U 解析】因为平面向量a ，b ，c 不共线，且两两之间的夹角都为 120，
12．在20
的展开式中，x 的有理项共有_________项．
【答案】四项
【KS5U 解析】展开式的通项为：，由
题意可得，即40-5r 是6的倍数，又因为0≤r ≤20，所以r=2，8，14，20，故展开式中的有理项共有四项．
13．在平面中，△ABC 的角C 的内角平分
线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝AC
BC
.将这个
结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则
类比的结论为V A －CDE
V B －CDE ＝________．
【答案】
V A －CDE V B －CDE ＝
S △ACD S △BDC
【KS5U 解析】在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比
S △AEC S △BEC ＝AC
BC
.，将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD 中，平面DEC 平分二面角A-CD-B 且与AB 交于E ，则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：
V A －CDE V B －CDE ＝
S △ACD S △BDC
，故答案为：
V A －CDE V B －CDE ＝
S △ACD S △BDC。

14．已知F 是C 椭圆的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 ．
【答案】e =
【KS5U 解析】
，
15．选做题（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
A ．（不等式选做题）设f (x )＝2|x |－|x ＋3|，若关于x 的不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，则参数t 的取值范围为________． 【答案】[0,3]
【KS5U 解析】f (x )＝2|x |－|x ＋3| 3,033,303,3x x x x x x ->⎧⎪
=---<≤⎨⎪-+≤-⎩
，所以函数f (x )＝2|x |－|x ＋
3|的最小值为-3，所以要使关于x 的不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，需
233,03t t --≥-≤≤解得。

B ．(坐标系与参数方程选做题) 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π6＋m ＝0，曲线C 2的参数方程为
⎩⎨
⎧=-=α
α
sin cos y x (0<α<π)，若曲线C 1与C 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是____________．
【答案】⎥⎦⎤ ⎝
⎛
--21,1
【KS5U 解析】曲线C 1：ρsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
θ＋π6＋m ＝0的直角坐标方程为：20x m +=，
曲线C 2：⎩⎨⎧=-=α
α
sin cos y x (0<α<π) 的直角坐标方程为：221(0)x y y +=>，若直线
20x m ++=与半圆相切，则21,112
m m ==-即（舍）或，把点（1,0）代入
得1
-2
m =，所以结合图像，要使曲线C 1与C 2有两个不同的交点，数m 的取值
范围是11,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭。

C ．(几何证明选做题) 已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线A
D 和
割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22， AB ＝3，则切线AD 的长为__________．
【答案】
15
【KS5U 解析】因为圆心O 到AC 的距离为22，所以
BC=2=，
所以23515AD AB AC =⋅=⨯=,所以切线AD 的长为
15。

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分12分）已知函数()()2
2sin cos 2cos 2f x x x x =++-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ） 当3,44x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,求函数()f x 的最大值,最小值．
17．（本题满分12分）数列{}n a 中，12a =，1n n a a cn +=+（c 是常数，123n =，，，）
，且123a a a ，，成公比不为1的等比数列． （Ⅰ）求c 的值；
（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．
18．（本题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，121QA AB PD ===．
（Ⅰ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；
（Ⅱ）求二面角Q —BP —C 的余弦值．
19．（本题满分12分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项
技术指标达标的概率为512，至少一项技术指标达标的概率为11
12
．按质量检验规
定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？
（Ⅱ）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列及数学期望E ξ．
20．（本题满分13分）已知函数1ln (),(1)x
f x x x
+=≥．
（Ⅰ）试判断函数)(x f 的单调性，并说明理由；
（Ⅱ）若()1
k
f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．
21．（本题满分14分）已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且FQ FP QF QP ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹曲线C 的方程；
（Ⅱ）设动直线m kx y +=与曲线C 相切于点M ，且与直线1-=x 相交于点N ，试探究：在坐标平面内是否存在一个定点E ，使得以MN 为直径的圆恒过此定点E ？若存在，求出定点E 的坐标；若不存在，说明理由．
2014年西工大附中第四次适应性训练数学（理科）参考答案
一．选择题：
1． A 2． C 3． B 4. A 5． D 6． A 7． B 8． B 9．B 10．C 二．填空题：
11． 60° 12．四项 13.
V A －CDE V B －CDE ＝
S △ACD S △BDC
14. e =
15． A ． [0,3] B. ⎥⎦⎤ ⎝
⎛
--21,1. C.
15
三．解答题：
16．解：（I ）()sin 2cos 224f x x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭. ∴()f x 的最小正周期为π.
（II ）.337,,244444x x πππππ⎡⎤∈∴≤+≤⎢⎥⎣⎦ ,1sin 242x π⎛
⎫∴-≤+≤ ⎪⎝
⎭
∴()1f x ≤≤.∴当3,44x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,函数()f x 的最大值为1,最小值.
17．解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+，
因为1a ，2a ，3a 成等比数列，所以2(2)2(23)c c +=+，解得0c =或2c =． 当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =．
（II ）当2n ≥时，由于21a a c -=，322a a c -=，……1(1)n n a a n c --=-， 所以1(1)
[12(1)]2
n n n a a n c c --=++
+-=
． 又12a =，2c =，故22(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+=，，． 当n=1时，上式也成立，所以22(12)n a n n n =-+=，
，
18．解：（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）. 则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===- 所以0,0.PQ DQ PQ DC ⋅=⋅=
即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC.故PQ ⊥平面DCQ.
又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ. （II ）依题意有B （1，0，1），
(1,0,0),(1,2,
C B B P ==-- 设(,,)n x y z =是平面PBC 的法向量，则0,0,
20.
0,n CB x x y z n BP ⎧⋅==⎧⎪⎨
⎨-+-=⋅=⎩⎪⎩即
因此可取(0,1,2).n =--
设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.m BP m PQ ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪
⎩
可取
(1,1,1).cos ,5m m n =<>=-
所以 故二面角Q —BP —C
的余弦值为
5-
19．解：（Ⅰ）设A 、B 两项技术指标达标的概率分别为1P 、2P
由题意，得
121212
5(1)(1)1211
1(1)(1)12
P P P P P P ⎧
⋅-+-⋅=⎪⎪⎨
⎪--⋅-⋅=⎪⎩ 解得 1232,43P P ==或1223,34P P ==，∴1212
P PP ==. 即，一个零件经过检测为合格品的概率为12
. （Ⅱ）依题意知ξ～B(4,1
2
)，
分布列为k k k C k P )21()21
()(44-==ξ，其中4,3,2,1,0=k ，1422E ξ=⨯=.
20．解：（I ）2ln ()x f x x '=-
1≥x 0ln ≥∴x 0)('≤∴x f 故()f x 在
递减 （II ） 记
再令x x h x x x h 11)(ln )('-=-=则 0)(1'≥≥x h x 则
在
上递增。

，从而
故在上也单调递增
21．（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由FQ FP QF QP ⋅=⋅，得
(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．
（Ⅱ）由⎩⎨⎧=+=,
4,2x y m kx y 得0)42(222=+-+m x km x k ， 由0=∆，得1=km ，从而有)2,(2m m M ,)1,1(m m
N +--， 则以MN 为直径的圆的方程为0)1)(2()1)((2=-+
-++-m m y m y x m x ， 整理得，,02)31()1(222=-+++-+-x y x m m
y m x 由⎪⎩
⎪⎨⎧=-++==-,02,0,0122x y x y x 得1=x ，0=y
所以存在一个定点E )0,1(符合题意.。