理论力学习题解答第九章

9－1在图示系统中，均质杆OA 、AB 与均质轮的质量均为m ，OA 杆的长度为1l ，AB 杆的长度为2l ，轮的半径为R ，轮沿水平面作纯滚动。

在图示瞬时，OA 杆的角速度为ω，求整个系统的动量。

ω12
5
ml ，方向水平向左
题9－1图 题9－2图
9－2 如图所示，均质圆盘半径为R ，质量为m ，不计质量的细杆长l ，绕轴O 转动，角速度为ω，求下列三种情况下圆盘对固定轴的动量矩： （a ）圆盘固结于杆；
（b ）圆盘绕A 轴转动，相对于杆OA 的角速度为ω-； （c ）圆盘绕A 轴转动，相对于杆OA 的角速度为ω。

（a ）ω)l R (m L O 22
2
+=；（b ）ω2ml L O =；（c ）ω)l R (m L O 22+= 9－3水平圆盘可绕铅直轴z 转动，如图所示，其对z 轴的转动惯量为z J 。

一质量为m 的质点，在圆盘上作匀速圆周运动，质点的速度为0v ，圆的半径为r ，圆心到盘中心的距离为l 。

开始运动时，质点在位置0M ，圆盘角速度为零。

求圆盘角速度ω与角ϕ间的关系，轴承摩擦不计。

9－4如图所示，质量为m 的滑块A ，可以在水平光滑槽中运动，具有刚性系数为k 的弹簧一端与滑块相连接，另一端固定。

杆AB 长度为l ，质量忽略不计，A 端与滑块A 铰接，B 端装有质量1m ，在铅直平面内可绕点A 旋转。

设在力偶M 作用下转动角速度ω为常数。

求滑块A 的运动微分方程。

t l m m m x m m k
x
ωωsin 21
11+=++
9－5质量为m，半径为R的均质圆盘，置于质量为M的平板上，沿平板加一常力F。

设平板与地面间摩擦系数为f，平板与圆盘间的接触是足够粗糙的，求圆盘中心A点的加速度。

9－6均质实心圆柱体A 和薄铁环B 的质量均为m ，半径都等于r ，两者用杆AB 铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为θ，如图所示。

如杆的质量忽略不计，求杆AB 的加速度和杆的内力。

θsin 7
4
g a =
； 9－7均质圆柱体A 和B 的质量均为m ，半径为r ，一绳缠在绕固定轴O 转动的圆柱A 上，绳的另一端绕在圆柱B 上，如图所示。

摩擦不计。

求：（1）圆柱体B 下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体A 上作用一逆时针转向，矩为M 的力偶，试问在什么条件下圆柱体B 的质心加速度将向上。

9－8平面机构由两匀质杆AB ，BO 组成，两杆的质量均为m ，长度均为l ，在铅垂平面内运动。

在杆AB 上作用一不变的力偶矩M ，从图示位置由静止开始运动。

不计摩擦，试求当A 即将碰到铰支座O 时A 端的速度。

9－9长为l、质量为m的均质杆OA以球铰链O固定，并以等角速度ω绕铅直线转动，如图所示。

如杆与铅直线的夹角为θ，求杆的动能。

题9－9图 题9－10图
9－10物质量为1m ，沿楔状物D 的斜面下降，同时借绕过滑车C 的绳使质量为2m 的物体B 上升，如图所示。

斜面与水平成θ角，滑轮和绳的质量和一切摩擦均略去不计。

求楔状物D 作用于地板凸出部分E 的水平压力。

θθcos g m m m m sin m F x 12
12
1+-=
9－11鼓轮I 重N 500=W ，对轮心O 点的回转半径为m 2.0=ρ，物块A 重N 300=Q ，均质圆轮II 半径为R ，重为N 400=P ，在倾角为α的斜面上只滚动不滑动，其中m 1.0=r ，m 2.0=R ，弹簧刚度系数为k ，绳索不可伸长，定滑轮D 质量不计。

在系统
处于静止平衡时，给轮心B 以初速度0B v ，求轮沿斜面向上滚过距离s 时，轮心的速度v B 。

解：轮B O 、作平面运动，物块A 作平动
2211V T V T +=+ ①
2
020*********
1/21/21/21/21B B B A A J g Pv g W g Wv g Qv T ωωρ++++=
()()r R v r R rv v R v B B A B B +=+==/,/,
/000000ωω
g PR J B /2
1
2=
(
)[]
(){
}
()g r R Qr r W P v T B 4//232
2222
01++++=ρ
代入已知数据得：()g v T B 9/41002
01=
同理()g v T B 9/41002
2=
取平衡位置为各物体重力势能的零位置，有：2
12
1st k V δ=
()()()r R r s W Q sP s k V st +⋅+-++=
/sin 2
12
2αδ 为确定st δ，考虑静平衡时，A O 、及轮B ，由∑=0E
M
，
得：
()()r R r Q W T ++=/1
由
∑=0H
M
，有：st k F F P T δα==--001,0sin
()()k P rk Rk r Q W st /sin /αδ-++=
代入①，有
()()()
()()
r R sr W Q sP s k g v k g v st B st B ++-+++=+
/sin 2
19/4100219/41002
222
0αδδ 解得：(
)
2
/12
2
08200
/9gks v v B B -=
题9－11图
9－12 均质棒AB 的质量为kg 4=m ，其两端悬挂在两条平行绳上，棒处在水平位置，如图所示。

设其中一绳突然断了，试用刚体平面运动方程求此瞬时另一绳的张力F 。

N 8.9=F
9－13图示机构中，物块A 、B 的质量均为m ，两均质圆轮C 、D 的质量均为m 2，半径均为R 。

C 轮铰接于无重悬臂梁CK 上，D 为动滑轮，梁的长度为R 3，绳与轮间无滑动。

系统由静止开始运动，求：（1）A 物块上升的加速度；（2）HE 段绳的拉力；（3）固定端K 处的约束反力。

g a A 61=
；mg F 3
4
=；mgR M mg F F k ky kx 5.135.40===，，
题9－13图题9－14图
9－14匀质细杆AB，长为l，放在铅直面内与水平面成0ϕ角，杆的A端靠在光滑的铅直墙上，B端放在光滑的水平面上，杆由静止状态在重力作用下倒下。

求：（1）杆在任意位置ϕ
ϕ多大？
时的角速度和角加速度；（2）当杆的A端脱离墙时，杆与水平面所成的角
1
)sin 3
2arcsin(01ϕϕ=
9－15鼓轮重N 1200，置于水平面上，外半径cm 90=R ，轮轴半径cm 60=r ，对质心轴
C 的回转半径cm 60=ρ。

缠绕在轮轴上的软绳水平地连于固定点A ，缠在外轮上的软绳
水平地跨过质量不计的定滑轮，吊一重物B ，B 重N 400=P 。

鼓轮与水平面之间的动摩擦系数为0.4，求轮心C 的加速度。

解：分别取轮和重物为研究对象，轮作平面运动，设其角加速度为ε，轮心C 加速度C a ，
由题知εr a C =，物B 加速度ε)(r R a B += 对轮列平面运动微分方程：
F T T a g W C +-=12)/( （1）
W N f F W N W N 4.00='==-=，，（2）
)()(2r R F r R T J I --+=ε
即：)()())(/(222r R F r R T r g W --+=+ερ （3） 对重物：'
-=2)/(T P a g P B ，
即：2))(/(T P r R g P -=+ε （4） （2）代入（3）式，有：
)(4.0)())(/(222r R W r R T r g W --+=+ερ （5）
)()4(r R +⨯：)()())(/(22r R T r R P r R g P +-+=+ε （6）
（5）+（6）：)(4.0)())(/())(/(222r R W r R P r R g P r g W --+=+++εερ
2
2
222
22rad/s 53.2)6.09.0)(8.9/400()6.06.0)(8.9/(12003.012004.0)5.1(400))(/())(/()
(4.0)(=+++⨯⨯-=+++--+=
r R g P r g W r R W r R P ρε
题9－15图 题9－16图
9－16 三根匀质细杆CA BC AB ，，的长均为l ，质量均为m ，铰接成一等边三角形，在铅垂平面内悬挂在固定铰接支座A 上。

在图示瞬时C 处的铰链销钉突然脱落，系统由静止进入运动，试求销钉脱落的瞬时，（1）杆AC 的角加速度AC ε；（2）杆AB BC 、的角加速度
AB BC εε，。

解：（1）取AC 为研究对象，杆长为l ，质量为m ，︒=30ϕ 依刚体转动微分方程：
mgl l mg
J AC A 4
1
sin 21=⋅=⋅ϕε
∵231ml J A =
∴l g ml mgl J mgl A AC 4/33
1
/41/412===ε （顺时针） （2）分别取AB ，BC 为研究对象：
AB ：l Y l X mgl J B B AB A 2
1
32141⋅+⋅⋅+=
⋅ε （1）
BC ：B AB X l m -=+︒)030cos (ε （2）
B B
C AB Y mg l l m -=+︒)21
30sin (εε （3）
B B
C
D Y l J ⋅=⋅2
1
ε （4）
由（2）得：AB B l m X ε32
1
⋅-= （5）
由（4）得：BC B ml Y ε)6/1(= （6） 将（5），（6）式代入（1）式，化简后得：
BC AB ml mgl ml εε22313+= （7）
将（6）式代入（3）式，化简得：
BC AB ml mg ml εε463-= （8）
解（7）与（8）式得：
l g AB 55/18=ε（逆时针）
将AB ε值代入（7）解得：
l g BC 55/69=ε（顺时针）
9－17图示匀质细长杆AB ，质量为m ，长度为l ，在铅垂位置由静止释放，借A 端的水滑轮沿倾斜角为θ的轨道滑下。

不计摩擦和小滑轮的质量，试求刚释放时点A 的加速度。

g a θ
θ
2
sin 31sin 4+=
解：图（a ），初瞬时0=AB ω，以A 为基点，则
τC A a a a a a +=+=A C y C x C
即θαθcos 2
cos τ
l
a a a a A CA A Cx -=-=
（1）
θαθsin 2
sin τl
a a CA Cy == （2）
由平面运动微分方程：
θsin mg ma Cx =
习题9－17图
(a)
∴θsin g a Cx =
（3） N cos F mg ma Cy -=θ
（4）
θαsin 2
N l
F J C ⋅=
即
θαsin 2
121N 2l
F ml ⋅= （5）
解（2）、（4）、（5）联立，得 )
sin 31(2sin 32θθ
α
+=l g
（6
）
由（1）、（3），得 θαθsin cos 2
g l a A =⋅-
（6）代入，得 g a A θ
θ
2sin 31sin 4+=
题9－17图 题9－18图
9－18匀质细长杆AB ，质量为m ，长为l ，CD = d ，与铅垂墙间的夹角为α，D 棱是光滑的。

在图示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C 的加速度和D 处的约束力。

解：初始静止，杆开始运动瞬时，D v 必沿支承处切向，即沿AB 方向，所以D a 此时沿AB 方向，如图（a ），以D 为基点：
由t
n CD CD D Cy Cx a a a a a ++=+
1t
α⋅==d a a CD Cx
（1）
由AB 作平面运动：
N sin F mg ma Cx -=α
（2） αcos mg ma Cy =
（3） d F ml N 1212
1
=⋅α （4）
由（3），αc
o s
g a Cy = 解（1）、（2）、（4）联立
2
2
212sin 12d l gd a C x
+=α
2N 12sin d l mgl F +=α
习题9－18图
9－19匀质杆AB ，质量为m 、长为L ，两端均以速度v 0下落，且这时杆与铅垂线的夹角为θ。

假设碰撞以后杆将绕A 点作定轴转动。

试求：（1）碰撞前后的能量损失；（2）B 点与水平面即将接触时的速度。

解：动量矩守恒：θωsin 2
1
0L mv J A =
()L v 2/sin 30θω=∴
8/sin 32
1,2122021200θωmv J T mv T A ===
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=θ∆220sin 34
112
1mv T
倒下着地时：
θωωcos 2
1212122
1mgL J J A A =- ()[]
θθωcos 2
16/4/sin 9222
0212mgL L v mL =-
得：2
/122011
cos 3sin 941⎪
⎭
⎫
⎝⎛+==θθωgL v L u B
题9－19图 题9－20图
9－20匀质圆柱体的质量m =10kg 、半径r =30cm ，沿水平轨道以匀速v 0 =2m/s 作纯滚动时，碰到高h = 6cm 的障碍。

设恢复系数e = 0，A 处有足够的摩擦力，试求：（1）碰撞结束时圆柱体的角速度；（2）使圆柱能超过障碍的v 0的大小；（3）碰撞时动能的损失；（4）碰撞冲量的水平及竖直分量。

解：由对A 点冲量矩守恒：
()r
v h r mv J J A A /0000=-+=ωωω
得：
()m/s
02.12
1
s N 4.10sin s
N 13.6cos rad/s
78.5//231102min 000≥=⋅==⋅=-==⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=v mgh
J v mr S r v m S r v r h A Y X 得：应满足：ωαωαωω
9－21两根相同的均质直杆在B 处铰接并铅垂静止地悬挂在铰链C 处，如图所示。

设每杆长l=1.2m ，质量m=4kg 。

现在下端A 处作用一个冲量为I=14N ⋅s 的水平碰撞力，求碰撞后BC 杆的角速度。

rad/s 50.2=BC ω（顺时针）
题9－21图 题9－22图
9－22 质量为0.2kg 的垒球以水平方向的速度48=v km/h 打在一质量为2.4kg 的匀质木棒上，木棒的一端用细绳悬挂于天花板上。

若恢复系数为0.5，求碰撞后棒两端A 、B 的速度。

m/s 30==B A v v ，。