第五节线性变换的矩阵表示式

= T[(1, ···, n)P] =T[(1, ···, n)]P
= (1, ···, n)AP = (1, ···, n)P-1AP ,
因为 1, ···, n 线性无关, 所以
B = P-1AP .
证毕
这个定理表明 B 与 A 相似, 且两个基之间的
过渡矩阵 P 就是相似变换矩阵.
由关系式 (1) , 可见 与 T() 在基 1 , ···, n 下的坐标分别为
x1



x2
xn
,
x1
T
( )

A
x2
xn

,
即按坐标表示, 有
T() = A .
二、举例
例 12 在 P[ x]3 中, 取基
在 Vn 中取定一个基 1 , 2 , ···, n , 如果这个基
在变换 T 下的象(用这个基线性表示)为
T (1) a111 a212 an1n ,
T
(2 )

a121 a222

an 2 n
,
T (n ) a1n1 a2n2 annn ,

a2n
ann

,
那么, A 就称为线性变换 T 在基 1 , 2 , ···,
n 下的矩阵.
显然, 矩阵 A 由基的像 T(1), T(2), ···, T(n)
唯一确定.
如果给出一个矩阵 A 作为线性变换 T 在基
1 , 2 , ···, n 下的矩阵, 也就是给出了这个基在
0 1
0 0 .
0 0 0

(2)
TTTiijj
, ,



,
1 0 1
即 T (, , ) (, , )0 1 1 .
0 0 0
三、线性变换在不同基下的矩阵的关系
由上例可见, 同一个线性变换在不同的基下 有不同的矩阵. 一般地, 我们有
= (1 , 2 , ···, n)x = Ax .
总之 , Rn 中任何线性变换 T 都能用关系式 T(x) = Ax ( x Rn )
表示, 其中 A = (T(e1), ···, T(en)). 把上面的讨论推广到一般的线性空间, 我们
有
定义 6 设 T 是线性空间 Vn 中的线性变换,
记 T(1 , 2 , ···, n) = (T(1), T(2), ···, T(n)),
上式可表示为
T(1 , 2 , ···, n) = (1 , 2 , ···, n)A ，
a11 a12 a1n
其中
A


a21
an1
a22
an2
定理 2 设线性空间 Vn 中取定两个基
1 , 2 , ···, n ; 1 , 2 , ···, n . 由基 1 , 2 , ···, n 到基 1 , 2 , ···, n 的过渡
矩 阵为 P, Vn 中的线性变换 T 在这两个基下的矩阵 依次为 A 和 B , 那么 B = P-1AP.
第 五 节 线性变换的矩阵表示式
主要内容
线性变换在基下的矩阵 举例 线性变换在不同基下的矩阵的关系
一、线性变换在基下的矩阵
上节例 11 中, 关系式
T(x) = Ax
( x Rn )
简单明了地表示出 Rn 中的一个线性变换. 我们
自然希望 Rn 中任何一个线性变换都能用这样的
关系式来表示. 为此, 考虑到 1 = Ae1, 2 = Ae2 , ···, n = Aen (e1 , e2 , ···, en 为单位坐标向量), 即
p1 x3,
p2 x2,
p3 x,
p4 1 ,
求微分运算 D 的矩阵.
解 Dp1 3x2 0 p1 3 p2 0 p3 0 p4 ,
Dp2 2x 0 p1 0 p2 2 p3 0 p4 ,
Dp3 1 0 p1 0 p2 0 p3 1p4 ,
i = T(ei) ( i = 1, 2, ···, n )，
可见如果线性变换 T 有关系式 T(x) = Ax, 那么矩 阵 A 应以 T(ei) 为列向量. 反之, 如果一个线性变
换 T 使 T(ei) = i ( i = 1, 2, ···, n ), 那么 T 必有关
系式 T(x) = T[(e1 , ···, en)x] = T(x1e1 + x2e2 + ···+ xnen) = x1T(e1) + x2T(e2) + ···+ xnT(en) = (T(e1), T(e2), ···, T(en))x
Dp4 0 0 p1 0 p2 0 p3 0 p4 ,
所以 D 在这组基下的矩阵为
0 0 0 0
A


3 0 0
0 2 0
0 0 1
0 00
.
例 13 在 R3 中, T 表示将向量投影到 xOy
平面的线性变换, 即
T (xi yj zk ) xi yj ,

(1) 取基为 i , j , k , 求 T 的矩阵;

(2)
取基为


i, j , i
j k,
求 T 的矩阵.
解 (1)

TTTkji

i j 0
, , ,
即
1 T (i , j, k ) (i , j, k ) 0
称为线性变换的秩. 显然, 若 A 是 T 的矩阵, 则 T 的秩就是 R(A). 若 T 的秩为 r , 则 T 的核 ST 的维数为 n - r.
本若请本若请本若请节想本单若请节想本单若请节想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本单若内请结节击想本容单若束内请返结节击想本容单若束内请返结节击想本 本容单若 若束内请 请返结节已想击本本 本容单若 若回束内请 请返结节已想击本本 本容单若 若回束内请 请返结节 节已想 想击本本 本容单单若 若回束内结请 请返结堂节节已想 想击按本本容单 单若回束内结请返结堂节节已想击想按本本容单 单若回束内 内结请返结 结堂节 节已击想击想按本本容束单单若回束课内内结请返结 结钮堂节已击 击想按本容束单回束课内内结返结结钮堂节已击 击想按本容 容束单回束 束课内 内结返返结结钮堂节已击击想按本,容容束单回束 束课.内!结返 返结钮堂已击按本,容容束回束束课.内!结返 返结钮堂已 已击按本 本,容 容束回回束束课.内!结返返结钮堂已已击按本 本,容束回 回束课.!结返钮堂已已按本本,容束回 回束课.!结 结返钮堂 堂已 已按按本本,容束回回束课.!结结返钮堂 堂已按 按本,束回课.!结结钮堂堂已按 按本,束束回课 课.!结 结钮钮堂堂已按按本,束束回课 课.!结钮 钮堂按,束束课课.!结钮 钮堂按,,束束课课..!!结钮钮堂按,,束课..!!钮,,束课..!!钮,,束课..!!钮,.!,.!,.!
例 14 设 V2 中的线性变换 T 在基 1 , 2 下
的矩阵为
A


a11 a21
a12 a22

,
求 T 在基 2 , 1 下的矩阵.
解
0 1
(2,1) (1,2 )1 0 ,
即
P 10 10,
求得
P 1


0 1
1 0
,
于是 T 在基 (2 , 1) 下的矩阵为
B 10
1 0

a11 a21
a12 a22

0 1
10


a21 a11
a22 a12

0 1
1 0



a22 a12
a21 a11
.
定义 7 线性变换 T 的像空间 T(Vn) 的维数,
x2
xn

x1

(1,
2
,,

n
)
A
x2

,
xn
即
T

(1,

2
,,
n
)
x1 x2
xn


(1
,
2
,,
n
)
A

x1 x2
xn

.
(1)
这个关系式唯一地确定一个变换 T, 可以验证 所确定的变换 T 是以 A 为矩阵的线性变换. 总之, 以 A 为矩阵的线性变换 T 由关系式 (1) 唯一确定.
定义 6 和上面一段讨论表明, 在 Vn 中取定一 个基以后, 由线性变换 T 可唯一地确定一个矩阵
A , 由一个矩阵 A 也可唯一地确定一个线性变换 T , 这样, 在线性变换与矩阵之间就有一一对应的 关系.
证 按定理的假设, 有
(1, ···, n) = (1, ···, n)P , P 可逆;
及
T(1, ···, n) = (1, ···, n)A ,
于是
T(1, ···, n) = (1, ···, n)B . (1, ···, n)B = T(1, ···, n)
变换 T 下的像, 那么, 根据变换 T 保持线性关系的
特性我们来推导变换 T 必须满足的关系式. Vn 中的任意元素记为
n
xii , i 1
于是有
n
n
T ( xii ) xiT (i )i 1ຫໍສະໝຸດ i 1 x1
(T
(1
),T
(
2
),,
T
(
n
))