【全套解析】高三数学一轮复习 75 直线、平面垂直的判定及其性质课件 (理) 新人教A

•1、高纪律三是集总体的复面貌习，集体的声音，集体的动作人，集教体的A表版情，集·数体的学信念（。 理）
•2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/172022/1/172022/1/171/17/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/172022/1/17January 17, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/172022/1/172022/1/172022/1/17
[例 4] (2010·山东高考)如右图，在五棱锥 P－ABCDE 中， PA⊥平面 ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，∠ABC＝45°， AB＝2 2，BC＝2AE＝4，三角形 PAB 是等腰三角形．
(1)求证：平面 PCD⊥平面 PAC； (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小； (3)求四棱锥 P－ACDE 的体积．
∴BC⊥平面APC， ∴BC⊥AP， 又CH∩BC＝C， ∴AP⊥平面BHC， ∴AP⊥BH， ∴∠CHB就是二面角B－AP－C的平面角．
在 Rt△PAC 中，CH＝PCA·PAC＝255，
在 Rt△BHC 中，tan∠CHB＝CBHC＝ 25，
故二面角
B－AP－C
的正切值为
5 2.
即时训练 已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等， A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角 的正弦值等于( )
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认 识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的垂直关系的简单命题.
1．直线与平面垂直 (1)判定直线和平面垂直的方法 ①定义法 ②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条 相交 直 线 都垂直，则该直线和此平面垂直．
热点之二 平面与平面垂直的判定与性质 1．判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为 90°)． (2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． 2．关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆．
注意：在求平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内 作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂 直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间 的转化条件和转化运用，这种转化方法是本章内容的显著特 征．掌握转化思想方法是解决这类问题的关键．
(2)平面与平面垂直的性质 两平面垂直，则一个平面内垂直于 另一个平面．
交线 的直线垂直于
4．二面角的平面角 从二面角的棱上一点，在两个半平面内分别作与棱 垂直 的射 线，则两射线所成的角叫做二面角的平内，则“l⊥α”是 “l⊥m且l⊥n”的( )
(2)直线和平面垂直的性质 ①直线垂直于平面，则垂直于平面内 任意 直线． ②垂直于同一直线的两平面 平行． 2．斜线和平面所成的角 斜线和 它在平面内的射影 所成的锐角．
3．平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法
②利用判定定理：一个平面过另一个平面的 一条垂线 ， 则 这两个平面垂直．
即时训练 如右图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平 面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.
求证：(1)BC⊥平面PAB； (2)AE⊥平面PBC； (3)PC⊥EF. 证明：(1)∵PA⊥平面ABC， BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE. ∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC. (3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC，∴AE⊥PC， ∵AF⊥PC，AE∩AF＝A， ∴PC⊥平面AEF. 而EF⊂平面AEF，∴PC⊥EF.
(2)∵△PMB为正三角形，且D为PB中点．∴MD⊥PB. 又由(1)知MD∥AP，∴AP⊥PB. 又已知AP⊥PC，PB∩PC＝P，∴AP⊥平面PBC， ∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，AP∩AC＝A， ∴BC⊥平面APC，BC⊂面ABC，∴平面ABC⊥平面PAC.
热点之三 线面角与二面角的求法 高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一，
有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查． 求这两种空间角的步骤： 根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角， 再解三角形求出该角，步骤是作(找)―→认(指)―→求． 在客观题中，也可用射影法：
设斜线段 AB 在平面 α 内的射影为 A′B′，AB 与 α 所成角 为 θ，则 cosθ＝|A′|ABB′| |.
即时训练 (2010·湛江模拟)如右图，已知三棱锥A－BPC中， AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三 角形．
(1)求证：DM∥平面APC； (2)求证：平面ABC⊥平面APC.
证明：(1)∵M为AB中点，D为PB中点， ∴MD∥AP， 又∵MD⊄平面APC， ∴DM∥平面APC.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当l⊥α时，l⊥m且l⊥n.但当l⊥m，l⊥n时，若m、n不 是相交直线，则得不到l⊥α.
答案：A
2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命 题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α ②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n ③m∥n，m∥α⇒n∥α ④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β 其中正确命题的序号是( )
解析： mα∥⊥βα⇒ nm∥⊥ββ⇒m⊥n，①为真． mm⊥⊥αn⇒n∥α 或 n⊂α.
又 α∥β，n∥α 时，n 可能在 β 内，②为假． mm∥⊥αn⇒/ n⊥α，从而也就推不出 n⊥β，③为假．
mm⊥ ∥αn⇒ αn⊥∥αβ⇒n⊥β，④为真． 答案：①④
热点之一 直线与平面垂直的判定与性质 证明直线和平面垂直的常用方法有
A1B1∥平面
ABC，故
B1D＝A1O＝
6 3
a.在 Rt△AB1D 中，sin∠B1AD＝BA1BD1＝ 32，故 AB1 与底面 ABC 所
成角的正弦值为 32.故选 B.
答案：B
高考本节内容主要考查线面、面面垂直的判定和性质，其中 线面的垂直是考查的重点，难度以中等为主，高考多以解答题出 现，且有多问．从能力上看，主要考查学生将空间问题转化为平 面几何问题的能力．
[思路探究] (1)利用三角形中位线性质⇒线∥线⇒线∥面⇒面 ∥面；
(2)利用定义作出二面角B—AP—C的平面角． [课堂记录] (1)证明：∵G、E、F分别为AP、AB、AC的中 点， ∴GF∥PC，EF∥BC， 又GF⊄平面PBC， EF⊄平面PBC，
PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC， ∴GF∥平面PBC，EF∥平面PBC， 又GF∩EF＝F， ∴平面GFE∥平面PCB. (2)解：过C作CH⊥AP交AP于点H，连接BH， ∵PC、AC、BC两两垂直，
(1)[证明] 在△ABC 中，因为∠ABC＝45°，BC＝4，AB＝2 2， 所以 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos45°＝8， 因此 AC＝2 2，故 BC2＝AC2＋AB2， 所以∠BAC＝90°. 又PA⊥平面ABCDE，AB∥CD， 所以CD⊥PA，CD⊥AC， 又PA，AC⊂平面PAC，且PA∩AC＝A， 所以CD⊥平面PAC.又CD⊂平面PCD，
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
解析：由线面垂直的性质知①正确；由面面平行的定义知， m、n可能平行，也可能异面，所以②错误；对于③中n∥α也可能 n⊂α，④正确．
答案：D
3．设平面α⊥β，且α∩β＝l，直线a⊂α，直线b⊂β，且a不与l 垂直，b不与l垂直，则a与b( )
A．可能垂直，不可能平行 B．可能平行，不可能垂直 C．可能垂直，也可能平行 D．不可能垂直，也不可能平行
1．利用判定定理． 2．利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． 3．利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．
4．利用面面垂直的性质． 当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常 用来证明线线垂直．
[例 1] 如右图，在底面为直角梯形的四棱锥 P－ABCD 中， AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面 ABCD，PA＝3，AD＝2，AB ＝2 3，BC＝6.求证：BD⊥平面 PAC.
解析：当PA＝PB＝PC时，OA＝OB＝OC， ∴O为外心．当PA、PB、PC两两垂直时， AO⊥BC，BO⊥AC，CO⊥AB. ∴O为垂心． 答案：外 垂
5．m、n是空间两条不同的直线，α、β是两个不同的平面， 下面四个命题中，真命题的序号是________．
①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n. ②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β. ③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β. ④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.
[思路探究] 要证BD⊥平面PAC，只需在平面PAC内寻求两相 交直线与BD垂直，而PA显然与BD垂直，故只需证BD⊥AC.
[课堂记录] 设AC与BD交于点E. ∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD.
又 tan∠ABD＝AADB＝ 33，tan∠BAC＝BACB＝ 3，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°， ∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC. 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
设△ABC 在平面 α 内的射影三角形为△A′B′C′，平面 ABC 与 α 所成角为 θ，则 cosθ＝S△SA△′ABB′CC′.
[例3] 在三棱锥P－ABC中，PC、AC、BC两两垂直，BC＝ PC＝1，AC＝2，E、F、G分别是AB、AC、AP的中点．
(1)证明：平面GFE∥平面PCB； (2)求二面角B－AP－C的正切值．
解析：当a∥l，b∥l时，a∥b. 假设a⊥b，如右图：过a上一点作c⊥l，则c⊥β. ∴b⊥c.∴b⊥α.∴b⊥l，与已知矛盾． 答案：B
4．三棱锥P—ABC的顶点P在底面的射影为O，若PA＝PB＝ PC，则点O为△ABC的________心，若PA、PB、PC两两垂直，则 O为△ABC的________心．
1 2 32 A.3 B. 3 C. 3 D.3
解析：如右图所示，过点 B1 作平面 ABC 的垂线，垂足为 D， 连接 AD，则∠B1AD 就是所求的线面角．由题意，知三棱锥 A1 －ABC 为正四面体，设棱长为 a，则 AB1＝ 3a，棱柱的高
A1O＝ a2－AO2＝
a2－23×
23a2＝
36a，由于
[例2] (2010·苏北四市调研)如右图，在三棱柱ABC－A1B1C1 中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB＝BC1，E、F、G分别为线段AC1、 A1C1、BB1的中点，求证：
(1)平面ABC⊥平面ABC1；
(2)FG⊥平面AB1C1.
[思路探究] (1)由面面垂直判定定理易证； (2)先证FG⊥AC1，再证明BC∥B1C1，B1C1⊥BE，B1C1⊥平面 ABC1可得FG⊥B1C1，则结论得证． [课堂记录] (1)∵AB⊥BC，BC⊥BC1，AB∩BC1＝B， ∴BC⊥平面ABC1， 又∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1. (2)在△AA1C1中，∵E、F分别为AC1、A1C1的中点，
∴EF∥AA1，EF＝12AA1. 在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，G 为 BB1 的中点， ∴BG∥AA1，BG＝12AA1， ∴EF∥BG，且EF＝BG，连接BE，
∴四边形BEFG为平行四边形，
∴FG∥EB. ∵AB＝BC1，E为AC1的中点， ∴BE⊥AC1，则FG⊥AC1.
∵BC⊥AB，BC⊥BC1，B1C1∥BC， ∴B1C1⊥AB，B1C1⊥BC1，又AB∩BC1＝B， ∴B1C1⊥平面ABC1. ∵BE⊂平面ABC1，∴B1C1⊥BE，则B1C1⊥FG， ∵AC1∩B1C1＝C1， ∴FG⊥平面AB1C1.