2014届高考数学三轮冲刺全员必做训练题：17定积分与微积分基本定理

第Ⅰ组：全员必做题
1. ⎠⎛01
(e x
＋2x )d x 等于( )
A ．1
B ．e －1
C ．e
D ．e ＋1
2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt (g 为常数)，则电视塔高为( )
A.12g B ．g C.32
g D ．2g
3．函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＋1，－1≤x <0，cos x ，0≤x ≤π
2的图像与x 轴所围成的封闭图形的面积为
( )
A.3
2 B ．1 C ．2
D.12
4.(2014·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2
和直线x ＝0，x ＝1，y ＝1
4所围成
的图形(阴影部分)的面积为( )
A.23
B.13
C.12
D.14
5．(2013·江西高考)若S 1＝⎠⎛12
x 2d x ，S 2＝⎠⎛12
1x d x ，S 3＝⎠⎛1
2
e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )
A ．S 1<S 2<S 3
B ．S 2<S 1<S 3
C ．S 2<S 3<S 1
D ．S 3<S 2<S 1
6．(2014·吉林模拟)设函数f (x )＝ax 2
＋c (a ≠0)，若⎠⎛01
f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则
x 0的值为______．
7.(2014·济宁一模)如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (2,0)，
B (2,4)，
C (0,4)，曲线y ＝ax 2经过点B ，现将一质点随机投入长方形OABC
中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．
8．(2014·珠海模拟)由三条曲线y ＝x 2
，y ＝x 2
4，y ＝1所围成的封闭图形的面积为
________．
9．求下列定积分． (1)21
⎰
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2)
-π
⎰
(cos x ＋e x
)d x .
10．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，
10
⎰
f (x )d x ＝－2，
(1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．
第Ⅱ组：重点选做题
1.已知函数f (x )＝－x 3
＋ax 2
＋bx (a ，b ∈R )的图像如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为1
12
，则a 的值为________． 2．曲线y ＝1x
＋2x ＋2e 2x
，直线x ＝1，x ＝e 和x 轴所围成的区域的面积是________．
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．选C
10⎰
(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|01＝(e 1＋1)－e 0＝e.
2．选C 由题意知电视塔高为
⎠⎛12
gt d t ＝12gt 221＝2g －12g ＝32
g .
3．选A S ＝
-1
⎰
(x ＋1)d x ＋
20
π⎰
cos x d x
＝
⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x 0-1＋sin x |20
π＝3
2
. 4．选D 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝14
，
y ＝x 2
⇒x ＝12或x ＝－1
2
(舍)，所以阴影部分面积S ＝
120
⎰
214-x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
d x ＋
1
12
⎰
⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－14d x ＝1320
114
3x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x 3－14x 1
12
＝14
. 5．选B S 1＝13x 3⎪⎪
⎪
2
1
＝83－13＝7
3，S 2＝ln x ⎪⎪⎪
21
＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x
⎪⎪
⎪
2
1
＝e
2
－e≈2.72
－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.
6．解析：10
⎰
f (x )d x ＝
10
⎰
(ax 2
＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx ⎪⎪
⎪
10
＝13
a ＋c ＝f (x 0)＝ax 2
0＋c ，∴x 20＝13
，x 0＝±
3
3
. 又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33
. 答案：
33
7．解析：∵y ＝ax 2
过点B (2,4)，∴a ＝1， ∴所求概率为1－20
⎰
x 2d x 2×4
＝2
3
. 答案：23
8．解析：解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x 2
，
y ＝1，和⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2
4，y ＝1，
得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，
(2,1)．
则S ＝22212201d 1d 44x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰－
＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 3|10＋x |2
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫112x 3|21＝43
. 答案：43
9．解：(1)
21
⎰
⎝
⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝21⎰x d x －21⎰x 2d x ＋21⎰1x d x ＝x 22|21－x 3
3|21＋ln x |2
1＝32－73＋ln 2＝ln 2－5
6
.
(2)
0-π
⎰
(cos x ＋e x
)d x ＝
0-π
⎰
cos x d x ＋
0-π
⎰
e x d x ＝sin x |0－π＋e x |0
－π＝1－
1e
π. 10．解：(1)设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，
f ′(0)＝0，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
a －
b ＋
c ＝2，b ＝0，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
c ＝2－a ，b ＝0，
∴f (x )＝ax 2
＋2－a . 又
1
⎰
f (x )d x ＝
1
⎰
(ax 2
＋2－a )d x
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13
ax 3＋－a
x |10＝2－2
3
a ＝－2，
∴a ＝6，从而f (x )＝6x 2
－4. (2)∵f (x )＝6x 2
－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2. 第Ⅱ组：重点选做题
1．解析：f ′(x )＝－3x 2
＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0， ∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3
＋ax 2，令f (x )＝0， 得x ＝0或x ＝a (a <0)．
S 阴影＝－0a ⎰(－x 3＋ax 2
)d x ＝
1
12a 4＝112
， ∴a ＝－1. 答案：－1
2．解析：由题意得，所求面积为
e
⎰1x＋2x＋2e2x d x＝e1⎰1x d x＋e1⎰2x d x＋e1⎰2e2x d x＝ln x|e1＋x2|e1＋e2x|e1＝(1－0)＋1
(e2－1)＋(e2e－e2)＝e2e.
答案：e2e。