211直线的倾斜角和斜率教案(北师大版必修2).doc

直线的倾斜角和斜率
（教师用书独具）
•三维目标 1. 知识与技能
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念.（2）掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2. 过程与方法
通过一系列直线的不同位宜的学习，培养学牛•的探究精神. 3. 情感、态度与价值观
通过几何问题川代数问题來处理的思维，培养学生的数形结合思想. •重点难点
重点「倾总角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式. 难点：直线倾斜角与它的斜率之间的关系.
直线的倾斜角、斜率都是用來刻画直线倾斜程度的，它们本质上是一致的，倾斜角a 与斜率丘
之间存在Qian 心工90。

）的关系，可以通过改变直线倾斜角来进一步认识斜率，
（教师用书独具）
•教学建议
教学时结合具体图形，学生容易了解确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线方 向，观察教材上的图2—1, 2-2要确定直线条中某一条总线还需要给岀一个角，即引出倾 斜角，进一步引出斜率，进而探究斜率与倾斜角的关系.
•教学流程
创设问题情境，提出问题=＞引导学生回答问题，认识直线的斜率和倾斜角。

通过例1 及变式训练，使学牛掌握直线倾斜角的求法。

通过例2及互动探究，使学牛掌握直线的斜率 的求法今通过例3及变式训练，使学生掌握直线的倾斜角和斜率的综合问题今归纳整理，进 行课堂小结，整体认识所学知识今完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈校正
敖学教法分析
明课标 分条解读 现“敎法
敖歩方案设计
按方略冰稷细解用“敎累”
理敛材自豊自测IS “晏础
i・理解玄线的倾斜角和斜率的概念（重点）.
2.掌握过两点的直线斜率的计算公式（重点）.
直线的倾斜角和斜率
【问题导思】
1.已知直线上一个点，能确定一条直线吗？
2.当直线的方向确定后，在线的位置确定吗？
3.直线人，乙分别是平面直角坐标系屮一、三象限角平分线和二、以象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？
【提示】1•不能2不确定3不一样・
1.直线的确定
在平面肓角坐标系中，确定在线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条真线的方向.
2.直线的倾斜角
（1）定义：在平面直角处标系中，对于一条与x轴相交的直线/，把x轴（止方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和真线I重合所成的角,叫作肓•线/的倾斜角，通常用a表示.
（2）范围：0°^cc<180°.
3.直线的斜率
直线倾斜角a的正切值叫作直线的斜率，即k={tana,次工90。

，不存在,a=90Q.
4.倾斜角、斜率及直线特点之间的联系
倾斜角a直线特点斜率k的变化
0°垂直于7轴比=0
0°<«<90°由左向右上升随着倾斜和在
00-90。

间逐渐增人，肓线的斜率k 也逐
渐增大,且恒为止值
a = 9()。

垂肓于x轴£不存在
90°<«<180°由左向右下降
随着倾斜角在9（）。

一1X（）。

间逐渐增人，肓线
的斜率〃也逐渐增大,且恒为负值经过两点円山，川，啟兀2,乃）（英中®2）的直线的斜率公式为
卜例01设直线/过原点，其倾斜角为弘将直线/绕坐标原点沿逆时针方向旋转45。

, 得到直线人，贝IJ直线h的倾斜角为（）
A.a+45°
B.a—135。

C.135。

一a
D.当0°^6（<135O时为c（+450,当135°<a<180°时为匕一135。

课标解读
求直线的倾斜角
【思路探究】倾斜角的
取值范围0°^a< 135°a + 45°135°^a< 180°a ・ 135。

【自主解答】由倾斜角的范围知只有当0°^« + 45°<180° ,即OWa< 135。

时，厶的倾斜角才是a+ 45。

；
而OW 180°,所以当135°Wa< 180。

时，
/.的倾斜角为a
【答案】D
I规律方法I
1.研究直线的倾斜角，必须明确倾斜角a的范围是0。

冬么< 180。

，否则将造成角度范围的扩大，产生不符合范围的角度・如对a不分类，选项A将出现大于等于180。

的角；选项B、C将出现小于0。

的角•
2 •此类问题应紧扣倾斜角的范围和倾斜角概念中的三个关键条件：①直线向上的方向；②x 轴的正方向；③逆时针方向旋转・有时利用数形结合的思想方法求解・
aig
图2-1-1中a是直线/的倾斜角吗？试用眨示图中各条直线/的倾斜角.
【解】设直线/
线/的倾斜角，0二180。

・么；
图③中。

不是直线/的倾斜角，〃二a；图④中a不是直线/的倾斜角，〃二90。

+久
| ［盛2；求直线的斜率_________ 卜例囚(1)直线过两点力(1,3)、B(2,7),求直线的斜率；
(2)过原点且斜率为1的直线/绕原点逆时针方向旋转90。

到达/'位置，求直线/'的倾斜率.
【思路探究】(1)利用过两点的直线的斜率公式求得・
(2)利用斜率的定义求・
【自主解答】(1)因为两点的横坐标不相等，所以直线的斜率存在，根据直线斜率公7 - 3式得^=7?7 = 4-
(2)因为直线/的斜率"1，所以直线/的倾斜角为45。

，所以直线厂的倾斜角为45。

+ 90° = 135° ,所以直线V的斜率k' = tan 135° =・1.
I规律方法I
1.熟记斜率公式是解答本题的关键.
2・求直线的斜率有两种思路一是公式，二是定义・当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在.
将本题中的两点改为(1,1), (-1, 一2)其余不变.
・ 2 - 1 3
【解】k=^~ = i
I 远也 ............. 直线的倾斜角、斜率的综合应用
卜钊国 已知点力(2, —3)； 3(—3, —2),直线/过点卩(3,1),且与线段仙相交,求肓 线/的斜率的取值范围.
【思路探究】 欲使直线I 与线段AB 相交,则直线I 的斜率与直线PA , PB 的斜率有 必然
的关系，通过画图可知•
【自主解答】 设直线/的斜率为J 当/与线段AB 相交时，kppWkWkpA , … 1 +3 1+2 1
又 *•* 畑=3 _ 2 = 4 ,畑=3 + 3 = 2， 即直线/的斜率的取值范围为百，4]・
I 规律方法I
1 •借助于画图是解答本题的关键.
2・研究直线的倾斜角与斜率间的关系，在求解过程中通常是先依据题意画出草图，然 后结合斜率的几何意义，利用数形结合的思想，找出斜率变化的分界点，最后依据斜率与倾 斜角的关系得出明确的结论・
k9EK 训纸
若三点力(2, -3), B(4,3), C(5, Q 在同一直线上，则实数£= _______________ .
, k-3 ,
4.2 二 3 ，kBC = ^4 = k
° 3
T B 、C 共线,/. S B = kf}c • k ■ 3 = 3
• k = b.
【答案】6
忽视斜率不存在的情况致误
卜典例 该直线/过点力⑺12), 3(他13),求直线/的斜率及倾斜角G 的取值范围. 当刃>7,艮卄 >0 时 〃>0,0。

5<90。

；
当 w<7 ,
, k < 0,90° <a<\ 80°.
【错因分析】 本题做错的原因是没有搞清斜率比与倾斜角a 之间的关系.任意直线的 倾斜
角都存在，但当a 二90。

时，直线的斜率是不存在的；反之，当直线的斜率不存在时， 直线的倾斜角是90。

.错解忽视了加二7时，斜率不存在的情况・
【防范措施】 利用斜率与倾斜角的关系解题时，若倾斜角的范围不确定，一定要考虑 倾斜角« = 90。

和两种情况・
【正解】 当/?7 = 7时，直线与x 轴垂直，斜率不存在・
【解析】 巧分辨解疑衍谖盘”昭升
技能提
升区I
【错解】
13 ・ 12 _ 1
m - 7 m ・ 7
倾斜角a = 90°.
13 - 12 1
当加工7时昇二一「二一4・
加・7 m - 7
当刃>7 时f即一>0 时F k > 0,0° < a < 90°. 加・7
当w<7 ,艮时,<0,90° <«< 180°. m - 7
1 •肓线的斜率与倾斜角是刻画肓线位置状态的两种基木量，决定了这条肓•线相对于X 轴的倾斜程度.
2.倾斜介是9(r的宜线没侑斜率，倾斜角不是90啲肓线都有斜率，即直线的倾斜角不为90。

时斜率公式才成立.
3.斜率公式与两点的顺序无关，它是以示研究肓线方程的各种形式的基础，须熟记并会灵活运用.
4.利用斜率相等，是解决三点共线问题的有效途径，但要确保直线的斜率存在
.
劣久乂基达标想堂练生生互动达“双标" 备费f
1.己知直线/的斜率不存在，则直线/的倾斜角为()
A.45°
B. 18()。

C. 0°
D. 90°
【解析】倾斜角为90。

的直线斜率不存在・
【答案】D
2.过M(—2,加)，NQn,4)的直线的倾斜角为90。

,则加的值为()
A. -2
B. 4
C. 2
D. -4
【解析】由倾斜角为90。

得・2二〃？, 即m =・2.
【答案】A
3.过两点(2羽，羽)和(&/5,―筋)的直线的斜率为__________ .
【解析】"铝
【答案】
4.已知/（兀,0）和3（2,羽），且总线肋的倾斜角为60。

，求直线仙的斜率和x 的值. 【解】的倾斜角为60。

，
k A B - tan 60° =羽,
^3-0
2 -x =
演练提
升K *
一、选择题
1.若直线/的倾斜介为120°,则这条直线的斜率为（）
B.-羽 D. -¥
【解析】Z: = tan 120° =・萌.
【答案】B
2・（2013•泉州高一检测）过点M（—2, G）, N（a,4）的宜线的斜率为一土，则G等于（）
A. —8
B. 10
C. 2
D. 4
4・G1
【解析】
• K a + 2・亍，:.a = 10.
【答案】B
3.若/（—2,3）, 3（3, -2）, C百，〃?）三点在同一条直线上,则加的值为（）
A. -2
B. 2
C. -I
D.1
【解析】, B , C三点在同一条直线上，
解得m =
【答案】D
4.直线/过原点，且不过第三象限，则/的倾斜角匕的取值集合是（）
A.{冰）。

&<180。

}
B.{«|90°^«<180°}
C.{«|90°^«<180°或a=0。

}
D.{490°WaW135Q}
【解析】不过第三象限，说明倾斜角不能取0° < a < 90° ,即可取0。

或90°^«< 180°.
【答案】C
5.（2013-西安高一检测）将直线/向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为（）
A-4 B-5 C- _4 D- 4
【解析】设点P（a , b）是直线/上的任意一点，当直线/按题中要求平移后，点P也
做同样的平移，平移后的坐标为（a + 4 "・5）,由题意知这两点都在直线/上，・•・直线/的-2 - 3
3-(-2)
【答案】c 二、填空题
6•直线Z 经过/(2,1),风1,加彳)两点，(加WR ).那么直线/的倾斜角的取值范围为
2 .[
【解析】= T= 1・,・•，坝余斗角0°WaW45。

或90°<a<180。

.
1-2
【答案】0°^a^45°或 90°<«<180°
7.已知三点力(2, -3), B(4,3), C(5, §在同一直线上，则 ___________________
3
■
£ 2 =
3 - 4
•••/、B、C在同一直线上r
~ kpc f即3 = 2 " •解得k= \2.
【答案】12
8. ________________________________________________________ 若三点、力(2,2), 3(°,0), C(0,历伽工0)共线，贝1#+*的值等于 __________________________
()・ 2 b ■ 2
【解析】•・•/、B、C三点共线，・•・；=二厂三，
.・.4 = (a ・2)(b・ 2), ah - 2(a + b) = Q , T ab^O ,
【答案】
三、解答题
9.求经过下列两点的肓线的斜率，并判断其倾斜角是锐和还是钝和.
(1)/(0, -1), 3(2,0)；
(2)卩(5, -4), 0(2,3)；
(3)M(3, -4), N(3, -2).
・1・0 1
【解】⑴k”B =0 2 = 2，
v k AB > 0 ,・•.直线曲的倾斜角是锐角・
•4-3 7
⑵你。

二丁亍二•亍
•・• kpQ<0 ,・•・直线PQ的倾斜角是钝角・
(3) *.* X M = = 3.
.•・直线MN的斜率不存在，其倾斜角为90°.
10.(2013•郑州高一检测)已知直线/的倾斜角为a,且tana=±l，点只(2,必)、P畑, — 3)、2(4,2)均在直线/上,求刃、出的值.
-3-2
【解】当tan a = 1时，------ -=1 ,
Vi • 2
^2 = - 1 / 2.4 = 1 ■ • •刃=°・
・3 ■ 2
S tan a =・ 1 时，----- =-1 r
兀2 ■马
H.已知点P(x, y)在以点力(1,1), B(3,l), C(-l,6)为顶点的三角形内部及边界上运动, 求k()p(O
为坐标原点)6勺取值范围
.
Vi - 2
■1'5 =4.
【解】如图所7F,设直线OB、0C的倾斜角分别为％、旳，斜率分别为局、虧，则直线0P 的倾斜角a满足％ WaWct2・
又•・・a2 > 90° ,
直线OP的斜率满足kop三k\或kopWkq.
又=| * ^2=・ 6 ,
k()pP T或k(〉pW -
敘"申备课资源易拓展因材施数闊“视好”昭賈?
(教师用书独具) 一—J
»25选例题
已知坐标平面内三点J(-l,l), 8(1,1), C(2,筋+1).
(1)求直线力3、BC、/C的斜率和倾斜角；
⑵若D为/\ABC的边AB上一动点，求理线CD的斜率k的变化范|札
【思路探究】(1)解题时可利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角；
(2)可采用数形结合法来解・
【自主解答】(1)由斜率公式得
f 1 ・ 1 f、/3_+1 ・ 1 厂
-(- 1) = ° / 尿2. ] 7.
V3
◎c- 2-( - 1) ~ 3 -
•・・tan 0° = 0 , A AB的倾斜角为0°.
tan 60。

詡…・・BC的倾斜角为60°.
.
tan 3()。

二誓,:.AC的倾斜角为30°
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由G4逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由k CA增大到紇〃，
所以《的取值范围習，苗]・
I规律方法I
求解斜率的取值范围是要抓住以下几点：
(1)倾斜角的取值范围；(2)倾斜角和斜率间的关系；(3)数形结合・
3x ・1
【解】y = —--T ,可看成点力（・2」）与函数尸3兀上动点M （x f 3兀）连线的斜率（如 图所示）.由函数y=3x （x^O ）的图像易知心-1 , 又因为賂逹"
所以已知函数的值域为［・*,3）・
求函数尹= 3x — 1 x+2
（xNO ）的值域.。