2019届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三上学期入学考试数学(文)试题

2019届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三上学期入学考试
数学（文）试题
（考试用时：120分 全卷满分：150分 ）
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ,集合 ，则
A.
B.
C.
D.
2. 已知||=1，||=，且•（2+）=1，则与夹角的余弦值是
A ．﹣
B ．
C ．﹣
D ．
3.已知()5
cos(),0,5
θθπ-=
∈π，则sin 2θ= A.45- B.45 C.35- D.35
4.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为
A ．
16
B ．
13
C ．1
D ．
43
5．已知直线l 的方程为0263=+-y x ，直线⊥l 直线/l ，且直线/
l 过点)3,1(-，则直线/l 的方程为
A ．012=-+y x
B ．052=-+y x
C ．052=-+y x
D ．072=+-y x
6．已知{}n a 的前n 项和为12n n S m +=+，且1a ，4a ，52a -成等差数列，()()
111n
n n n a b a a +=
--，数列
{}n b 的前n 项和为n T ，则满足2017
2018n T >的最小正整数n 的值为
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
7. 程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.
执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为
A ．120
B ．84
C ．56
D ．28
8. 若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为
A. 0
B.
C. 1
D.
9. 函数()()()
ln 00x x f x x x ⎧>⎪=⎨--≤⎪⎩与()1g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范
围是
A ．R
B ．(],e -∞- C.[),e +∞ D ． ∅
10.在四面体ABCD 中，若3AB CD ==，2AC BD ==，5AD BC ==，则四面体ABCD 的外接
球的表面积为 A ．2π
B ．4π
C ．6π
D ．8π
11．函数()()1cos sin f x x x =+在[]π,π-上的图象的大致形状是
A ．
B ．
C ．
D ．
12.以双曲线 的左右焦点为焦点，离心率为 的椭圆的标准方程为
A. B. C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知周长为定值的扇形OAB ，当其面积最大时，向其内任意投点，则点落在OAB ∆内的概率是 ． 14. 若函数
的两个零点是－1和2，则不等式
的解集是___．
15． 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若，三内角A ，B ，C 成等差数列，
则该三角形的外接圆半径等于______________.
16.定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题： ①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)． 其中正确命题的序号是____________．(请把正确命题的序号全部写出来)
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分） 在△中，角所对的边分别为，已知，，．
(Ⅰ)求的值； (Ⅱ)求的值．
18.（本题满分12分）记为差数列
的前n 项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)令，
，若对一切成立，求实数的最大值.
19.（本题满分12分） 已知定义在上的函数是奇函数，且当时，，求函数的
解析式，并指出它的单调区间．
20．（本题满分12分）从某企业生产的某批产品中抽取100件，测量这部分产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1.
（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一 个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[)45,65内的概率．
21．（本题满分12分）已知函数.
(1)当a=1时,求曲线在x=1处的切线方程;
(2)时,的最大值为a,求a的取值范围.
22.（本题满分12分）已知函数的图像与轴相切，且切点在轴的正半轴上.
(1)若函数在上的极小值不大于，求的取值范围；
(2)设，证明：在上的最小值为定值.
成都龙泉中学2016级高三上学期入学考试试题
数学（文科）参考答案
1—5 ACADA 6—10 CBDCC 11—12 AC
14. 15. 2 16.①②④
13.1
sin2
2
17.【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：(1) 在△中,由角B的余弦定理，可求得，（2）由于知道三角形三边，所以可以由角C的余弦定理，求得cosC，再求sinC.也可以先求得sinB,再由正弦定理，求得sinC.
试题解析：(Ⅰ)由余弦定理得：，
得，
．
（2）由余弦定理，得
∵是的内角，∴．
18.【答案】(1) (2) 实数的最大值为
【解析】试题分析：（1）根据等差数列的公式得到通项；（2）由第一问得到，故得到前n 项和，是递增数列，，进而得到结果。

解析：
(1)∵等差数列中，，.
∴，解得.
，
.
(2)
，
是递增数列，，
，
∴实数的最大值为.
19.【答案】,增区间，减区间
【解析】试题分析：首先定义在R 上的奇函数，所以f(0)=0,己知x>0的表达式，要求x<0的表达式，只需设x<0,则-x>0,
．所以f(x)=-f(-x)=
,写成分段函数形式，即解。

可以画
出分段函数的图像，可观察出单调区间。

试题解析：设，则
，．
又是奇函数，，
．
当时，
．
综上，
的解析式为
．
作出的图像，可得增区间为，，减区间为，．
20.解：（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 所以，
()0.0040.0120.0190.03010421x x x +++⨯+++=，
解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间[)45,55，[)55,65，[)65,75内的频率依次为0.3，0.2，0.1
用分层抽样的方法在区间[)45,75内抽取一个容量为6的样本，
则在区间[)45,55内应抽取0.3
630.30.20.1⨯
=++件，记为1A ，2A ，3A ．
在区间[)55,65内应抽取0.2
620.30.20.1
⨯
=++件，记为1B ，2B ． 在区间[)65,75内应抽取0.1
610.30.20.1
⨯
=++件，记为C ． 设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[)45,65内”为事件M ，
则所有的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}1,A C ，{}23,A A ，
{}21,A B ，{}22,A B ，{}2,A C ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}3,A C ，{}12,B B ，{}1,B C ，{}2,B C ，共
15
种．
事件M 包含的基本事件有：{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，
{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10种．
所以这2件产品都在区间[)45,65内的概率为102
153
= 21.【答案】(1),
故切线方程为
.
(2)等价于对于恒成立.即对于恒成立.
.
即g (x )在上增,上减,
【解析】本题主要考查的函数的导数在研究函数最值中的应用,意在考查考生的转化思想和分析问题、解决问题的能力. (1)由求导公式得到
,进而求得
,由点斜式方程求出切线方程;
(2)将条件转化为在恒成立,利用构造函数法设,由求导公式求得,
由函数与导数的关系,求出在区间上的单调性,再求出最大值,即可求出实数的取值范围.
22.【答案】(1)
;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）函数
的图象与轴相切可得。

所以，
，对分类讨论可得①当
时，
无极值；②当
时，在
处取得极小值；
③当
时，
在
上无极小值。

综上得当当
时，在
上有极小值
，解得。

（2），所以
，令，则，分析可得
，故在
上递增，因此
，所以当
时，
单调递减；当
时，
单调递增。

故
为
定值。

试题解析： （1）解：∵
，
∴令得，
由题意可得，∴ .
∴，
∴ ，
①当，即时，无极值.
②当，即时，
令得；
令得或，
∴ 当时，有极小值.
③当，即时，在上无极小值。

综上可得当时，在上有极小值，且极小值为，
即.
∵ ，
∴，
解得，
又，
∴ 。

∴ 实数的取值范围为。

（2）证明：由条件得，
，
设，
则，
∵ ，∴ ，
又，
∴ ，
∴ ，
∴ 在上递增，
∴ .
由得；由得.
∴当时，单调递减；当时，单调递增。

∴ 当时，有极小值，也为最小值，且为定值.。