2012级高数上期末试卷

2012-2013学年第一学期《高等数学》期末试卷
一、填空题（每小题4分，共28分）
1.当0→x 时，()11312-+ ax 与1cos -x 是等价无穷小，则=a .
2.函数()x x x x f n
n
n 2211lim +-=∞→的间断点为.3.设()x x x
x y 2arcsin 2arctan 1ln 2+-++=，则()='0y .4.曲线x e
y arctan =的凹区间为.5.若
()()C x F dx x f +=⎰ ，且b at x +=，则()=⎰dt t f .6.设()25=f ，()350=⎰dx x f ，则()='⎰dx x f x 50.
7.设()dt e x F x
x t ⎰-=2
，则()='x F .二、计算题（每小题6分，共36分）
1.求极限n
e e e x nx
x x x +++→ 20ln 1lim .2.设x xe y 2=，求()n y .
3.设()x y y =由方程组⎩⎨⎧=-+-+=0
1cos 1y t e t e x y t 所确定，求022=x dx y d 的值.4.设()x f 在1=x 处可导且()21='f ，求极限()()x
x f x f x +--→11lim 0.5.求 ⎰-22a x x dx ，其中a 是非零常数.
6.计算⎰+312ln 1e x x dx
.
三、综合题（满分36分）
1.（本题7分）证明函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=0,
00,11x x x x x f 在0=x 处连续，但不可导.2.（本题7分）试证：当0>x 时，()x x x x <+<-1ln 2
12.
3.（本题7分）试在曲线段()802
<<=x x y 上求一点M 的坐标，使得由曲线在M 点切线与直线8=x ，0=y 所围成的三角形面积最大.
4.（本题7分）求定积分dx x e
e ⎰ 1
ln .
5.（本题8分）求由不等式θcos 3≤r 和θcos 1+≤r 所确定的公共部分的面积.。