课件1：3.1.1 椭圆及其标准方程

且m≠n).
(3)找关系：依据已知条件,建立关于a,b,c或m,n的方程组. (4)得方程:解方程组,将a,b,c或m,n代入所设方程即为所求. 提醒:焦点所在坐标轴不同,其标准方程的形式也不同.
习练·破
已知方程
x2 m2
y2 m2
=1表示焦点在x轴上的椭圆，
则m的取值范围是 ( )
A.m>2或m<-1
设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=6①，
由余弦定理得，cos∠PF1F2=
m2 16 n2 2m 4
1 2
,
即m2-n2-4m+16=0②，
由①②解得m= 5，n 7 ,
2
2
故△PF1F2的面积是
1 2
m
|
F1F2
|
sin
60
1 2
5 2
4
3 5 3. 22
【答案】D
类题·通 1.椭圆定义的应用 (1)实现椭圆上的点与两个焦点连线长度之间的相互转化. (2)将椭圆上的点与两焦点连线的和看成一个整体， 求解定值问题.
3.1.1 椭圆及其标准方程
必备知识·素养奠基
1.椭圆的定义 (1)文字语言：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_常__数__ (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)集合语言：P={M||MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2|}.
36 27
课堂检测·素养达标
1.方程 x 22 y2 x 22 y2 =10化简的结果是 ()
A. x2 y2 1 25 16
x2 C.
y2
1
25 4
B. x2 y2 1 25 21
D. y2 x2 1 25 21
【解析】方程 x 22 y2 x 22 y2 =10表示动点M(x，y)

内化·悟 求轨迹方程的关键是什么? 提示：关键是分析题中条件,选择合适的求轨迹方程的 方法.
类题·通 求与椭圆有关的轨迹方程常用的方法 (1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、 圆等)的定义，则可用定义法求解. (2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化， 列出等式后化简,得出动点的轨迹方程. (3)相关点法:根据相关点所满足的方程,通过转换求出动点轨迹 的方程.
【答案】4
本课结束

43
【答案】C
内化·悟 1.用定义法求椭圆标准方程的思路是什么? 提示：先分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的 定义，若符合椭圆的定义，可以先定位，再确定a，b的值.
2.当椭圆的焦点位置不确定时怎样求标准方程? 提示：若椭圆的焦点位置不确定,需要分焦点在x轴上和在 y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2+ny2=1(m≠n， m>0，n>0).
2.椭圆定义解题的整体思想
对于椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1，F2构成的△F1PF2， 如已知∠F1PF2，可利用S=12 |PF1||PF2|sin ∠F1PF2 把|PF1|·|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2+|PF2|2= (|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|， 而无需单独求出|PF1|和|PF2|，这样可以减少运算量.
运动，C为圆心，线段AB的垂直平分线交BC于点P，
则动点P的轨迹E的方程为
.
【解析】如图，由题意，得|PA|=|PB|，
所以|PA|+|PC|=|PB|+|PC|=r=6>|AC|=4，
所以点P的轨迹E是以A，C为焦点的椭圆，其中c=2，a=3， 所以b= 5 ，所以椭圆方程为 y2 x2 =1.
，∠F1PF2的大小为
.
【解析】由题意，得|PF1|+|PF2|=6，又|PF1|=4，
所以|PF2|=2.在△PF1F2中，
cos∠F1PF2=
PF1
2
PF2 2 PF1
2 PF2
F1F2
2
=- 1 .
2
所以∠F1PF2=120°.
【答案】2 120°
类型三 与椭圆有关的轨迹问题
典例 已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，-4)，C(0，4)，
标准方程
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)
焦点在y轴上
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
焦点
F1(-c,0), F2(c,0)
_F_1_(_0_,-_c_)_, _ _F_2_(0_,_c_)_
焦距 2c(c>0)
2c(c>0)
思考： (1)从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？ 提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2 项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”. (2)在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？ 提示：不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定.
95
【答案】 y2 x2 =1
95
角度2 利用椭圆的定义解决焦点三角形问题
典例
已知椭圆C：x92
y2 5
=1的左、右焦点分别是F1，F2，
点P在椭圆C上，且∠PF1F2=60°，则△PF1F2的面积是
()
A.5
B.
5 2
C. 5 3
D. 5 3
2
【解析】由题意可得a=3，c= 9 5 =2.
B.m>-2
C.-1<m<2
D.m>2或-2<m<-1
【解析】椭圆的焦点在x轴上， 所以m2>2+m，即m2-2-m>0. 解得m>2或m<-1. 又因为2+m>0，所以m>-2. 所以m的取值范围是m>2或-2<m<-1. 【答案】D
类型二 椭圆定义及其应用
角度1 用定义法求椭圆的标准方程
典例 已知定点A(0，-2)，点B在圆C：x2+y2-4y-32=0上
思考 定义中的常数不满足2a>|F1F2|时点的轨迹是什么? 提示：(1)当|PF1|+|PF2|=2a<|F1F2|时，P的轨迹不存在. (2)当|PF1|+|PF2|=2a=|F1F2|时，P的轨迹为以F1，F2为 端点的线段.
2.椭圆的标准方程 椭圆标准方程的两种形式
焦点位置 焦点在x轴上
提示：(1)×.因为2a=|F1F2|=8，动点的轨迹是线段F1F2， 不是椭圆. (2)×.2a<|F1F2|，动点不存在，因此轨迹不存在. (3)√.符合椭圆的定义. (4)×.平面内到点F1(-4，0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹 是线段F1F2的垂直平分线.
2.已知F1，F2是定点，|F1F2|=8，动点M满足|MF1|+|MF2|=10， 则动点M的轨迹是 ( )
发散·拓 椭圆中的焦点三角形： 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2， 称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题，通 常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识 求解.
习练·破
椭圆 x2 y2
92
则|PF2|=
=1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上.若|PF1|=4，
【解析】因为△ABC的周长为20，顶点B(0，-4)，C(0，
4)，所以|BC|=8，|AB|+|AC|=20-8=12，因为12>8，所以
点A到两个顶点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是
椭圆.因为a=6，c=4，所以b2=20，所以椭圆的方程是 y2 x2 =1(x≠0).
36 20
【答案】 B
习练·破 若△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且b=6， 求顶点B的轨迹方程. 解：以直线AC为x轴,AC的中点为原点,建立平面直角坐 标系,设A(-3,0),C(3,0),B(x,y),则|BC|+|AB|=a+c=2b=2|AC|=12， 所以B点的轨迹是以A,C为焦点 的椭圆,且a＇=6,c＇=3,b＇2=27. 故所求的轨迹方程为 x2 y2 =1(y≠0).
类题·通
待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，
还是在两个坐标轴上都有可能.
(2)设方程.
①依据上述判断设方程为
x2 a2
＋
y2 b2
=1(a>b>0)或
y2 a2
＋ bx22=1(a>b>0)；
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2+ny2=1(m>0，n>0
则顶点A的轨迹方程是 (
A. x2 y2 =1(x≠0)
36 20
C. y2 x2 =1(x≠0)
20 6
)
B.
y2 36
x2
20=1(x≠0)
D.
y2 20
x2 6
=1(x≠0)
思维·引 1.根据三角形的周长和顶点，得到点A到两个顶点的距 离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点 在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点. 2.利用中点坐标公式表示P点和M点的坐标的关系，用 代入法求得轨迹方程.
x2 y2 A. 1
16 9 x2 y2 C. 1 43
x2 y2 B. 1
16 12 x2 y2 D. 1 34
【解析】因为F1(-1，0)，F2(1，0)，所以|F1F2|=2， 因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项， 所以2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=4， 所以点P在以F1，F2为焦点的椭圆上， 因为2a=4，a=2，c=1，所以b2=3， 所以椭圆的方程是 x2 y2 =1.
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.线段
【解析】因为|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|， 所以点M的轨迹是椭圆.
【答案】A
关键能力·素养形成
类型一 求椭圆的标准方程
典例 已知椭圆的焦点F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上一点, 且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项,则椭圆的方程是( )
()
x2 y2 A. 1
43 y2 x2 C. 1 43
B. x2 y2 1 4
D. y2 x2 1 4
【解析】c=1，a=2，所以b2=a2-c2=3， 所以椭圆的方程为 x2 y2 =1.
43
【答案】A
3.设F1，F2是椭圆x92
y2 4
=1的两个焦点，P是椭圆上的点，
且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△F1PF2的面积=
到两个定点(±2,0)的距离之和为定值10,
且10>2+2,由椭圆的定义可得：动点M的轨迹是椭圆，
且2a=10，c=2，所以b2=a2-c2=52-22=21. 所以椭圆的方程为： x2 y2 =1.
25 21
【答案】B
2.已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，
则椭圆的方程为
.
【解析】由椭圆方程，得a=3，b=2，c= 5 .
因为|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,
所以|PF1|=4，|PF2|=2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
所以△PF1F2是直角三角形，
故△F1PF2的面积为
1 2
1
|PF1|·|PF2|=2
×4×2=4.
素养小测
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)已知F1(-4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8 的点的轨迹是椭圆. ( ) (2)已知F1(-4，0)，F2(4，0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6 的点的轨迹是椭圆. ( ) (3)平面内到点F1(-4，0)，F2(4，0)两点的距离之和等于点M(5，3)到 F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆. ( ) (4)平面内到点F1(-4，,0)，F2(4，0)距离相等的点的轨迹是椭圆. ()