2024年中考数学常见几何模型(全国通用)双中点(线段)模型与双角平分线(角)模型(原卷版)

专题01.双中点（线段）模型与双角平分线（角）模型
线段与角度是初中几何的入门知识，虽然难度不高，但重要性是不言而喻的。

这类模型通常由问题出发，先由线段（角度）和差确定解题方向，然后辅以线段中点（角平分线）来解决。

但是，对于有公共部分的线段双中点模型和双角平分线模型，可以写出的线段（角度）和差种类较多，这就增加了思考的难度。

模型1.线段的双中点模型
图1
图2
1）双中点模型（两线段无公共部分）条件：如图1，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12
DE AC .2）双中点模型（两线段有公共部分）
条件：如图2，已知A 、B 、C 三点共线，D 、E 分别为AB 、BC 中点，结论：12
DE AC .．．
A ．20AC
B ．D
C 例3．（2022秋·湖北咸宁·七年级统考期末）1例5．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）直线
(1)若20AB cm ，求MN 的长；(2)初步感知：
(1)如图1，点C 在线段AB 上，若2k ，则AC __________；若3AC BC ，则k
例9．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB 向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t．
模型2.双角平分线模型
图1
图2图3
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12DOE AOC .2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD 、OE 分别平分∠AOB 、∠BOC ；结论：12
DOE AOC .3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）条件：如图3，已知∠AOB +∠BOC+∠AOC=360°，OP 1平分∠AOC 、OP 2平分∠BOC ；结论：1211802
POP AOB .A ．70 B ．100例2．（2023秋·福建福州·七年级统考期末）如图，已知射线,BOC OF 平分AOB ，以下四个结论：③AOD BOC ；④EOF
例3．（2023·河南·七年级校联考期末）如图，22OA OB 、分别是1A OM 和MOB 分别是1n A OM 和1n MOB 的平分线，则例4．（2022秋·山西太原·七年级统考期末）图，的内部，OE 是∠AOB 的一条三等分线．请从A ．当∠BOC ＝30°时，∠EOD 的度数为
B ．当∠BO
C ＝α°时，∠EO
D 的度数为例5．（2023·江苏无锡·七年级校考期末）解答题：别平分AOB 、AOC ，求 °
<180n m ，OD 、OE 分别平分
例6．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）综合与探究：如图1，在AOB 的内部画射线OC ，射线OC 把AOB 分成两个角，分别为AOC 和BOC ，若这两个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC 为AOB 的“3等分线”．
(1)若90AOB ，射线OC 为AOB 的“3等分线”，则AOC 的度数为__________．
(2)如图2，已知60AOB ，过点O 在AOB 外部作射线OP ．若,,OA OP OB 三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为角的“3等分线”，求AOP 的度数（180AOP ）．
例9．（2022·四川·成都市七年级期末）如图所示：点P 是直线AB 上一点，∠CPD 是直角，PE 平分∠BPC ．
（1）如图1，若∠APC =40°，求∠DPE 的度数；
（2）如图1，若∠APC = ，直接写出∠DPE 的度数（用含 的代数式表示）；
（3）保持题目条件不变，将图1中的∠CPD 按顺时针方向旋转至图2所示的位置，探究∠APC 和∠DPE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
A ．①②③
B ．③④
C ．①②④4．
（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图，点M 在线段A ．20225
102 B ．20235
102 C ．20225
102 D ．2023
5
102
A ．30
B ．25 7．
（2023秋·山西大同·七年级统考期末）在别为AOC 和BOC ，若AOC 60AOB ，射线OC 为AOB
①在图1的情况下，在DBC 内作DBF ②在旋转过程中，若BM 平分DBA ，BN ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成④DBC ABE 的角度恒为105 ．其中正确的结论个数为（
A ．1个
B ．2个11．
（2022秋·四川巴中·七年级统考期末）如图：数轴上点13．
（2023春·四川达州·七年级校考阶段练习）D 、E 分别为线段AB BC 、中点，直线14．
（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知线段
QD
16．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知有理数
MP 时，NP ；
(1)若点P在线段AB上运动，当7
AB ，点P以1cm/s (2)【拓展与延伸】已知线段10cm
3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点
(1)根据题意，小明求得MN ______
于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB a=，C是线段AB上任意一点（不与点
(1)如图1，求证：AOB EOB DOE ；(2)如图2，作OF 平分AOB (3)如图3，在（2）的条件下，当90AOD 时，作射线OA 的反向延长线AOH AOE ，反向延长射线OE 得到射线OQ ，射线OP 在HOQ 内部，26BOC DOF ，5271GOH POQ EOF ，求BOP 的度数．
（2）若将（1）中的条件“ON 平分BOC ，OM 平分且AOB ，求AOM BON 的度数；（3）如图2，若ON 、OC 在AOB 的外部时，ON 时，猜想：MON 与 的大小有关系吗？如果没有，指出结论并说明理由．
232023··(1)如图1，当OB ，OC 重合时，求EOF 的度数；EOF 的度数；(3)当AOB 和COD 的位置如图3
25．（2023·江苏七年级课时练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，
（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）
为何值时，
26．（2022·广东茂名·七年级期末）已知：∠AOB ＝60°，∠COD ＝90°，OM 、ON 分别平分∠AOC 、∠BOD ．
（1）如图1，OC 在∠AOB 内部时，∠AOD +∠BOC ＝，∠BOD ﹣∠AOC ＝；
（2）如图2，OC 在∠AOB 内部时，求∠MON 的度数；（3）如图3，∠AOB ，∠COD 的边OA 、OD 在同一直线上，将∠AOB 绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转直至OB 边第一次与OD 边重合为止，整个运动过程时间记为t 秒．若∠MON ＝5∠BOC 时，求出对应的t 值及∠AOD 的度数．27．
（2023·江苏·七年级专题练习）如图1，射线OC 在AOB 的内部，图中共有3个角：AOB 、AOC 、BOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是AOB 的“定分线”．
（1）一个角的平分线_________这个角的“定分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若MPN a ，且射线PQ 是MPN 的“定分线”，则MPQ ________(用含a 的代数式表示出所有可能的结果）；（3）如图2，若MPN =48°，且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始，以每秒8°的速度逆时针旋转，当PQ 与PN 成90°时停止旋转，旋转的时间为t 秒；同时射线PM 绕点P 以每秒4°的速度逆时针旋转，并与PQ 同时停止．当PQ 是MPN 的“定分线”时，求t 的值．。