巧解含参数的函数的导数问题

巧解含参数的函数的导数问题
巧解含参数的函数的导数问题
山东利津县第一中学(257400)胡彬
近年总有含参数的函数(或数列)的高考
题,一般都可用常规方法求解.首先概念要清
楚,含参数的函数不是一个函数,参数的值不
同,就是不同的函数.其次,应该对参数分类,
即按照参数的不同变化范围分成若干情形,再
分别讨论.下面我们以一道2006年的含参数的
函数讨论导数问题的高考题为例加以说明.
【例】已知函数,()一.
(工)设a>O,讨论—f()的单调性;
(II)若对任意∈(0,1)恒有f()>1,求
n的取值范围.
分析:本题主要考查分类讨论的数学思想
和导数的计算,应用导数研究函数单调性的基
本方法,并考查逻辑推理能力.虽是常规方法,
但需要清楚函数概念,逻辑推理能力强.解答
时需要注意三点,(1)本类题目应该对参数n
进行分类讨论,而不是对函数的定义域分类讨
论,具体到本题,应该分0<n<2,n一2,n>2
三种情况讨论.(2)在函数单调性判定定理"在
一
个区间上导数恒正(负),则函数在这个区间
上单增(减)"中,"区间"这个条件也是不能少
的,本小题函数的定义域不是区间,需要把定
义域分成区间,再判定函数在每一区间的单调
性.(3)注意细节,如数学N-号书写应该正确, 以及本小题两问中参数n的变化范围不同. 解析:(工)函数,()的定义域为(一一,1)
U(1,+一),导数为
()一e.
(i)当O<n<2时,导数恒正,故厂()在
区间(一一,1),(1,+一)内为增函数. (_.)当n一2时,()>O,(≠o,≠1),
故厂()在区间(一一,1),(1,+一)内仍为增
函数.
(iii)当n>2时,解()一0得一
±√,
t—o.,(一√,c√,(1,+..)
一
^/)V口
√1)
/()+++
f(x)≯≯≯
f(x)~EIKIN(一一,一√),(√,
1),(1,+一)内为增函数,
,()在区间(一√,√)内为减函
数.
(Ⅱ)参数n的变化范围和(工)不同,但由(工)知仍分三种情形讨论.
(i)当O<n≤2时,由(工)知,()在区间
(一一,1)内为增函数,故对于任意∈(0,1)恒有f()>,(O)一1,因而这时n满足要求. (ii)当n>2时,由(工)知f()在区间
(一√,√)内为减函数,故在区间(o,
√)内任取一点,比如取Xo一吉√,就
有.∈(0,1)且f(.)<,(0)一1,因而这时n
不满足要求.
(iii)当n≤0时,对于任意∈(O,1)恒有
,()一1-~-xe一≥>1
,这时n满足
要求.
综上可知,所求n的取值范围为n≤2.
错源分析:解答不够严谨会导致许多同学
出现错误,例如计算出"当O<n<2时,导数恒正"后,就说"f()在R上为增函数"或"f()
在定义域为增函数",前者错在没有考虑定义域,后者错在没有掌握好单调性判定定理,忽
视了本题里函数的定义域不是区间.这些是实质性的错误.还有类似的错误,如写"f()在
(一一,1)U(1,+一)内为增函数",这也可能
仅仅是数学式写错了,不该用"U".
另一类容易出现的错误是第(工)问中不
讨论参数的值,第(Ⅱ)问中只讨论a>O情形. 第(II)问中还有容易导致逻辑错误.例如
"因为,(O)一1,故只要f()在区间(0,1)为增
函数",这样也能得出正确结果,但是推理过程
是有错的,错误原因在于",(O)一1,且f()在
区间(0,1)内为增函数"这个命题是"对任意
∈(0,1)
难以证明。