安徽师范大学2007-2008学年第二学期(精)
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《概率论》试卷共8页 第1页 《概率论》试卷共8页 第2页
安徽师范大学2007-2008学年第二学期
数学与应用数学专业《概率论》期末考试试卷(A )(时间 120分钟)
一、填空题(每小题2分,共20分)
1. 三个箱子,第一个箱子有4个黑球1个白球,第二个中有3个黑球3个白球,
第三个中有3个黑球5个白球,现随机取一个箱子,再从这个箱子中取出一球,这球为白球的概率为
.
2. 在长度为1的线段AB 上随机地取三点123,,X X X ,则12X X 和的距离的数学期望为 .
3. 设随机变量ξ的概率密度为2
2,0;
()0,0.x
xe x p
x x -⎧⎪>=⎨⎪≤⎩
则1()E ξ= .
4. 设随机变量ξ与η相互独立,且ξ服从正态分布)3,2(2
N , η服从正态分布
2(3,5)N ,则(235)P ξη-≤-= .
5. 设随机变量ξ 服从泊松分布(),[(1)(
2)]1P E λξξ--=,则λ= . 6. 设随机变量ξ 服从均匀分布),(π0U , 则(sin )E ξ= .
7. 设随机变量ξ与η同分布,其相关系数1
2
ξηρ=,23ζξη=-,则ξ与ζ的相关系数为 .
8.设随机变量ξ的密度函数⎩⎨⎧<<=其它
,0;
1x 0,x 3)x (p 2,η表示对ξ的3次独立观察中事
件12ξ⎧
⎫
<
⎨⎬⎩⎭
出现的次数,则D η= . 9. 设随机变量ξ与η相互独立, 且ξ服从泊松分布)2(P ,η服从指数分布)3(e , 则
)32(++ηξD = . 10. 设1220,,
,ξξξ为正的且独立同分布的随机变量,则1210
1220
(
)E ξξξξξξ++++++= . 二、选择题(本题共8小题,每小题2 分, 满分16分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,把所选
项前的字母填在题后的括号内.)
1. 将一枚硬币重复掷n 次,以ξ和η分别表示正面向上和反面向上的次数,则ξ和η的相关系数等于[ ].
(A) 1. (B) 0. (C)
1
2
. (D) -1. 2. 设随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ,分布函数为
2
2(),
.t x
x e dt x -
-∞
Φ=
-∞<<∞
且(||)(0,1),P x ξα>=∈,则x =[ ]. (A) 1()α-Φ. (B) 1
(1)2α-Φ-
. (C) 1(1)α-Φ-. (D)1()2
α
-Φ.
3. 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布函数为(,)(arctan )(arctan )223
x y
F x y A B π=++,
则常数,A B 分别为[ ]
(A)
1,2ππ. (B) 22,ππ. (C) 21,2
π
π. (D) 1,4ππ.
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4. 设随机变量ξ,η满足()()D D ξηξη+=-,则下列说法正确的是[ ] (A) ξ与η相互独立. (B) ξ与η不相关. (C) 0D η=. (D) 0D D ξη=.
5. 设随机变量ξ服从二项分布(,)B n p ,已知0.5,0.45E D ξξ==.则[ ] (A) 5,0.3n p ==. (B) 10,0.05n p ==.
(C) 1,0.5n p ==. (D) 5,0.1n p ==.
6. 设ξ与η是相互独立的两个随机变量,分布列分别为
则必有[ ] (A) ξη=. (B)()0.52P ξη==. (C)()1P ξη==. (D)()0P ξη≠=.
7. 设ξ 服从正态分布)2,(2μN ,η服从正态分布)3,(2
μN
记)2(1-≤=μξP a , )3(2+≥=μηP a ,则[ ]
(A )12a a =. (B )12a a >. (C )12a a <. (D )无法确定.
8. 设C B A ,,是两两独立且不能同时发生的随机事件,且)()()(C P B P A P ==
x =,则x 的最大值为[ ]
(A) 21 (B) 1 (C) 31 (D) 4
1
三、计算题 (本题共6小题,满分52分,解
答应写出文字说明) 1.(本题满分10分)
设随机变量ξ和η独立,分别具有密度函数
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x
λξλ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.
0,0;0,)(y y e
y p y μημ
又知随机变量1,0,ξη
ζξη
>⎧=⎨
≤⎩, 试求ζ的分布列及其数学期望.
2.(本题满分10分)
甲罐中有2个白球和4个红球,乙罐中有1个白球和2个红球,现在随机地从甲罐中取出一球放入乙罐,然后从乙罐中随机地取出一球,问从乙罐中取出的是白球的概率是多少?若已
知从乙罐中取出的是白球, 问从甲罐中取出的是白球的概率是多少?
装 订 线 内 不 要 答 题
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3.(本题满分10分)
设随机变量X 和Y 独立,分别具有密度函数
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x e x p x
X 22,0;
()0,
0.y Y e y p y y -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩
求X +Y 的密度函数.
4.(本题满分11分)
设二维随机变量(ξ,η)的联合密度函数为 ,0,0;
(,)0,
x
y y e e x y p x y y --⎧⎪⎪>>=⎨
⎪⎪⎩ 求:(|),(0)E y y ξη=>
5.(本题满分11分)
设离散型随机变量),(Y X 联合分布列为
X Y 1 2 3
1 16 19 118
2 1
3 α β
问βα,取何值时,Y X 与独立?
装 订 线 内 不 要 答 题
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四、证明题 (本题共1小题,满分12分,应写出证明过
程)
1.(本题满分11分) 设12,,
ξξ是一列独立同分布的随机变量列,且1E ξμ=,21D ξσ=,证明:对任意的
(,)x ∈-∞∞
有2
2
1(),,().t n
x j j P x e dt n ξμ--∞=⎛⎫⎪-<→→∞⎪⎭
装 订 线 内 不 要 答 题。