高二第二学期期中理科数学试卷含答案
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高二级第二学期期中考试 数学科试卷(理)
考试时间:120分钟 满分:150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)
1.正弦函数是奇函数,2()sin(1)f x x =+是正弦函数,因此2()sin(1)f x x =+是奇函数, 以上推理( )
A .结论正确
B .大前提不正确
C .小前提不正确
D .全不正确 2. “1a >”是“函数()cos f x ax x =+在(,)-∞+∞上单调递增”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
3.下列计算错误..的是( )
A.
sin 0x xdx x =-⎰ B.4
π
=
⎰ C.
1210dx =⎰ D.2
2
1
1
210x dx x dx =-⎰⎰
4.已知三个方程:①2
x t y t
=⎧⎨=⎩②2
tan tan x t y t
=⎧⎨=⎩③2
sin sin x t y t
=⎧⎨
=⎩ (都是以t 为参数).那么表示同一曲线的方程
是( ) A .①②③
B .①②
C .①③
D .②③
5.已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)(5)1f f -==,'()f x 为()f x 的导函数,且导函数'()y f x =的图象如图所示,则不等式()1f x <的解集是( ) A .(-3,0) B .(-3,5)
C .(0,5)
D .(-∞,-3)∪(5,+∞)
6. 已知结论:“在正三角形ABC 中,若D 是BC 的中点,G 是三角形ABC 的重心,则
2AG
GD
=”.若把该结论推广到空间,则有结论:在棱长都相等的四面体A-BCD 中,若△BCD 的中心为M ,四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等,则
AO
OM
等于( ) A .1 B .2
C .3
D .4
7. 在极坐系中点23π⎛⎫
⎪⎝
⎭
,与圆 θρcos 2= 的圆心之间的距离为( )
8.已知函数32()(6)3f x x ax a x =+++-有两个极值点,则实数a 的取值范围是( )
A .(3,6)- B.(,3)(6.)-∞-⋃+∞
C.[]3,6-
D.(][,36,)-∞-⋃+∞
9. 用数学归纳法证明不等式
()1,1111 (122)
n N n n n n n *
∈++++++>>的过程中,从n k =到1n k =+时左边需增加的代数式是 ( ) A .
1
22
k +
B .
112122k k -++ C . 11
2122
k k +++ D .
1
21
k + 10.正方形的四个顶点(1,1),(1,1),A B --(1,1),C -(1,1)D -分别在抛物线2y x =-和2y x =上,如图所示,
若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是 ( ) A.
23 B.13 C.16 D.1
2
11.设函数()x
x
f x e e -=-,以下结论一定错误..
的是( ) A .'()2f x ≥ B .若21
(22)e e f x x ----<,则x 的取值范围是(2,3)-.
C . 函数()y f x =在(,)-∞+∞上单调递增
D .函数()f x 有零点
12.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x >时,'()()xf x f x >,若(2)0f =,则不等式0()
f x x
>的解集为( )
A .{02x x -<<或}02x <<
B .{2x x -<或}2x >
C .{
02x x -<<或}
2x >
D .{
2x x -<或}02x <<
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、 填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.观察下列等式:
23(11)21
(21)(22)213(31)(32)(33)2135
+=⨯++=⨯⨯+++=⨯⨯⨯
…
照此规律, 第n 个等式可为 .
14. 已知直线参数方程为355
435x t y t
⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
(t 为参数),直线与圆5p =交于B 、C 两点,则线段BC 中点直角坐
标________.
15. 已知函数322
()3f x x ax bx a =+++,若函数()()sin 2g x f x x =+在点(0,(0))g 处的切线平行于x 轴,
则实数b 的值是________.
16.若函数3
2
()(0)h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为00(,())M x h x ,记函数()h x 的导函数为
()g x ,则有0'()0g x =,设函数32()32f x x x =-+,则
1240324033...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
________. 三、解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)
平面直角坐标系xoy 中,直线l
的参数方程为,
x y t ⎧=⎪
⎨=⎪⎩
(t 为参数),圆C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ
为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求直线l 和圆C 的极坐标方程;(5分)
(Ⅱ)设直线l 和圆C 相交于A,B 两点,求弦AB 与其所对劣弧所围成的图形面积.(5分)
18. (本小题满分12分)
已知数列{}n a 的前n 项和*1()n n S na n =-∈N . (1)计算1a ,2a ,3a ,4a ;(4分)
(2)猜想n a 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.(8分)
19 .(本小题满分12分)
(1)若x ,y 都是正实数,且2x y =>,求证:
21x
y
+<与21y x +<中至少有一个 成立.(6分)
(2)
n N *
∈(6分)
20.(本小题满分12分)
某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本20元,并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数,
且25t ≤≤,设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(2540x ≤≤),根据市场调查,销售量q 与x
e 成
反比,当每公斤蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100公斤.
(Ⅰ)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式;(6分)
(Ⅱ)若5t =,当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时,该工厂的利润y 最大,并求最大值.(6分)
21.(本小题满分12分)
已知函数2
()1(1)(0)2
k f x n x x x k =+-+
≥. (Ⅰ)当2k =时,求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程;(5分) (Ⅱ)求()f x 的单调区间.(7分)
22.(本小题满分12分) 已知函数1()(cos )()x
f x e
a x a R -=-+∈.
(Ⅰ)若函数()f x 存在单调递减区间,求实数a 的取值范围;(5分)
(Ⅱ)若0a =,证明: 1
[1,]2
x ∀∈-,总有(1)2()cos(1)0f x f x x '--+⋅+>.(7分)
第二学期期中考试
高二级 理科数学试卷 参考答案及评分标准
一、选择题:(每题5分,满分60分)
13.
n
(n 1)(n 2)(n 3)(n n)2135...(2n 1)++++=⨯⨯⨯⨯⨯- 14. 4433,2525⎛⎫
⎪⎝
⎭ 15. -2 16.0 16.【解析】由题意得,2()'()360g x f x x x ==-=,'()660g x x =-=解得1x =,(1)0f =,因为
3232
(1)(1)(1)3(1)2(1)3(1)20f x f x x x x x ⎡⎤⎡⎤++-=+-+++---+=⎣⎦⎣⎦,即函数()f x 的图象关于点
()1,0对称,
则
114032403314033...201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫++++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2403220162018...(1)02017201720172017f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦⎣⎦
,故答案为0.
17.解:(Ⅰ)求直线l 的普通方程为20x -= (1)……………………(1分) 将cos ,sin x p y p θθ==代入(1)得cos sin 20p θθ-= 化简得直线l 的方程为cos()13
p π
θ-
= …………………………(3分)
圆C 的极坐标方程为2p = ……………………………………………………(5分)
(Ⅱ)2
cos 13p p πθ=⎧⎪
⎨⎛⎫
-= ⎪⎪⎝⎭⎩
解之得:A(2,0) , B(2,32π) ……………………(6分) ∴23
AOB π
∠=
,∴2
1124=?·
··4=2
233
AOB S a r ππ=扇形…………………(8分)
1
··sin 2AOB S OA O B a ∆=
=4-=3
AOB AOB S S S π∆=扇形………(10分) 18. 解:(1)由已知得 当n =1时,有S a a a =-=⇒=11111
12
; 当n =2时,有221221126s a a a a =-=+⇒=; 同理可得 ,a a ==3411
1220
(说明:1a ,2a ,3a ,4a 一个1分)
…………4分
(2)猜想:
(*)()
n a n N n n =
∈+1
1
…………5分
证明:①当n =1时,由(1)得a ==
⨯111
212
,等式成立 ……6分
②假设当(*)n k k N =∈时,()
n a k k =+1
1成立
…………7分
则 当n k =+1时,有
k k k a S S ++=-11[()]()k k k a ka +=-+--1111()k k ka k a +=-+11 ……9分
k k k
a a k +⇒=
+121·2(1)k k k k =
++()[()]
k k =+++1111 …………10分
即 当n k =+1时,等式也成立
……………………………11分
综合①②可知 ()
n a n n =
+1
1对一切*n N ∈都成立
………………12分
19. 证明:(1)假设
1x y +<2和1y x +<2都不成立,即
1x
y
+≥2和1y x +≥2同时成立. ∵x >0且y >0,∴12x y +≥,且12y x +≥.
两式相加得222x y x y ++≥+,∴2x y +≤.这与已知条件2x y +>矛盾,
∴
1x
y
+<2和1y x +<2中至少有一个成立.……………………(6分)
(2)原式子等价于
2
)n N *∈,两边平方得到
224(1)221n n n n +++⇒+⇔+>>22212n n n n ⇔+++>恒成立,得证.……………………(12分)
20.解:(Ⅰ)设日销量3030,100,100x k k
q k e e e
=
=∴=则 …………………(2分)
∴日销量30100x e q e =
∴30100(20)
(2540)x
e x t y x e --=≤≤. ……(6分) (Ⅱ)当5t =时,30100(25)
x
e x y e
-=…………………………………(7分)
30100(26)'x
e x y e -= …………………………………………………(8分)
由'0y ≥得26x ≤,由'0y ≤得≥x 26
∴y 在[]25,26上单调递增,在[]26,40上单调递减………………(10分)
∴当26x =时,4
max 100y e =………………………………………(11分)
当每公斤蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的利润最大,最大值为4
100e 元.(12分) 21.解(I )当k =2时,f (x )=ln(1+x )-x +x 2
,f ′(x )=11+x
-1+2x . ………(2分)
由于f (1)=ln 2,f ′(1)=3
2,…………………………………………………(4分)
所以曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y -ln 2=3
2
(x -1),
即3x -2y +2ln 2-3=0. …………………………………………………………(5分) (II )f ′(x )=
x kx +k -1
1+x
,x ∈(-1,+∞).……………………………(6分)
当k =0时,f ′(x )=-x
1+x
.
所以,在区间(-1,0)上,f ′(x )> 0;在区间(0,+∞)上,f ′(x )<0.
故f (x )的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+∞).……………(7分) 当0<k <1时,由f ′(x )=
x kx +k -11+x =0,得x 1=0,x 2=1-k
k >0.
所以,在区间(-1,0)和(1-k k
,+∞)上,f ′(x )>0;在区间(0,1-k
k
)上,f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(-1,0)和(1-k k ,+∞),单调递减区间是(0,1-k k
)(9分)
当k =1时,f ′(x )=x 2
1+x
.故f (x )的单调递增区间是(-1,+∞)…………(10分)
当k >1时,由f ′(x )=
x kx +k -11+x =0,得x 1=1-k
k
∈(-1,0),x 2=0.
所以,在区间(-1,1-k k
)和(0,+∞)上,f ′(x )>0;在区间(1-k
k
,0)上,f ′(x )<0.
故f (x )的单调递增区间是(-1,1-k k )和(0,+∞),单调递减区间是(1-k k
,0)(12分)
22.解:(Ⅰ)由题意得1()(sin cos )x f x e a x x -'=--++,…………………………(1分) 若函数()f x 存在单调减区间,则1()(sin cos )0x f x e a x x -'=--++≤………………(2分)
即sin cos 0a x x -++≥存在取值区间,即)4
a x π
≤+
存在取值区间………(4分)
所以a <
…………………………………………………………………………(5分)
(Ⅱ)当0a =时,11()cos ,()(sin cos )x x f x e x f x e x x --'==-+
21(1)2()cos(1)cos(1)[sin()]4x x f x f x x x e x π
+-'--+⋅+=+⋅-⋅+…………………(6分)
由11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有310,[0,]22x π
⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎣⎦
,从而cos(1)0x +>,
要证原不等式成立,只要证21sin()04x x
e x π
+--⋅+
>对11,2x ⎡⎤
∀∈-⎢⎥⎣⎦
恒成立(7分)首先令21()(22)x g x e x +=-+,由21'()22x g x e +=-,可知,
当1(,)2x ∈-
+∞时()g x 单调递增,当1
(,)2
x ∈-∞-时()g x 单调递减, 所以21
1
()(22)()02
x g x e
x g +=-+≥-=,有2122x e x +≥+………………………(9分)
构造函数()22)4h x x x π
=+-+
,11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,
因为'()2)2(
cos())4
24
h x x x π
π
=-+
=-+, 可见,在[]1,0x ∈-时,'()0h x ≤,即()h x 在[]1,0-上是减函数, 在10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝
⎦时,0'()h x >,即()h x 在10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
上是增函数,
所以,在11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
上,min ()(0)0h x h ==,所以()0g x ≥.
所以,)224
x x π
+
≤+,等号成立当且仅当0=x 时,……………………(11分)
综上:21
22)4
x e x x π
+≥+≥+
,由于取等条件不同,
故21
)04
x e
x π
+-+>,所以原不等式成立. ………………………………(12分)。