人教版小学数学小升初思维拓展(知识梳理+典题精讲+专项训练) 专题7-数的整除特征

专题7-数的整除特征
小升初数学思维拓展数论问题专项训练
（知识梳理+典题精讲+专项训练）
1、整除是整数问题中一个重要的基本概念．如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a．此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数。

2、数的整除特征。

（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除．（2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除．（3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除．
（4）能被4（或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两位数能被4（或25）整除，那么它必能被4（或25）整除．
（5）能被8（或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么它必能被8（或125）整除．
（6）能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除．
【典例一】计算1133555779
⨯、四个同学给出了四个不同的答案，只有一个正确，一个同学利用学过的一些数的倍数的特征很快找到了它，它是()
A．632254965B．632244965C．632234965D．632213965
【答案】A
【分析】等式左边55779是3的倍数，那么1133555779
⨯的积也应该是3的倍数；据此选择即可。

【解答】解：632254965是3的倍数，
632244965不是3的倍数，
632234965不是3的倍数，
632213965不是3的倍数，
所以只有632254965是正确的。

故选：A 。

【点评】解答此题通过发现55779是3的倍数，根据能被3整除的特征判断。

【典例二】试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除？如果回答是“能”，则只要举出一种排法；如果回答是“不能”，则需给出说明。

【答案】不能。

【分析】根据题意，可采用假设的方法进行分析，100个自然数任意的5个数相连，可以分成20个组，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除，那么会有40个数是3的倍数，事实上在1至100的自然数中只有33个是3倍数，所以不能。

【解答】解：假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，
按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，
其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数。

从而一共会有不少于40个数是3的倍数。

但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数；
导致矛盾，所以不能。

答：不能。

【点评】此题主要考查的是在1至100的100个自然数中能被3整除的有多少。

【典例三】从自然数1，2，3，⋯，2015中，取出n 个数，所取的数中任意三个数之和能被15整除。

求n 的最大值。

【答案】135。

【分析】设a 、b 、c 、d 是所取出的任意四个数。

由题意有15a b c m ++=，15a b d n ++=，其中，m 、n 为正整数。

所以，15()c d m n -=-，上式表明，所取出的数中任意两数之差是15的倍数，即所取的每个数除以15所得的余数相同。

设这个余数为k 。

于是115a a k =+，
1615b b k =+，115c c k =+。

其中，1a 、1b 、1c 是整数，
015k <，则11115()3a b c a b c k ++=+++
因为a b c
k=，5或++能被15整除，所以，3k能被15整除，即k能被5整除。

因此，0
10。

当0
⋯
k=时，可取5、20，352015 k=时，可取15，30.452010
⋯共134个数，符合题意；当5
共135个数，符合题意；当10
k=时，可取10，25，40..、2005共134个数，符合题意。

综上可知，n最大值是135。

【解答】解：经分析可知：
当选取：5、20，352015
⋯时，所取的数中任意三个数之和能被15整除。

一共有135
⋅。

n的最大值为135。

【点评】本题考查数的整除特征。

分类讨论解决即可。

一．选择题（共8小题）
1．有三个两位的连续偶数，它们的个位数字的和能被7整除，这三个数的和最小是() A．50B．52C．54D．56
2．从1，2，3，4，5这五个数字中选取四个组成一个四位数，使它能同时被3、5、7整除，这个四位数是()
A．1235B．1245C．2415
3．熊大和熊二一起摘了一篮草莓，最后它们分得的草莓个数同样多。

它们可能摘了多少个草莓？()
A．68个B．19个C．37个
4．四位数同时是2、3和5的倍数，第一个里最大能填()
A．9B．8C．7D．6
5．下面各数中，()不是11的倍数．
A．741741B．212357C．500423D．1112221
6．一个三位数能被7整除，如果在三位数的前后两端分别加上一个数字5和2，生成一个能被9整除的五位数．则这样的三位数有多少个？()
A．15B．14C．13D．12
7．一个大厅里共有200盏彩灯．每两盏灯与一个拉线开关相连（同时亮或同时熄）．现在，所有开关按序号1﹣100安装在同一个控制箱内，所有的灯都处于“熄”的状态．李明先将
序号是3的倍数的开关拉一遍，接着刘强将序号是5的倍数的开关拉了一遍，这时，大厅里共有（）盏灯亮着．
A．40B．80C．82D．94
8．如果一个正整数从前面读起与从后面读起数值相同，那么我们称这样的数叫做回文数．例如：55，101，8668，93344339等，在所有的四位数中共有90个回文数，这90个回文数中，共有()个可以被7整除．
A．7B．9C．14D．18
E．20
二．填空题（共8小题）
9．有一水果店进了6筐水果，分别装着香蕉和橘子，重量分别为8，9，16，20，22，27千克，当天只卖出一筐橘子，在剩下的五筐中香蕉的重量是橘子重量的两倍，问当天水果店进的有筐是香蕉．
10．工贸家电购买36台同规格的洗衣机，但发票总价的万位和个位数字被弄污不好辨认了，是□711□元．已知进价每台洗衣机2千多元．洗衣机的总价是元，每台洗衣机的单价是元．
11．能同时被3、5整除的最小四位数52
A B的个位数B是．
12．有三个连续的自然数，它们都小于2002，其中最小的数能被13整除，中间的数能被15整除，最大的数能被17整除，这三个连续的自然数是．
13．弘文教育王老师买了28枝价格相同的钢笔，共付出了9□.2□元，并且□处的数字相同，请问每枝钢笔元．
14．现有一花篮装有若干枝花，卖花女从篮子里取花，若每次取11枝，正好取完，但若每次取6枝或4枝，3枝，2枝时，篮子内总剩一枝花．假如花篮里的花不超过200枝，那么篮子里共有枝花．
15．从1，2，3，4，⋯，100中取出若干个数，使得它们中任意两个数的和都不可能是9的倍数，请问至多能取个．
16．一个六位数，它能被9和11整除，去掉这个六位数的首尾两个数字，中间的四位数字是1997，那么这个六位数是．
三．解答题（共14小题）
17．有八个连续三位数，第1个数被1整除、第2个数被2整除、第3个数被3整除、⋯依此类推⋯；那么第7个数字是多少？
18．任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时都是7，11，13的倍数。

这句话对吗？请举例说明。

19．用式子表示十位上的数字x，个位上的数字是y的两位数，再把这个两位数的十位上的数字与个位上的数交换位置，计算所得的数与原数的差，这个数能被9整除吗？
20．173□是个四位数。

数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除。

”数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
21．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小是多少？
22．一个五位数，它的末三位为999，如果这个数能被23整除，那么这个五位数最小是多少？
23．将1、2、3、4这四个数任意排列，可组成若干个四位数，在这些四位数中，能被11整除的数最小是多少？能被4整除的数最小是多少？
24．现有四个数：76550，76551，76552，76554。

能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？
25．某工厂生产了十台机器，重量（单位：吨）分别为：18，19，21，22，23，24，24，27，33，34．两次共运走9台，并且第一次运走机器的总重量是第二次运走的2倍，求剩下的这台机器的重量是多少吨？
26．小明的衣服口袋中有10张卡片，分别写着1，2，3，10
⋯⋯。

现从中拿出两张卡片，使得卡片上两个数的乘积能被6整除，这样的选法共有多少种？（注:9不能颠倒当作6来使用，6也不能颠倒当成9来使用）
27．体育课上，30名学生站成一行，按老师口令从左到右报数：1，2，3，4，⋯⋯，30．（1）老师先让所报的数是2的倍数的同学去跑步，参加跑步的有多少人？
（2）余下学生中所报的数是3的倍数的同学进行跳绳训练，参加跳绳的有多少人？
（3）两批同学离开后，再让余下同学中所报的数是5的倍数的同学去器材室拿篮球，有几个人去拿篮球？
（4）现在队伍里还剩多少人？
28．把一个两位数的十位上的数字与个位上的数字互换位置后，所得的新两位数与原两位数
的和能被11整除.试说明理由.
29．有一类六位数，组成每个数的六个数码互不相同，并且每个数中任意两个相邻的数码组成的两位数都能被3整除，这类六位数共有多少个？
30．某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号．若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运券”．例如号码0734，因0734
+=+，所以这个号码的购物券是幸运券．试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．【答案】C
【分析】因为它们的个位数字的和能被7整除，所以它们的个位数字的和只能是：7214
⨯=；设最小的偶数的个位是a，然后分类讨论，求出a的值，进而求出满足题意的三个两位数以及它们的和是多少即可．
【解答】解：因为它们的个位数字的和能被7整除，
它们的个位数字的和最小是：0246
++=，
它们的个位数字的和最大是：46818
++=，
所以它们的个位数字的和只能是：7214
⨯=；
设最小的偶数的个位是a，
（1）如果410
a+<，
则(2)(4)14
++++=，38
a a a
a=，a没有整数解；
（2）如果410
a+=，
则6
++=，满足题意；
a=，68014
（3）如果412
a+=，
则8
++=，
a=，80210
因为10不能被7整除，
所以不满足题意；
所以满足题意的三个连续偶数的个位只能是：6、8、0，
因此当这三个数的和最小时，这3个两位数为：16、18、20，
这三个数的和最小是：16182054
++=．
故选：C。

【点评】此题主要考查了数的整除特征问题的应用，解答此题的关键是判断出：满足题意的三个连续偶数的个位数字的和只能是14．
2．【分析】因为3、5、7两两互质，所以被3、5、7整除的最小数为357105
⨯⨯=，再进一步看能否被105整除即可．
【解答】解：被3、5、7整除的最小数为357105
⨯⨯=，
A、12351051180
÷=⋯，不能被105整除；
B、12451051190
÷=⋯，不能被105整除；
C、241510523
÷=，能被105整除．
故选：C．
【点评】此题主要考查了数的整除性的性质，根据具体被整除的数字确定数的特征是做题的关键，在数的选择上要充分注意题目的要求．
3．【答案】A
【分析】根据题意，这个数能被2整除，个位上是0、2、4、6、8的数能被2整除；据此解答即可。

【解答】解：.68
A能被2整除，符号题意；
.19
B不能被2整除，不符号题意；
C不能被2整除，不符号题意；
.37
故选：A。

【点评】此题考查了能被2整除的特征：被2整除则个位数字是偶数。

4．【分析】这个四位数同时是2、3和5的倍数，它是2的倍数，它的个位必须是0或2、4、6、8，它是5的倍数，个位必须是0或5，同时是2和5的倍数，它的个位只能是0，同时它也是3的倍数，这四个数字之和必须是3的倍数，56011
++=，11加1或4、7才能是3的倍数，因此，第一个□内必须填1或4、7，其中7最大．
【解答】解：四位数同时是2、3和5的倍数，第一个里最大能填7；
故选：C．
【点评】本题主要是考查2、3、5的倍数的特征．2的倍数个位必须是偶数，5个倍数个位必须是0或5，3的倍数，所有数字之和必须是3的倍数．
5．【分析】能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除；据此解答即可．
【解答】解：A、(174)(417)0
++-++=，0能被11整除，所以741741是11的倍数；
B、(731)(522)2
++-++=，2不能被11整除，所以212357不是11的倍数；
++-++=，0能被11整除，所以500423是11的倍数；
C、(340)(205)0
+++-++=能被11整除，所以1112221是11的倍数；
D、(1211)(221)0
故选：B．
【点评】灵活应用能被11整除的数的特征是解答本题的关键．
6．【分析】三位数除以7余0、除以9余(952)2
--=，根据差同减差：用一个数除以几
个不同的数，得到的余数，与除数的差相同，此时反求的这个数，可以选除数的最小公倍数，减去这个相同的差数，称为：差同减差．满足条件的通项公式637
=-，n可取215
-，有
n
14个满足，据此选出正确答案即可．
【解答】解：三位数能被7整除，可得：
三位数除以7余0；
除以9的余数是：
--=；
9522
根据差同减差，
可得：满足条件的通项公式637
=-．
n
n可取2~15，共14个．
故选：B．
【点评】根据题意，利用“差同减差”是解题的关键．
7．【答案】C
【分析】李明将序号是3的倍数的开关拉一遍后，有33个开关开着（100÷3取整得33），接着刘强又将序号是5的倍数的开关拉一遍后，有100÷5＝20个开关动过，其中有6个是由开变关，（100÷（3×5）取整得6），实质上是有20﹣6＝14个开关被打开了，并且关掉了6个开关，两轮以后，一共有33+14﹣6＝41个开关开着，有41×2＝82盏灯亮着．【解答】解：由分析可知：有82盏灯亮着．
故选：C．
【点评】解答此题应结合题意，根据数的整除特征，依次进行分析，进而得出结论．8．【分析】所有四位回文数都是ABBA形式的，要使回文数能被7整除，则根据被7整除数的特征，则BBA A
-能被7整除，据此找到合适的AB即可．
【解答】解：设所有四位数的回文数为：ABBA
因为这个四位数能被7整除，即0
-=能被7整除，即BB能被7整除
BBA A BB
则B只能为0或7，A可取1~9，故共有2918
⨯=个．
故选：D．
【点评】本题主要考查被7整除的数的特征，如果一个数的末三位数与末三位以前的数的差能被7或13整除，那么这个数就能被7或13整除．根据特征继续往下做即可．
二．填空题（共8小题）
9．【分析】抓住条件“剩下的五筐水果中香蕉的重量是橘子重量的2倍”可以得出：剩下
的五筐水果的总重量是3的倍数，而原来这六筐水果的重量为：8916202227102
+++++=（千克），也是3的倍数，故卖掉的一筐也应该是3的倍数，在这六筐水果重量中，3的倍数有9千克和27千克，由此入手讨论即可解决问题．
【解答】解：根据题干可得：剩下的五筐水果的总重量是3的倍数，
原来六筐水果的重量为：8916202227102
+++++=（千克），也是3的倍数，
故卖掉的一筐也应该是3的倍数，即卖掉了：9千克或27千克，
（1）若卖掉9千克的一筐，则剩下的桔子重量为：
-÷=（千克），
(1029)331
但在剩下的五个数中没有几个数的和是31，不合题意．
（2）所以只能卖掉27千克的一筐，此时橘子重量为：
-÷=（千克）
(10227)325
根据条件可知，9千克、16千克重的是桔子，剩下的是香蕉，
答：当天共进了3筐香蕉．
故答案为：3．
【点评】此题关键是关键题干找出卖出的水果重量与剩下的水果总重量都是3的倍数这一特点，由此展开推理，即可解决问题．
10．【分析】因为3649
=⨯，所以总价能被4和9整除，根据能被4整除的数的条件，得11□能被4整除，所以后面的□内填2或6，再根据能被9整除的数的条件，得□7112
++++能被9整除，所以前面的□内填7，或□7116
++++能被9整除，所以前面的□内填3，所以总价等于77112元或37116元，77112362142
÷=元，因为每台电
÷=元，37116361031
冰箱进价约为2000多元，所以每台电冰箱进价2142元，总价是77112．
【解答】解：77112362142
÷=（元)，
÷=（元)，不符合题意，舍去，
37116361031
答：洗衣机的总价是77112元，每台洗衣机的单价是2142元．
故答案为：77112，2142．
【点评】此题应根据购进电冰箱的台数进行分析，然后根据能被4或6整除的数的特征进行判断，进而列式计算得出问题答案．
11．【分析】由题意可知，这个四位数同时能被3和5整除，根据能被3、5整除的数的特征，可以得出：该数的个位是5，即B是5；再根据能被3整除的数的特征：即该数各个数位上数的和能被3整除，并结合题意求出A．
【解答】解：这个四位数是最小四位数52
A B，
同时能被3和5整除，根据能被3、5整除的数的特征，
+++是3的倍数，且最小四位数52A B
A B
52
所以百位A是0，个位是5最小．
可以得出：该数的个位是5，即B是5；
故答案为：5．
【点评】解答此题的关键是先根据能同时被3、5整除的数的特征，结合题意进而根据能被3整除的数的特征，推断出百位上的数．
12．【分析】根据15，17和13这三个数都是奇数，且相邻的两个数都相差2，所以它们的最小公倍数仍然是一个奇数，这个最小公倍数分别加上15，17和13所得到的和都是偶数，且相邻的两个数仍然相差2，我们把这三个和分别除以2，就可以得到一组符合题目要求的连续自然数．
【解答】解：15，17和13的最小公倍数是1517133315
⨯⨯=，
+=能被13整除，
3315133328
+=能被15整除，
3315153330
3315173332
+=能被17整除，
3328，3330，3332分别能被13，15，17整除，
这三个数都是偶数，且都相差2，
把这三个数分别除以2，
得到1664，1665，1666，它们也一定能分别被13，15，17整除．
答：这三个连续的自然数是1664，1665，1666．
故答案为：1664，1665，1666．
【点评】此题主要考查了约数与倍数的应用，解答本题关键是求出15，17，13的最小公倍数，进而将最小公倍数与15，17，13相加得出偶数关系即可求出答案．
13．【分析】把9□.2□元化成9□2□分，2847
=⨯，因此，9□2□必须同时是4的倍数、7的倍数，即□是0、4、8，然后再把0、4、8分别代入9□2□，看填哪个数正好是28的倍数．然后再根据“单价=总价÷数量”即可求出每枝钢笔的单价．
【解答】解：9□.2□元9
=□2□分
=⨯
2847
9口2口既是4的倍数，又是7的倍数
即□内为0、4、8
当□内为0时，即9020
÷=
902042255
÷=⋯
9020712884
因此□填0时不符合题意
当□内为4时，即9424
÷=
942442356
÷=⋯
9424713462
因此□填4时不符合题意
当□内为8时，即9828
982842457
÷=
÷=
982871404
因此□填8时符合题意
÷=（分)
982828351
351分 3.51
=元
答：每枝钢笔3.51元．
故答案为：3.51．
【点评】此题较难，因为“总价=单价⨯数量”，关键是明白总价9□2□分必须是28的倍数，即同时是4、7的倍数．
14．【分析】因为6、4、3、2的最小公倍数是12，12113
÷=⋯，
÷=⋯，121111
+=，131112
看余数的和，要能被11整除，所以12913121
⨯+=．
【解答】解：6、4、3、2的最小公倍数是12，
-+=，
÷=⋯，12(21)9
12113
÷=⋯，121111
+=，131112
⨯+=．
12913121
答：篮子里共有121枝花．
故答案为：121．
【点评】此题也可这样理解：6、4、3、2的最小公倍数是12，所以总的花的数量是121
x+，它需要是11的倍数，由题意得：12111(1)
x x x
+=++，因为1
x=、
x+是11的倍数，所以10 21、32⋯，因为121200
⨯+=（枝)花．x+<，所以x只能取10，那么篮子里共有12101121
15．【分析】把这100个数按被9除的余数分组：能被9整除的有：100911
÷≈个，被9除
余1的有12个，被9除余2~8的各有11个，共分成9组，其中被9整除那组最多取1个，其余的最多只能取4组，所以最多能取12113146+⨯+=个；由此解答即可．
【解答】解：被9整除的有：9、18、27、⋯、99，共11个，
被9除余1的有：1、10、19、⋯、100，共12个，
被9除余2~8的各有11个，
共分成9组，其中被9整除那组最多取1个，其余的最多只能取4组：可以取被9除余1的12个，被9除余2的11个，被9除余3的11个，被9除余4的11个，
所以最多能取：12113146+⨯+=（个)；
答：请问至多能取46个；
故答案为：46．
【点评】此题考查了数的整除特征，通过题意，进行分析，明确：共分成9组，其中被9整除那组最多取1个，其余的最多只能取4组，是解答此题的关键．
16．【分析】因为99911=⨯，所以能被99整除的数，既能被9整除又能被11整除；能被9整除的数的特征是：各个数位的数字之和能被9整除；能被11整除的数的特征是：奇数位-偶数位等于0或11的倍数；进而求出这个数．
【解答】解：设六位数1997A B ；
因为99911=⨯，所以这个数既能被9整除又能被11整除；
能被9整除的数的特征是：各个数位的数字之和能被9整除；
199726A B A B +++++=++，能被9整除，所以，26A B ++和是9的倍数，那么A B +的和是1、10；
能被11整除的数的特征是：奇数位-偶数位等于0或11的倍数；
奇数位的和：9716A A ++=+；
偶数位的和：1910B B ++=+；
奇数位的和-偶数位的和(16)(10)6A B A B =+-+=+-；
当60A B +-=，可得6B A =+；
那么26A B A +=+的和是1、10；当和是1，可得261A +=，A 是负数，不符合；当和是10，可得2610A +=，可得2A =，628B =+=，符合；这时两位数是219978；当6A B +-是11的倍数，只能是611A B +-=，可得5B A =-；
那么25A B A +=-的和是1、10；当和是1，可得251A -=，可得3A =，352B =-=-，B 是负数，不符合；当和是10，可得2510A -=，A 不是整数，不符合；
由此可得这个六位数是219978．
故答案为：219978．
【点评】本题考查能被9和11整除的数的特征的理解和灵活运用情况．
三．解答题（共14小题）
17．【分析】设第7个数也就是7的倍数的为N；N的前一个数1
N-应是6的倍数，即必须是能被3整除的偶数，所以应考察的7的倍数为奇数；
N-应是被5整除的数，故N应是以7结尾的数；
N的前面第二个数2
综上，应从以7为结尾的7的倍数的三位数中找N，
并且，由于1
N-被6整除，而N以7结尾，故N的百位和十位数字组成的两位数应被3整除；
所以，所求的N应是217、427、637、847中的一个；
而1
N+被8整除，则排除218、428、638，只有848满足；
【解答】解：设第7个数也就是7的倍数的为N；N的前一个数1
N-应是6的倍数，即必须是能被3整除的偶数，所以应考察的7的倍数为奇数；
N-应是被5整除的数，故N应是以7结尾的数；
N的前面第二个数2
综上，应从以7为结尾的7的倍数的三位数中找N，
并且，由于1
N-被6整除，而N以7结尾，故N的百位和十位数字组成的两位数应被3整除；
所以，所求的N应是217、427、637、847中的一个；
而1
N+被8整除，则排除218、428、638，只有848满足．
答：第7个数字是847．
【点评】本题主要考查了数的整除问题．解答此题关键是得出第7个数是以7为结尾的7的倍数．
18．【答案】对。

【分析】假设这个三位数的值为a，那么这个六位数的值为1001a，必然是1001的倍数，将1001分解质因数，看1001里面是否含有质因数7、11和13即可解答。

【解答】解：把一个三位数写两次得到的六位数，是1001的倍数，因为100171113
=⨯⨯，所以这个六位数也一定同时是7、11、13的倍数。

例如把三位数237连续写两次得到六位数237237，23723723771113
=⨯⨯⨯，所以237237同时是7、11、13的倍数。

所以，任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时都是7，11，13的倍数，这句话对。

【点评】解答此题的关键在于掌握几个数的公倍数，一定是它们最小公倍数的倍数。

19．【分析】根据题意，这个两位数可以表示为：10x y +，十位上的数与个位上的数交换位置为：10y x +，求其差为：(10)(10)9()y x x y y x +-+=-，所以可以被9整除．
【解答】解：(10)(10)9()
y x x y y x +-+=-答：这个数能被9整除．
【点评】本题关键是根据题意找出合适的数量关系．
20．【答案】19。

【分析】可根据能被9、11、6整除的数的特征进行计算，可得出数学老师先后填入的3个数，然后将3个数字相加即可得到答案。

【解答】解：因为能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，173+++□11=+□，所以□内只能填7；
因为能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得的差能被11整除，(7+□)(13)3-+=+□能被11整除，
所以□内只能填8；
因为能被6整除的自然数是偶数，并且数字和能被3整除，而173+++□11=+□，所以□内只能填4；
78419
++=答：所填三个数字之和是19。

【点评】此题主要考查的是能被9、11、6整除的数的特征。

21．【答案】1992210。

【分析】设补上的三个数字组成三位数是abc ，由这个七位数能被2，5整除，说明0c =；由这个七位数能被3整除知199221a b c a b c ++++++=+++能被11整除，从而a b +能被3整除；再由这个七位数又能被11整除，可知(19)(92)1a c b a b +++-++=--能被11整除；最后由所组成的七位数应该最小，因而取3a b +=，1a b -=，从而2a =，1b =；进而解答即可。

【解答】解：设补上的三个数字组成三位数是abc ，由这个七位数能被2，5整除，说明0c =；由这个七位数能被3整除知199221a b c a b c ++++++=+++能被11整除，从而a b +能被3整除；
由这个七位数又能被11整除，可知(19)(92)1
+++-++=--能被11整除；
a c
b a b
由所组成的七位数应该最小，因而取3
b=。

-=，从而2
a=，1
a b
+=，1
a b
所以这个最小七位数是1992210．
[注]学生通常的解法是：根据这个七位数分别能被2，3，5，11整除的条件，这个七位数必定是2，3，5，11的公倍数，而2，3，5，11的最小公倍数是23511330
⨯⨯⨯=。

这样，19920003306036120
+倍的数，即÷=⋯，因此符合题意的七位数应是(60361) +-=。

1992000(330120)1992210
答：这个七位数最小是1992210。

【点评】解答此题应结合题意，根据能被2、3、5、11整除的数的特征进行分析，进而得出结论。

22．【答案】20999。

【分析】这个五位数末三位为999，且能被23整除，五位数最小时，有一个三位数乘23的积是该五位数。

【解答】解：三位数23
⨯=末三位是999的五位数。

利用数字谜，从后往前逐位推算。

积的个位是9，23的个位是3，说明三位数乘数的个位是3；
积的十位是9，23的十位2乘以三位数乘数的个位3得6，说明三位数乘数的十位乘以23的个位只能是3，则该十位数是1；
积的百位是9，三位数乘数的十位1乘以23的十位2得2，说明三位数乘数百位上的数乘以23的个位结果是一个末尾是7的数，3927
⨯=，则该数是9。

答：这个五位数最小是20999。

【点评】本题是一道有关乘法与除法的互逆关系、三位数乘两位数的题目。

23．【分析】这四个数字组成的四位数，若能被11整除，个位数加百位数必须等于千位数加十位数；如果一个数的末两位能被4整除，那么这个数就能被4整除．据此找出末两位数即可解题．
【解答】解：（1）这四个数字组成的四位数若能被11整除，则：
个位数加百位数必须等于千位数加十位数．
根据题意，分为23和14这两组，有：
2134
2431
3421
3124
1342
1243
4213
4321
最小的是1243．
（2）末两位能被4整除，只有2和4，
那么最小的就是1324．
答：能被11整除的数最小是1243，能被4整除的数最小是1324．
【点评】此题主要考查了学生利用被11整除和被4整除的特征解题的能力，熟练掌握能被11整除和被4整除的特征是解题关键．
24．【答案】能。

【分析】根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：121216234
=⨯=⨯=⨯。

要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：
（1）找出一个数能被12整除，这个数与其它三个数中的任何一个的乘积都能被12整除。

（2）找出一个数能6整除，另一个数能被2整除，那么它们的积就能被12整除。

（3）找出一个数能被4整除，另一个数能被3整除，那么它们的积能被12整除。

然后对这三种情况分别讨论，得出结论。

【解答】解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：121216234
=⨯=⨯=⨯。