(完整版)二项式系数性质练习题答案
《二项式定理》知识点总结+典型例题+练习(含答案)
二项式定理考纲要求1.了解二项式定理的概念.2.二项展开式的特征及其通项公式.3.会区别二项式系数和系数.4.了解二项式定理及简单应用，并运用二项式定理进行有关的计算和证明. 知识点一：二项式定理设a , b 是任意实数，n 是任意给定的正整数，则0011222333110()n n n n n m n m m n n n nn n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b C ab C a b------+=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++这个公式所表示的定理叫做二项式定理，其中右边的多项式叫的二项式展开式，每项的0n C ,1n C , 2n C ⋅⋅⋅ n n C 叫做该项的二项式系数.注意：二项式具有以下特征:1.展开式中共有1n +项，n 为正整数.2.各项中a 与b 的指数和为n ，并且第一个字母a 依次降幂排列，第二个字母b 依次升幂排列.3.各项的二项式系数依次为0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C . 知识点二：二项展开式通项公式二项展开式中的m n m mn C a b -叫做二项式的通项, 记作 1m T +. 即二项展开式的通项为 1m n m mm n T C a b -+=.注意：该项为二项展开式的第1m +项，而不是第m 项. 知识点三：二项式系数的性质二项式展开式的二项式系数是0n C , 1n C , 2n C ⋅⋅⋅ nn C .1.在二项展开式中，与首末两端距离相等的两项的二项式系数相等,即m n mn n C C -=.2.如果二项式()na b +的幂指数n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大即12n+项的二项式系数最大. 3.如果二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.4.二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m nn n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=.5.二项式()na b +的展开式中奇数项和偶数项的二项式系数和相等即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅=.知识点四：二项式系数与系数的区别 1.二项展开式中各项的二项式系数: mn C .2.二项展开式中各项的系数:除了字母外所有的数字因数的积. 题型一 二项式定理 例1 求51(2)x x-的展开式. 分析：熟记二项式定理.解答：51(2)x x-=05014123232355551111(2)()(2)()(2)()(2)()C x C x C x C x x x x x -+-+-+-4145055511(2)()(2)()C x C x x x+-+-533540101328080x x x x x x=-+-+-题型二 二项展开式通项公式 例2 求91(3)9x x+的展开式中第3项. 分析：灵活运用通项公式. 解答：272532191(3)()9729T T C x x x+===, 所以第3项为5972x . 题型三 二项式系数的性质例3 求7(2)x +的展开式中二项式系数最大的项.分析：根据二项式()na b +的幂指数n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大，并且相等，即第12n +项和第32n +项的二项式系数最大且相等.先求出二项式最大项的项数，再利用通项公式计算.解答：由于7为奇数，所以第4项和第5项的二项式系数最大.即3733343172560T T C x x -+=== 4744454172280T T C x x -+===题型四 二项式系数与系数的区别例4 二项式9(12)x -的二项式系数之和为 . 分析：二项式()na b +的展开式中，所有二项式系数的和为01232m n n n n n n n n C C C C C C ++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=。
高中数学杨辉三角和二项式系数的性质相关精选题目(附解析)
杨辉三角和二项式系数的性质相关精选题目（附答案）(1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； ②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n .(2)二项式系数的性质 ①对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． ②增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 一、求二项展开式中系数或二项式系数的最大项1．(1)(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．第5项B ．第6项或第7项C ．第6项D ．第7项(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( ) A ．第6项 B ．第3项C ．第3项和第6项D ．第5项和第7项(3)(1－x )13的展开式中系数最小的项为( )A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项解析： (1)T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ×25＝C 6n ×26⇒n ＝8. 所以(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.故选A.(2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－C 510中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝C 410x 2， T 7＝C 610x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 6＝C 610x －2，且C 410＝C 610. 所以系数最大的项为第5项和第7项．故选D.(3)展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大． 由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选C.答案：(1)A (2)D (3)C 注：(1)根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r ＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r 项，第r ＋2项)的系数均不大于第r ＋1项的系数，由此列不等式组可确定r 的范围，再依据r ∈N *来确定r 的值，即可求出最大项．2．(1－x )2n －1展开式中，二项式系数最大的项是( ) A ．第n －1项 B ．第n 项C ．第n －1项与第n ＋1项D ．第n 项与第n ＋1项解析：选D 由二项式系数的性质得，二项式系数最大为C2n －1－122n －1＝C n －12n －1，C2n －1＋122n －1＝C n2n －1，分别为第n ，n ＋1项． 3.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 2n 展开式的第6项系数最大，则其常数项为( ) A ．120 B ．252 C ．210 D ．45解析：选C 由题意，C n 2n ＝C 52n ，易知n ＝5，由T r ＋1＝C r 10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 10x 30－5r 6，令30－5r ＝0，得r ＝6，故其常数项为C 610＝210.二：展开式的系数和1．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 解析： (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128.① 所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128. (4)法一：∵(3x －1)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7均大于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7－(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝8 256－(－8 128)＝16 384. 法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| 即为(1＋3x )7展开式中各项的系数和，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(1＋3)7＝47＝16 384. 注：“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．2．在(1－3x )12的展开式中．求： (1)各二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和．解：(1)各二项式系数和为C 012＋C 112＋C 212＋…＋C 1212＝212＝4 096. (2)奇数项二项式系数和为C 012＋C 212＋C 412＋…＋C 1212＝211＝2 048. (3)偶数项二项式系数和为C 112＋C 312＋C 512＋…＋C 1112＝211＝2 048.三、二项式系数性质的应用1．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项． 解析：(1)展开式中二项式系数最大的项应是中间项，并要根据n 的奇偶性来确定是中间两项还是一项．(2)系数最大的系数，应满足不小于前一项的系数，也不小于后一项的系数，即设第r ＋1项的系数为A r ＋1，则满足不等式组⎩⎨⎧A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2，由不等式组解出r 的值．(1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70. 故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8， ∴T 8的系数为C 714×⎝⎛⎭⎪⎫127×27＝3 432. 故展开式中二项式系数最大项的系数为3 432.(2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，解得n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设展开式中第r ＋1项的系数最大， 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·(1＋4x )12，则⎩⎨⎧C r 12·4r ≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，∴9.4≤r ≤10.4. 又r ∈{0,1,2，…，12}，∴r ＝10，∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·(4x )10＝16 896x 10. 注：求展开式中系数的最值的方法：(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决．(2)若展开式的系数为f (r )＝C r n ·m g (r )的形式，如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎨⎧A r ＋1≥A r ＋2，A r ＋1≥A r解出r ，即得系数最大项．(3)若展开式的项数较少或转化为讨论较小项的系数的类型，可采用逐个作差(作商)比较确定．2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．(1)求该展开式中所有有理项的项数；(2)求该展开式中系数最大的项． 解：(1)由题意，可知n2＋1＝6，∴n ＝10. ∴T r ＋1＝C r 10x10－r 22r x －2r ＝C r 102rx 10－5r 2，当r ＝0,2,4,6,8,10时，10－5r2∈Z ，∴展开式中所有有理项的项数为6. (2)设第T r ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧C r 102r ≥C r －1102r －1，C r 102r ≥C r ＋1102r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥111－r ，110－r ≥2r ＋1.解得193≤r ≤223. ∵r ∈N ，∴r ＝7.∴展开式中系数最大的项为T 8＝C 71027x －252＝15 360x －252.巩固练习：（基础题）题组1 求二项展开式中系数或二项式系数的最大项 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．第3项 B ．第6项 C ．第6、7项 D ．第5、7项解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中第11＋12项和11＋12＋1项，即第6、7项的二项式系数相等，且最大．2．在(1＋x )n (n ∈N *)的展开式中，若只有x 5的系数最大，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析：选C 由题意，展开式共有11项，所以n ＝10. 3．在(1－x )201的展开式中，系数的最大值是( )A．C99201B．C100201C．C101201D．C102201＝C r201(－x)r＝(－1)r C r201解析：选B在(1－x)201的展开式中，第r＋1项为T r＋1x r，所以系数的最大值是C100201，选B.4．下列关于(a＋b)10的说法：①展开式中的各二项式系数之和为1 024；②展开式中第6项的二项式系数最大；③展开式中第5项与第7项的二项式系数最大；④展开式中第6项的系数最小．其中正确说法的个数为________．解析：根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1 024，故说法①正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故说法②正确，说法③错误；易知展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故说法④错误．答案：2题组2展开式的系数和5．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为()A．8 B．9C．10 D．11解析：选B由题意知(1＋1)n(3－1)＝1 024，即2n＋1＝1 024，所以n＝9.故选B.6．(C14x＋C24x2＋C34x3＋C44x4)2的展开式中所有项的系数和为()A．64 B．224C．225 D．256解析：选C令x＝1，原式＝(C14＋C24＋C34＋C44)2＝(24－1)2＝225，故选C.7．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)n a n＝()A．32 B．64C．128 D．256解析：选D由题意可得C1n＝C3n，∴n＝4.令x＝－1，则(3－x)n＝(3＋1)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.∴a0－a1＋a2＋…＋(－1)n a n＝256.8．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值： (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|. 解：(1)令x ＝0，可得a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100， (3)令x ＝－1.可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 与(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)∵T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r (3)r x r ， ∴a 2r －1＜0(r ∈N *)．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 题组3 二项式系数性质的应用9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A ．6B ．7C ．8D ．5解析：选A 由二项式定理，知a k ＝C k －110(k ＝1,2,3，…，11)．又(1＋x )10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k 的最大值为6.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式中的常数项，求：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式中a －1项的二项式系数． 解：依题意，令a ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－3a n展开式中各项系数和为(3－1)n ＝2n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5展开式中的通项为T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15b r ＝(－1)r C r 545－r ·5－r 2b 10－5r6.若T r ＋1为常数项，则10－5r6＝0，即r ＝2，故常数项为T 3＝(－1)2C 25·43·5－1＝27， 于是有2n ＝27，得n ＝7.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和为2n ＝27＝128. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a 7的通项为T r ＋1＝C r 7⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 7－r ·(－3a )r ＝C r 7(－1)r ·37－r ·a 5r －216，令5r －216＝－1，得r ＝3，∴所求a －1项的二项式系数为C 37＝35.巩固练习（提升题)1．已知(x －1)n 的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为( )A ．－35x 4B ．35x 3C ．－35x 4和35x 3D ．－35x 3和35x 4解析：选C 由已知，可得2n －1＝64，解得n ＝7，(x －1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T 4＝C 37x 4(－1)3＝－35x 4，T 5＝C 47x 3(－1)4＝35x 3，故选C.2．已知(1＋2x )2n 的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项解析：选B 设(1＋2x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则展开式中奇次项系数之和就是a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1.分别令x ＝1，x ＝－1，得⎩⎨⎧a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝32n ，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2n －1＋a 2n ＝1，两式相减，得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝32n －12.由已知，得32n －12＝364，∴32n ＝729＝36，即n ＝3.(1＋2x )2n ＝(1＋2x )6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.3．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( )A ．32B ．1C ．－243D ．1或－243解析：选B (a －x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k ·C k 5a 5－k x k ，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.4．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝________.解析：令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10， 令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10， 故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝(2－1)10()2＋110＝1.答案：15．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3.解析：由已知，得C n C 14n＝23，化简得14n －13＝23，解得n ＝34. 答案：346．将⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2n (n ≥2，n ∈N *)的展开式中x －4的系数记为a n ，求1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017的值．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2r ＝(－1)r C r n x －2r ， 由题意可知r ＝2，此时a n ＝C 2n ＝n (n －1)2， 所以1a n ＝2n (n －1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， 所以1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016－12 017 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 017＝4 0322 017. 7．已知(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项系数和比二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：令x ＝1得展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝4n .又展开式中二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ，由题意有4n －2n ＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n ＋31)＝0.所以2n ＝－31(舍去)或2n ＝32.所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6. T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项的系数最大，又T r ＋1＝C r 5(3x 2)5－r ·(3x 2)r ＝C r 53r x 10＋4r 3，得⎩⎨⎧ C r 5·3r ≥C r －15·3r －1C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r 15－r ≥3r ＋1⇒72≤r ≤92.又因为r ∈N *，所以r ＝4，所以展开式中第5项系数最大．T 5＝C 4534x 263＝405x 263.。
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.二项式(2－)6的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答)【答案】365【解析】T＋1＝·(2)6－r·(－1)r·x－r＝(－1)r·26－r，r＝0,1,2,3,4,5,6，当r＝0,2,4,6时，rT＋1＝(－1)r26－r为有理项，则所有有理项的系数和为26＋24＋22＋20＝365.r2.在的展开式中，记项的系数为，则（）A．45B．60C．120D．210【答案】C【解析】由题意可得，故选C【考点】二项式系数.3.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.【考点】本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档. 4.设是大于1的自然数，的展开式为.若点的位置如图所示，则.【答案】【解析】由图易知，则，即，解得.【考点】1.二项展开式的应用.5.的展开式中第5项的二项式系数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由二项展开式的通项公式得，第5项的二项式系数为.【考点】二项式定理.6.（5分）（2011•重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是．【答案】240【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数．解：展开式的通项为Tr+1=2r C6r x r令r=4得展开式中x4的系数是24C64=240故答案为：240点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．7.的二项展开式中，常数项为______．【答案】【解析】二项式的通项，令，得，故展开式中常数项为．【考点】二项式定理．8.的二项展开式中常数项为________．（用数字作答）【答案】【解析】通项，令，则，所以二项展开式中常数项为.【考点】二项式定理。
9.设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为展开式的二项式系数的最大值为b．若,则m=( )A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】由题意知：,,所以,∴．∴解得m=6．10.在的展开式中，的系数是（）A．－297B．－252C．297D．207【答案】D【解析】∵原式=．∴欲求原展开式中x 5的系数，只需求出展开式中x5和x2的系数．而=1+…+x2+…+x5+…．故展开式中，x5的系数为－=207．11.若＝x n＋…＋ax3＋bx2＋…＋1（n∈N*），且a∶b＝3∶1，那么n=_____．【答案】11【解析】，由已知有．12.展开式中含项的系数是_________．【答案】【解析】，所以的系数为．【考点】二项展开式的系数．13.的展开式中，常数项是______________.【答案】【解析】由二项式定理得，，令，得，故展开式中的常数项为．【考点】二项式定理.14.的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）【答案】80【解析】∵，令，∴，∴.【考点】二项式定理.15.若是展开式中项的系数，则．【答案】【解析】由题意，，∴，∴．【考点】二项展开式的通项与裂项相消法求和，极限．16.二项式展开式中的常数项是_________．（用数字作答）【答案】.【解析】由二项展开式的通项公式得，二项式展开式中的常数项是.【考点】二项定理.17.若的二项展开式中，所有项的二项式系数和为，则该展开式中的常数项为 .【答案】15【解析】∵所有项的二项式系数和为64，∴，∴，∴，∴，令，即，∴常数项为.【考点】二项式定理.18.已知(x-m)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7的展开式中x5的系数是189,则实数m=()A．3B．-3C．±3D．5【答案】C【解析】(x-m)7=(-m+x)7,则Tk+1=x k(-m)7-k,令k=5,得m2=189,解得m=±3.19. (x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a+a1+a2+…+a11的值为()A．2B．-1C．-2D．1【答案】C【解析】∵(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,∴令x=-1,得2×(-1)9=a0+a1+a2+…+a11,即a0+a1+a2+…+a11=-2.【方法技巧】求展开式中的系数和的方法一般采用赋值法:即把式子看成某字母的函数,再结合所求系数式子的特点,分别令字母取一些常数0,1,-1等,便可求得系数和.20.在(x4+)10的展开式中常数项是(用数字作答).【答案】45【解析】(x4+)10的通项为=()r=,令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为==45.21.二项式展开式中的常数项为 .【答案】【解析】的展开式的通项，令可得，则常数项为.【考点】二项式展开式的通项公式22.已知n(n∈N*)的展开式中，前三项系数成等差数列，则展开式中的常数项是 ()．A．28B．70C．D．【答案】C【解析】展开式的前三项的系数分别为，，，则由题意可得＋＝，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8(n＝1舍去)．于是Tr＋1＝r＝x，若Tr＋1为常数项，则8－r＝0，即r＝6.故展开式中的常数项为T7＝＝.23.二项式的展开式中，含的项的系数是___________.【答案】-126【解析】利用二项展开式通项公式可得，，令，可得，代入可得所求系数为．【考点】二项展开式通项公式．24.展开式中的系数是________．【答案】－3【解析】，所以的系数为：－3【考点】二项式定理及多项式的乘法.25.设…，则…＝．【答案】【解析】中正负相间，当然我们可以通过令求出和，此题我们还可以用另外一种方法，设，则全为正，，，所以．【考点】二项展开式的系数．26.设的展开式中的系数为,二项式系数为,则 .【答案】4【解析】的展开式的通项公式为.由得.又.注意B只是的二项式系数.【考点】二项式定理.27.的展开式中常数项为___________________．【答案】【解析】常数项为.【考点】二项式定理.28.的展开式中的系数是__________.【答案】【解析】原式=，中的通项为，则，，当，即，此时这项中的系数为；当，即，此时这项中的系数为，所以原式展开式中的系数为.【考点】1.二项式定理中项的系数的表示；2.二项式定理的运算.29.设常数，若的二项展开式中项的系数为，则 .【答案】-2【解析】的二项展开式中第项为，若含的这一项，则，所以，为，所以项的系数为，即.【考点】二项式定理30.的展开式中的常数项是 .（用数字作答）【答案】【解析】的展开式的第项为，令，故的展开式中的常数项为.【考点】二项式定理31. (1-x)3(1-)3展开式中常数项是( )A．－20B．18C．20D．0【答案】C【解析】要求原式的常数项即求中的系数，【考点】二项式定理32.的展开式中的系数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选C.【考点】二项式定理求系数33.二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】根据题意，由于二项式的展开式的第二项的系数为，则可知为，故可知，故可知结论为或，选C.【考点】二项式定理点评：主要是考查了二项式定理的展开式通项公式的运用，属于基础题。
高二数学二项式定理与性质试题答案及解析
高二数学二项式定理与性质试题答案及解析1.的展开式中的常数项为（）A．﹣64B．﹣32C．32D．64【答案】B【解析】二项展开式的通项公式，当时，因此常数项为.【考点】二项展开式的应用.2.已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】展开式中各项系数和为x取时式子的值，所以各项系数和为，而二项式系数和为，因此，所以，答案选C.【考点】二项式定理及应用3.（+）5展开式的常数项为80，则a的值为（）A．1B．2C．D．4【答案】B【解析】由二项式定理可知,常数项当即时的项,所以有,解得a=2,答案为B.【考点】二项式定理4.若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋＋anx n，则a1＋a2＋＋an的值为________．【答案】255【解析】由二项式定理可得通项公式：因含的项为第6项，故.令,令【考点】（1）二项式定理；（2）赋特殊值求二项式系数.5.若展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含项的系数为．【答案】80.【解析】由题意得，，；则的通项公式为，令，得的系数为.【考点】二项式定理.6.若，则；【答案】2014【解析】首先令可得；然后令得，即，代入式子即可求得结果.【考点】二项式定理.7.若.则( )A．20B．19C．D．【答案】C【解析】设t=x+2，则x=t-2，则多项式等价为则为左边展开式中的系数．由，左边展开式中的系数为1+=1-21=.故选：C．【考点】二项式定理的应用．二项式定理系数的性质; 利用换元法将多项式转化思想的应用.8.被除所得的余数是_____________．【答案】1【解析】因为,所以被除所得的余数是1.【考点】二项式定理应用9.若，则的值为____．【答案】－1【解析】令，由原式可得，令，由原式可得，可得．【考点】特殊值法．10.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.【答案】（1）有理项为和；（2）系数绝对值最大的项为；（3）.【解析】（1）先利用二项展开式的通项公式得到第5项的系数与第3项的系数，依题意得到，求解可得，进而化简该二项展开式的通项公式得到，由为整数可得出的值，进而得到所有的有理项；（2）先求出二项展开式中的系列，并设第项系数绝对值最大，列出不等式组，从中求解即可得出的值，进而可写出展开式中系数绝对值最大的项；（3）先根据二项开展式的特征将变形为，逆用二项式定理即可得结果.（1）由，解得 2分因为通项： 3分当为整数，可取0，6 4分于是有理项为和 6分（2）设第项系数绝对值最大，则（8分）注：等号不写扣（1分）解得，于是只能为7 10分所以系数绝对值最大的项为 11分（3）13分16分【考点】二项式定理及其应用.11.若6的二项展开式中x3的系数为，则a＝________.【答案】2【解析】设第r＋1项的系数为，则Tr＋1＝C6r(x2)6－r r＝C6r x12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，∴C63＝，∴a3＝8，a＝2.12.设f(x)＝(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1，则f(x)＝________.【答案】32x5【解析】f(x)＝C50(2x＋1)5＋C51(2x＋1)4·(－1)＋C52(2x＋1)3·(－1)2＋C53(2x＋1)2·(－1)3＋C54(2x＋1)·(－1)4＋C55(－1)5＝(2x＋1－1)5＝32x5.13.若n的二项展开式中有且只有第五项的二项式系数最大，则Cn 0－Cn1＋Cn2－…＋(－1)n··Cnn＝________.【答案】【解析】由已知第5项的二项式系数最大，则n＝8，又Cn 0－Cn1＋Cn2－…＋(－1)n Cnn＝n＝8＝.14.的展开式中含的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答）。
二项式定理训练题（含答案）
⼆项式定理训练题（含答案）⼆项式定理训练题⼀、单选题（共4题；共8分）1.若⼆项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知⼆项式的展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200⼆、填空题（共13题；共15分）5.⼆项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的⼆项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（⽤数字作答）11.⼆项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的⼆项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知⼆项式的⼆项展开式中所有奇数项的⼆项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果⽤数字作答)答案解析部分⼀、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，⼆项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列⽅程，求得n的值，再利⽤⼆项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】⼆项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由⼆项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据⼆项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利⽤⼆项式定理中的通项公式求出结果.⼆、填空题5.【答案】60【解析】【解答】⼆项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该⼆项式展开式中常数项为，故答案为：60。
(完整版)二项式定理(习题含答案)
二项式定理一、求展开式中特定项1、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ）A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项【答案】C【解析】()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，30......2,1,0=r ，若要是幂指数是整数，所以=r 0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ． 3、若2531()x x +展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x =，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n =，解得5n =，所以2531()x x +展开式的通项为10515r r r T C x -+=，当2r =时，常数项为2510C =，4、二项式82x的展开式中的常数项为 ．【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T （r=0,1,,8）,显然当2=r 时，1123=T ，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(23)x x--的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r r x -，当第一项取2时，04C 1=，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x-时，14C (3)12x -=-，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛-⋅+ ⎝的展开式中常数项是 ．【答案】332=-332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r rr r r r r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．二、求特定项系数或系数和7、8()x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--，令2=r ，则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ．【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=，令2r =可得2615C =．则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是 ．【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅）（两部分组成，所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C ．10、已知dx x n 16e 1⎰=，那么nxx （3-展开式中含2x 项的系数为 ．【答案】135【解析】根据题意，66e111ln |6e n dx x x=⎰==，则n x x ）（3-中，由二项式定理的通项公式1r n r rr n T C a b -+=，可设含2x 项的项是616(3)r r r r T C x -+=-，可知2r =，所以系数为269135C ⨯=．11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．12、在二项式1)2nx -的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x -．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r rr nn T C x x C x -++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，rn C 取最大值，∴8n =，第4项为1193)333381()72C x x +-=-．13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，那么017a a a +++ 的值等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2【解析】令1x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70127(12)1a a a a -=++++=- ，令0x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70(10)1a -==，所以12711a a a ++++=- ，即1272a a a +++=- ，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0.16、在*3)()n n N ∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于．【答案】270-【解析】当1=x 时，()322--=n，解得5=n ，那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯，所以系数是-270.17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【答案】0.【解析】由0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos 0sin 0)2ππ=-----=，令1x =得：80128(121)a a a a -⨯=++++ ，即01281a a a a ++++= 再令0x =得：80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯ ，即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设（5x﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M﹣N=240，则展开式中x 的系数为 .【答案】150解：由于（5x﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4.（5x﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？54﹣r =1×6×25=150，19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．【答案】255【解析】178a a a +++= 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-，所以令1-=x ，得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-，所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、求参数问题20、若n的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ，第四项为常数，则必有025=-n ，即5=n ，所以正确选项为B.21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n （ ）A 、5 B 、 6 C 、8 D 、10【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1，令2=-k n ，得2-=n k ，所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n ，解得6=n ；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x -，∴当43r -=，即1r =时，133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=．23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（ ）A1 B ．53-或1 C ．2或53- D． 【答案】B．【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=，∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B ．24、设23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C． 【解析】令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( )【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。
高二数学二项式定理与性质试题答案及解析
高二数学二项式定理与性质试题答案及解析1.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.【答案】．【解析】解题思路：利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.规律总结：涉及求二项展开式的二项式系数或系数或特定项时，往往先写出二项式的通项公式，再进行求解.注意点：要正确区分二项式系数与系数：二项式系数仅是一个组合数，系数是未知数的系数.试题解析：，所以二项式系数为，系数为.【考点】二项式定理.2.（+）5展开式的常数项为80，则a的值为（）A．1B．2C．D．4【答案】B【解析】由二项式定理可知,常数项当即时的项,所以有,解得a=2,答案为B.【考点】二项式定理3.（1）已知，记的个位上的数字为，十位上的数字，求的值；（2）求和（结果不必用具体数字表示）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）首先要掌握排列数计算公式，但也不能死算，应为从开始，它的后两位数字均为零，因此只需研究前面的和的结果就可以解决问题；（2）反复、灵活运用组合数的两点性质：①，②即能解决问题.试题解析：（1）的后两位由确定，而，故个位数字为，十位数字为，所以. 6分（2）. 12分【考点】1.排列数计算公式；2.组合数的性质.4.的展开式中含的项的系数为________.【答案】.【解析】的展开式的通项为，令，得，所以含的项的系数为.【考点】二项式定理.5.的展开式的常数项是A．48B．-48C．112D．-112【答案】B【解析】由二项式定理得：乘以的常数项为：=-48，所以选B．【考点】二项式定理的应用．6.二项展开式中的常数项为( )A．112B．-112C．56D．-56【答案】A【解析】由二项展开式可知，常数项中即，可常数项为.故选A.【考点】二项式定理.7.设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则________．【答案】-2.【解析】利用二项式定理展开式的通项公式，求出的指数为1时的系数，即，即，二项式的展开式中项的系数为：，即.【考点】二项式定理的应用8.已知，则 .；【答案】-2【解析】令，则，令，则，则.考点:二项展开式.9.已知的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数的比是，(1)求n；(2)求展开式中常数项．【答案】(1)；(2)常数项为．【解析】对于中展开式的第项有，其中二项式系数指．(1)由题可得第五项的二项式系数为，第三项的二项式系数为，两二项式系数比为，列式解得；(2)常数项中不含，故的系数为，由，得知，故常数项为第三项．解：(1)由题意知，，化简，得．解得（舍），或．(2)设该展开式中第项中不含，则，依题意，有，．所以，展开式中第三项为不含的项，且．【考点】二项式定理．10.二项式的展开式的常数项为第（）项A．17B．18C．19D．20【答案】C【解析】的展开式中第项，令，∴常数项为第19项.【考点】二项展开式.11.已知，,,则的值为__ ___【答案】-1【解析】令得，令得，所以又，因此【考点】赋值法12.若展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含的项的系数为【答案】-405【解析】令x=1得展开式的各项系数之和为，∴，解得n=5∴=展开式的通项为，令5﹣2r=3得r=1所以该展开式中含x3的项的系数为.【考点】二项式定理.13.的展开式中项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是_______.【答案】64【解析】由题意知，∴；令，则展开式的所有项系数的和是.【考点】二项式定理.14.已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）问展开式中的有理项.分别为第几项？说明理由。
(完整版)二项式定理练习题(含答案)
二项式定理单选题（x+1）4的展开式中x的系数为A.2B. 4C. 6D.8答案B解析分析：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C4r x r；分析可得，r=1时，有x的项，将r=1代入可得答案．解答：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C4r x r；当r=1时，有T2=C41（ x）1=4x；故答案为：4．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简．2 （x+2）6的展开式中x3的系数是A.20B.40C.80D. 160答案D解析分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．解答：设含x3的为第r+1，则Tr+1=C6rx6-r•2r，令6-r=3，得r=3，故展开式中x3的系数为C63•23=160．故选D．点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具3在（1+数学公式）4的展开式中，x的系数为A.4B.6C.8D.10答案B解析分析：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r；分析可得，r=2时，有x的项，将x=2代入可得答案．解答：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r；当r=2时，有T3=C42（数学公式）2=6x；故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简．4（1+x）7的展开式中x2的系数是A.21B.28C.35D.42答案A解析分析：由题设，二项式（1+x）7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是数学公式，计算出答案即可得出正确选项解答：由题意，二项式（1+x）7的展开式中x2的系数是数学公式=21故选A点评：本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键4 填空题二项式（2x-1）9的展开式中的第八项为________．答案-144x2解析分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，令通项中的x取7，求出展开式中的第八项．解答：二项展开式的通项为Tr+1=（-1）r29-rC9rx9-r令r=7得T8=22C97x2=-144x2故答案为：-144x2点评：求二项展开式的特定项问题常用的工具是二项展开式的通项公式．5 （数学公式-数学公式）6的展开式中常数项是________．答案-160解析分析：据二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．解答：展开式的通项为Tr+1=（-2）rC6rx3-r令3-r=0得r=3所以展开式的常数项为（-2）3C63=-160故答案为：-160．点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．6 数学公式的展开式中x的系数为________．答案数学公式解析分析：由数学公式的展开式中的通项公式即可求得展开式中x的系数．解答：∵数学公式的展开式的通项公式Tr+1=数学公式数学公式，令r=1，得T2=数学公式•数学公式=数学公式x，∴数学公式的展开式中x的系数为数学公式．故答案为：数学公式．点评：本题考查二项式定理的应用，考查二项展开式中的通项公式的应用，属于中档题。
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.若则= .【答案】【解析】由于是展开式中第四项的系数，而.所以，=.【考点】二项式定理.2.的展开式中的系数是___________.【答案】56【解析】原二项式展开式的通项公式为令r＝2，得，系数为56.考点:二项式定理3.在的展开式中，含项的系数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以含项的系数为15.选C【考点】二项式定理.4.（5分）（2011•重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是．【答案】240【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数．解：展开式的通项为Tr+1=2r C6r x r令r=4得展开式中x4的系数是24C64=240故答案为：240点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5.在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A．－56B．－35C．35D．56【答案】A【解析】在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，即只有第5项的二项式系数最大即.所以二项式的展开式的通项为．.所以项的系数是.故选A【考点】1.二项式定理.2.归纳推理的数学思想.3.组合数的计算.6.的展开式的中间一项是__________．【答案】-20【解析】展开式的中间一项为.【考点】二项式定理.7.若＝x n＋…＋ax3＋bx2＋…＋1（n∈N*），且a∶b＝3∶1，那么n=_____．【答案】11【解析】，由已知有．8.若，则= .【答案】【解析】令，由通项公式可得，令，=（）==.【考点】1二项式定理；2赋值法。
9.二项式的展开式中含项的系数值为_______________.【答案】35【解析】.依题意可得.所以展开式中含项的系数值为35.【考点】1.二项式定理的展开式.2.项的系数的概念.10.若展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中含项的系数是（）A．192B．182C．-192D．-182【答案】C【解析】由题意可知，得，则二项展开式的通项公式为，令，得，含项的系数是.【考点】二项式定理.11.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.12.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.13.二项式的展开式中的常数项是 .【答案】15【解析】二项式的展开式中的常数项是.【考点】二项式定理.14.展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180B．90C．45D．360【答案】A【解析】因为的展开式中只有第六项二项式系数最大，所以，则由，令，解得，所以展开式中的常数项是，故正确答案选A.【考点】二项式理及展开式通项公式.15.的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）【答案】80【解析】∵，令，∴，∴.【考点】二项式定理.16.二项式展开式中的常数项是( )A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项【答案】C【解析】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【考点】二项式定理17.二项展开式中的常数项为( )A．56B．-56C．112D．-112【答案】C【解析】∵，∴令，即，∴常数项为，选C.【考点】二项式定理.18.若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0 C．－1D．－2【答案】C【解析】令x＝0，则a＝1；令x＝，则a＋＋＋…＋＝0.∴＋＋…＋＝－1.19. 5展开式中的常数项为()．A．80B．－80 C．40D．－40【答案】C【解析】Tr＋1＝C5r (x2)5－r r＝C5r(－2)r x10－5r，令10－5r＝0得r＝2.∴常数项为T3＝C52(－2)2＝40.20.n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()．A．360B．180C．90D．45【答案】B【解析】二项式系数为，只有第六项最大，即最大，则n＝10，所以Tr＋1＝ ()10－rr＝，由5－r＝0得r＝2，故常数项为T3＝22＝180.21.若展开式中存在常数项,则n的值可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】二项展开式的通向，当时，为常数项。
二项式定理练习题-含解析
二项式定理练习题一、单选题
A．252B．426
二、多选题
5．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（）
A ．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想
11C C C r r r n n n
-+=+B ．由“第n 行所有数之和为2n ”猜想：012C C C C 2
n n n n n n +++⋅⋅⋅+=C ．第20行中，第10个数最大
D ．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9。
高中数学 2二项式定理(带答案)
二项式定理一．二项式定理1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式2.各项的系数r n C 叫做二项式系数3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==L4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n二．二项式系数的性质性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -=性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++=性质3 ()na b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C +++=L （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）性质4 ()na b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即022132112.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=L L L L （令1,1a b ==-即得）性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n n C -12n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）【题型精讲】题型一、展开式中的特殊项1．21()n x x -的展开式中，常数项为15，则n = A ．3 B ．4 C ．5 D ．62.在()()1n x n N *+∈的二项展开式中，若只有5x 的系数最大，则n = A ．8 B. 9 C. 10 3．如果2323n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） Ａ．3Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10题型二、展开式的系数和1.已知()()()()100210001210012111.x a a x a x a x +=+-+-++-L 求：（1）0a ；（2）012100a a a a ++++L （3）13599a a a a ++++L ；2.（江西理4）已知33nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 3.（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++L ，则01211a a a a ++++L 的值为（ ）Ａ．2-Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．2 4.(安徽文12)已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++, ())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 .题型三、一项展开:拆成两项除以9的余数是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8题型四、多项展开：1.（|x |＋||1x －2）3展开式中的常数项是（ ） A ．12B ．－12C ．20D ．－20 2.求()()()2111n x x x ++++++L 展开式中3x 项的系数.二项式定理1、展开式中的特殊项1．解．21()n x x -的展开式中，常数项为15，则223331()()15n n n n C x x -=，所以n 可以被3整除，当n=3时，13315C =≠，当n=6时，2615C =，选D 。
5.2二项式系数的性质
展开式的通项为
4
1
3 3
r=4,可得
r=3,故C
a
=7,易得
a=
.
8
3
2
1
答案 2
4
Tr+1=C8 ar 8-3 ,令
8-
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1 10
(2)解① +
的展开式的第
2
1 4
1 4 12
1 4
105 10
4
=
C
·
·
x
·
=
x .
10
2
2
8
2
②设第 k+1 项为常数项,则
1
A.-1
B. 2
解析C5
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10,则实数 a 等于(
C.1
2r-5=3,得 r=4.
D.2
)
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5
3.设(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则
a1+a2+…+a6=
.
答案:120
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1
2
4
2
-10
又第 6 项为常数项,∴ 3 =0,∴n=10.
5
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r
二项式系数的性质 -A基础练(解析版)
6.3.2 二项式系数的性质 -A 基础练一、选择题1．（2021·浙江丽水高级中学高二月考）在()na b +的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n =（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】A【详解】由已知得15n n C C =，可知156n =+=，故选：A.2．（2020·全国高二专题练）已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【详解】二项式n 的各项系数的和为()134n n+=，二项式n的各项二项式系数的和为2n ，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64， 所以42642nn n ==，6n =.故选：C .3．（2021·黑龙江大庆市铁人中学高二月考）已知x ∈R，3nx ⎛⎫- ⎝的展开式中二项式系数的和为128，则展开式中31x的系数是（ ） A ．7 B ．7-C ．21D ．21-【答案】C【详解】由题意，二项式3nx ⎛⎫⎝的展开式中二项式系数的和为128，可得2128n =，解得7n =，所以二项式73x ⎛⎫- ⎝，则展开式的通项为215773177(3)((1)3rr r r r r rr T C x C x ---+==-⋅， 当6r =时，可得663377(1)321T C x x --=-⋅⋅=，所以展开式中31x 的系数是21.故选：C. 4．（2021·山东泰安一中高二月考）已知()102ax a ⎫<0⎪⎭的展开式中常数项为45，则展开式中系数最大的是（ ） A ．第2项 B ．第4项C ．第5项D ．第6项【答案】D【详解】102ax ⎫-⎪⎭展开式的通项()()10552211010rr rrr rr T C axCa x--+=-=-.令5502r -=，解得2r，所以展开式中的常数项为()22104545r C a a -==，又0a <，所以1a =-，所以102ax ⎫-⎪⎭即102x ⎫+⎪⎭，其展开式共有11项，且正中间一项的二项式系数最大，又102x ⎫+⎪⎭展开式中的二项式系数与对应项的系数相同，所以102x ⎫+⎪⎭展开式中第6项的系数最大，故选：D5．（多选题）（2021·全国高二单元测）对于()()N na b n *+∈展开式的二项式系数下列结论正确的是（ ）A ．m n m n n C C -=B ．11m m mn n n C C C -++=C ．当n 为偶数时，012...2n nn n n n C C C C ++++= D ．0121...2n n n n n n C C C C -++++=【答案】ABC【详解】对于A ，由组合数的运算直接可得m n mn n C C -=，故A 正确；对于B ，由杨辉三角直接可得11m m mn n n C C C -++=，故B 正确；对于C ，二项式展开式中，令1a b ==，不论n 为奇数还是偶数，都可得012...2n n n n n n C C C C ++++=，故C 正确；对于D ，由选项C 可知012...2n nn n n n C C C C ++++=，故D 错误.故选：ABC6．（多选题）（2021·湖北宜昌市高二月考）关于多项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式，下列结论正确的是（ ）A ．各项系数之和为1B ．二项式系数之和为62C ．存在常数项D ．4x 的系数为12【答案】ABC【详解】对于A ，令1x =，则可得各项系数之和为62111⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，二项式系数之和为0126666662C C C C ++++=，故B 正确；对于C ，62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()6626166212rrrr r rr r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令260r -=，解得3r =，即常数项为第四项，故C 正确；对于D ，()6261612rr rr r T C x --+=-⋅⋅，令264r -=，解得=5r ，则4x 的系数为()565561212C --⋅=-，故D 错误.故选：ABC.二、填空题7．（2021·山东济宁市高二月考）已知2()nx x-的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中3x 项的系数是______． 【答案】84【详解】依题意，2128n =，解得n =7，2()nx x-的展开式的通项为7721772()(2)(,7)r r r r r r r T C x C x r N r x--*+=⋅-=-∈≤，由72r 3-=得2r，所以所求展开式中3x 项的系数是22776(2)48421C ⋅-=⋅=⋅.8．（2021·重庆市第十一中学校高二月考）22nx ⎫⎪⎭的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，则展开式的常数项为______. 【答案】10【详解】因为22nx ⎫+⎪⎭的展开式中第三项和第四项的二项式系数同时取最大，所以23n n C C =，解得5n =，522x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为5255215522rrr r rrr T x x C C -+-⎛⎫ =⎪⎝⎭=，令 5502r -=，解得1r =， 所以展开式的常数项为125210T C==.9．（2021·广东江门市高二月考）已知展开式()()2*01221nn n x a a x a x a x n N -=++++∈中，所有项的二项式系数之和为64，则12n a a a +++=______________．（用数字作答）【答案】0【详解】由已知条件可知二项式系数和为264n =，可得6n =，令()()621f x x =-，则()()1212610110n a a a a a a f f +++=+++=-=-=.10．（2021·浙江宁波市镇海中学高二月考）若二项式()2,nm m n R x ⎫∈⎪⎭展开式的二项式系数之和为32，常数项为10，则m n +=________；二项式系数最大的项的系数是________． 【答案】7； 40或80【详解】因为二项式()2,nm m n R x ⎫∈⎪⎭展开式的二项式系数之和为32，所以232,5n n == ，()2,nm m n R x ⎫∈⎪⎭展开式的通项为55521552()rr r r r r r m T C m C xx --+=⋅⋅= ，令5-502r = ，得1r = ，故常数项为12510,2T mC m === ， 则257m n +=+= .二项式系数最大的项的系数为2235240T C == 或3345280T C ==.三、解答题11．（2021·湖北黄石二中高二月考）4在二项式12nx ⎛+ ⎝的展开式中，________．给出下列条件： ①若展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256； ③若展开式中第7项为常数项．试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题： （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式的常数项．（备注：如果多个条件分别解得，按第一个条件计分） 【答案】答案见解析【详解】解：选择①：012C C C 46n n n ++=，即(1)1462n n n -++=， 即2900n n +-=，即(10)(9)0n n +-=，解得9n =或10n =-（舍去） 选择②：024C C C 256n n n +++⋅⋅⋅=，即12256n -=，解得9n =．选择③：32()2211C C 22n rr r n r n r r r nr nnT xx x-----+⎛⎫== ⎪⎝⎭，则有3202r n -=，所以32n r =．因为展开式中第7项为常数项，即6r =，所以9n =． （1）展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项，5452359163C 216T x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭，453542269163C 28T x x x --⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）展开式通项为：9318(9)9221991C C 22rr r r r r r r T xx x-----+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，令31802r -=，∴6r =， ∴展开式中常数项为第7项，常数项为637921C 22T -=⨯=． 12．（2020·全国高二专题练）已知423401234(2)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x -=+⋅++⋅++⋅++⋅+，求： （1）1234a a a a +++；（2）13a a ； （3）024a a a ++；（4）01234||||||||||a a a a a ++++． 【详解】令1x =-则081a =①，令0x =则0123416a a a a a ++++=②， 令2x =-则01234256a a a a a +=-+-③，（1）②-①得：123465a a a a +++=-，（2）(②-③)2÷得：13120a a +=-，（3）(②+③)2÷得：024136a a a =++，(4)0123402413||||||||||()()256a a a a a a a a a a ++++=++-+=．。
高三数学二项式定理与性质试题
高三数学二项式定理与性质试题1.若则= .【答案】【解析】由于是展开式中第四项的系数，而.所以，=.【考点】二项式定理.2.在(＋)24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有()A．3项B．4项C．5项D．6项【答案】C【解析】Tr＋1＝ ()24－r()r＝x12－，故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．3.已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项．【答案】（1）见解析（2）T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1， ()1， ()2，且2·＝1＋ ()2，即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)．(1)若Tr＋1为常数项，当且仅当＝0，即3r＝16.∵r∈Z，∴这不可能．∴展开式中没有常数项．(2)若Tr＋1为有理项，当且仅当为整数，∵0≤r≤8，r∈Z，∴r＝0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们是T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.4.（5分）（2011•湖北）（x﹣）18的展开式中含x15的项的系数为．（结果用数值表示）【答案】17【解析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为15，求出展开式中含x15的项的系数．解：二项展开式的通项为令得r=2所以展开式中含x15的项的系数为故答案为17点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5.的展开式中的系数为 .【答案】.【解析】的展开式中第项为，令，得，因此的展开式中的系数为.【考点】二项式定理6.二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)【答案】10【解析】(x＋y)5展开式的通项是Tr＋1＝x5－r y r，令r＝3得T4＝x2y3＝10x2y3，∴二项式(x＋y)5展开式中含x2y3项的系数是10．7. (1)在(1＋x)n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，则n等于多少？(2)的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项．【答案】（1）n＝7（2）70x4【解析】(1)由已知得＝得n＝7.(2)由已知得＋＋＋…＝128，2n－1＝128，n＝8，而展开式中二项式系数最大项是T4＋1＝(x)4＝70x48.二项式的展开式中的常数项是 .【答案】15【解析】二项式的展开式中的常数项是.【考点】二项式定理.9.若展开式中的第5项为常数，则n等于__________.【答案】12【解析】根据二项式定理可得展开式第n+1项为由因为第五项为常数项,所以,故填12.【考点】二项式定理10.展开式中常数项为( )A．60B．-60C．250D．-250【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式为.令得.常数项为.【考点】1.二项式定理的展开式.2.通项公式.11.在的展开式中，的系数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为所以令得因此的系数为【考点】二项式展开式通项公式12.（其中a、b为有理数），则【答案】328【解析】，∴，.【考点】二项式定理.13.若展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中项的系数为_____________．【答案】－15．【解析】展开式的各项系数绝对值之和与展开式的各项系数和相等，令，得．设展开式中含的项为第项，则．令，得，含项的系数为．【考点】二项式定理的应用．14.在6的二项展开式中，常数项等于________．【答案】－160＝x6－k k＝(－2)k x6－2k，由6－2k＝0，得k＝3，所以【解析】展开式的通项公式为Tk＋1＝(－2)3＝－160，即常数项为－160T415.二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则其常数项是．【答案】70【解析】因为二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以，由的展开式中，常数项为，令，，所以，常数项是，答案为.【考点】二项式定理，二项式系数的性质.16.若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】只有第六项的二项式系数最大，说明是偶数，且，于是其展开式通项为，常数项为，即，所以常数项为．选A．【考点】二项展开式中二项式系数与通项公式．17.在的展开式中，若第项的系数为，则 .【解析】由可得.【考点】二项式定理展开式18.设函数,．（1）求的展开式中系数最大的项；（2）若（为虚数单位）,求．【答案】（1）第4项，；（2）32．【解析】（1）在二项式展开式中系数最大的项就是二项式系数最大的项，其二项式系数最大的项是：当为偶数时，第项，当为奇数时，有两项第和项；（2）先由求出，直接取模运算，化为实数计算可求出，然后把展开，正好是虚部，再根据复数相等的定义求得结论．试题解析：（1）展开式中系数最大的项是第4项＝；5′（2）由已知，，两边取模，得，所以.所以=而所以10′【考点】二项展开式，复数的相等．19.在的展开式中，的系数等于_________________.【答案】【解析】的通项公式为，则展开式中项为，所以的系数为.【考点】二项式定理.20.若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为【答案】【解析】令得，展开式各项系数的和为，所以中常数项为.【考点】二项式定理.21.若的展开式中第四项为常数项，则= .【答案】5【解析】先将题中二项式进行化简得，，由题意的第四项为常数项，则，解得.【考点】1.二项式定理的应用；2.二项式的通项、系数、次数.22.设函数 , 则当x>0时, 表达式的展开式中常数项为（）A．－20B．20C．－15D．15【解析】，所以. 准确运用二项式定理是解题关键.【考点】本题考查分段函数和二项式定理.属于中档题.23.二项式的常数项为 .(用数字作答)【答案】-10【解析】展开式的通项为，令所以常数项为【考点】二项式定理点评：二项式的展开式通项为，利用通项可求得展开式的任意一项24.在6的二项展开式中，常数项等于 _________ .【答案】【解析】展开式通项为,令6-2r=0,所以r=3,所以常数项为.【考点】本小题考查了二项式定理及展开式通项.点评：掌握二项展开式通项为是解决此类问题的关键.25.已知展开式中各项系数和为3,则的展开式中的常数项为________【答案】【解析】令x=1得展开式中各项系数和为,因为的展开式的通项为,令6-2r=0,r=3可得展开式的常数项为.26.（其中且）的展开式中，与的系数相等，则．【答案】7【解析】的系数为，的系数为，=，即化简得，27.设的展开式中的各项系数之和为，而它的二项式系数之和为，则的值为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】解：因为设的展开式中的各项系数之和为，而它的二项式系数之和为，则，选A28.已知的展开式中没有常数项,且,则的值共（）A．1个B．2个C．4个D．0个【答案】D【解析】因为有通项为,只要,则展开式中就没有常数项，报以这样的n值不存在.29.设，则．【答案】【解析】解：因为表示的为x的4次幂的系数，那么根据等式左边表示的为等比数列的求和，得到和式，然后利用对x的幂指数赋值，得到结论为120.30.若二项式的展开式中的常数项为,则= .【答案】【解析】,令3-r=0，所以r=3时，为常数项.所以,所以31.二项式的展开式中常数项是（）A．-28B．-7C．7D．28【答案】C【解析】展开式通项为令。
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析
高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于()A．180B．90C．－5D．5【答案】A【解析】(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，其通项公式为Tr＋1＝210－r·(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．∴a8＝22(－1)8＝180.故选A.2. (1＋x)10(1＋)10展开式中的常数项为()A．1B．()2C．D．【答案】D【解析】因为(1＋x)10(1＋)10＝[(1＋x)(1＋)]10＝(2＋x＋)10＝(＋)20(x>0)，所以Tr＋1＝()20－r·()r＝x10－r，由10－r＝0，得r＝10，故常数项为T11＝，选D.3.已知(－)n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14∶3，求展开式中的常数项．【答案】180【解析】依题意∶＝14∶3，即3＝14，∴＝，∴n＝10.设第r＋1项为常数项，又Tr＋1＝ ()10－r(－)r＝(－2)r令＝0，得r＝2.∴T3＝ (－2)2＝180，即常数项为180.4.用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意所有的篮球都取出或都不取出.所以要有或不含的式子.所以符合.故选A.【考点】1.新定义.2.二项式展开式.5.的展开式中的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为；【答案】=，【解析】的展开式的通项公式为 Tr+1令3r-3=0，r=1，故展开式的常数项为 a=3．则直线y=ax即 y=3x，由求得直线y=ax与曲线y=x2围成交点坐标为（0，0）、（3，9），故直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为=，故选C．【考点】二项式定理；定积分在求面积中的应用．6.设，使的展开式中含有常数项的最小的为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由可得.所以可化为，展开式的通项公式可得.依题意可得到.因为.所以当时n的最小值为5.故选B.【考点】1.定积分的概念.2.二项展开式的公式.3.整除问题.7.设函数则当x>0时,表达式的展开式中常数项为( )A．－20B．20C．－15D．15【答案】A【解析】当x>0时，f，所以，其展开式的通项为,所以由题意知，,即,所以展开式中常数项为．8. 1．若，则的值为（）A．1B．－1C．0D．2【答案】A【解析】∵令,则令,则∴．9.已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________．【答案】－1【解析】已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为＋a·＝5，解得a＝－110.设，则的值是．【答案】40【解析】由题意【考点】二项式定理。
二项式系数性质练习题答案
例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nn n n n n C C C C C -=-+-++-，即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213nn n n C C C C ++=++，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++.解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++1=-，当0x=时，01a =，∴127112a a a +++=--=-， （2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（=xx x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7C第二课时例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x(++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅，∴此展开式中x 的系数为240例5.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4nC 14C 33:14C :C =⇒=∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r10r101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180例6． 设()()()()231111nx x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x ++++，当012254n a a a a ++++=时，求n 的值解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++2(21)25421n -==-，∴2128,7nn ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例7．求证：1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅．证（法一）倒序相加：设S =12323nnn n n C C C nC ++++ ① 又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++②∵rn rnn C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==，由①+②得：()0122nn n n n S n C C C C =++++，∴11222n n Sn n -=⋅⋅=⋅，即1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅．（法二）：左边各组合数的通项为r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，∴ ()1230121112123n n nn n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++12n n -=⋅． 例8．在10)32(y x -的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rn C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*),各项系数和即为1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a +++,偶数项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++ .由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为1010101100102=+++C C C .②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C ,偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C .④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- ,令1==y x ,得到110210=++++a a a a …(1),令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a (2)(1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a ,∴奇数项的系数和为25110+;(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a ,∴偶数项的系数和为25110-.⑤x 的奇次项系数和为251109531-=++++a a a a ;x 的偶次项系数和为2511010420+=++++a a a a .点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.第三课时例9．已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：由题意992222=-n n,解得5=n .①101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大, 即8064)1()2(55510156-=-⋅⋅==+xx C T T .②设第1+r 项的系数的绝对值最大, 则r r rr r r r r x C xx C T 2101010101012)1()1()2(---+⋅⋅⋅-=-⋅⋅=∴⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-110101101022r r r r C C C C ,即⎩⎨⎧-≥+≥-r r r r 10)1(2211∴31138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项例10．已知：223(3)n xx +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2 解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2nn +=，又展开式中二项式系数和为2n， ∴222992nn -=，5n =．（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335()(3)90T C x x x==，22232233345()(3)270T C x x x==，（2）设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155()(3)3r r rrrr r T C x x C x+-+==，∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =，即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x==．例11．已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n，求证：当n 为偶数时，14--n S n能被64分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64∵1122122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+3n =，∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n2381k k =--(81)81k k =+--0111888181k k k k k k C C C k --=++++-- 011228(88)8kk k k C C C -=+++ （*） ，当k =1时，410n S n --=显然能被64整除，当2k≥时，（*）式能被64整除， 所以，当n 为偶数时，14--n S n能被64。
6.3.2二项式系数的性质 (解析版)
第六章 6.3.2二项式系数的性质一．选择题1．在(a ＋b )n 的二项展开式中，与第k 项二项式系数相同的项是( ) A ．第(n －k )项 B ．第(n －k －1)项 C ．第(n －k ＋1)项 D ．第(n －k ＋2)项【答案】D 【解析】第k 项的二项式系数是C k －1n ，由于C k －1n ＝C n －k ＋1n，第(n －k ＋2)项的二项式系数为C n －k ＋1n.故选D ．2．设二项式⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是( )A ．第9项B ．第8项C ．第9项和第10项D ．第8项和第9项【答案】A 【解析】因为展开式的第5项为T 5＝C 4n x n －43－4，所以令n －43－4＝0，解得n ＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项．3．已知(ax ＋1)n 的展开式中，二项式系数的和为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7【答案】C 【解析】由2n ＝64，得n ＝6.4．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12【答案】B 【解析】x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23·2＝6. 5．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．2×39【答案】A 【解析】令x ＝－1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－2.6．(2023年汕尾期末)已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n 的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则⎝⎛⎭⎫x －2x 2n 的展开式中的常数项为( )A ．－240B ．240C ．－60D ．60【答案】D 【解析】由已知可得，第2项和第6项的二项式系数相等，则C 1n ＝C 5n，解得n ＝6，则⎝⎛⎭⎫x －2x 26的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝C r 6·(－2)r x 6－3r ，令6－3r ＝0，解得r ＝2，则展开式的常数项为C 26·(－2)2＝15×4＝60.故选D ． 7．(多选)(2023年龙岩期末)关于⎝⎛⎭⎫1x －2x 5的展开式，下列结论正确的是( ) A ．各项二项式系数之和为32 B ．各项系数之和为－1 C ．存在常数项 D ．x 3项的系数为80【答案】ABD 【解析】⎝⎛⎭⎫1x －2x 5的展开式的所有二项式系数和为25＝32，故A 正确；取x ＝1，可得所有项的系数和为－1，故B 正确；展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎫1x 5－r·(－2x )r ＝(－2)r ·C r 5·x 2r －5，由2r －5＝0，得r ＝52(舍去)，故不存在常数项，C 错误；由2r －5＝3，得r ＝4，∴含x 3项的系数为(－2)4C 45＝80，故D 正确．故选ABD ．8．(多选)(2023年亳州期末)已知(1－2x )2 021＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 021x 2 021，下列命题中，正确的是( )A ．展开式中所有项的二项式系数的和为22 021B ．展开式中所有奇次项系数的和为－32 021＋12C ．展开式中所有偶次项系数的和为1－32 0212D ．a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 02122 021＝－1【答案】ABD 【解析】对于A ，由二项式知，C 02 021＋C 12 021＋…＋C 2 0212 021＝(1＋1)2 021＝22 021，正确；当x ＝1时，有a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 021＝－1，当x ＝－1时，有a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 020－a 2 021＝32 021，对于B ，由上可得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 021＝－1＋32 0212，正确；对于C ，由上可得a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2 020＝32 021－12，错误；对于D ，由二项式通项知，T r ＋1＝C r 2 021·(－2x )r ＝(－2)r C r 2 021x r ，则a 1＝(－2)·C 12 021，a 2＝(－2)2·C 22 021，…，a 2 021＝(－2)2 021·C 2 0212 021，。
2022-2023学年人教A版选择性必修第三册6.3.2二项式系数的性质作业
课时作业(七) 二项式系数的性质一、选择题1．(2021·福建福清高二期中)若(x ＋1x )n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120答案：B 解析：根据题意可得2n ＝64，解得n ＝6，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 6展开式的通项为C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以常数项为C 36x6－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＝C 36＝6×5×43×2×1＝20. 故选B.2．(2021·天津高二期末)已知⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式共有6项，则展开式中各项二项式系数的和为( )A ．25B ．26C ．35D ．36答案：A 解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x n 的展开式共有6项，所以n ＝5，所以展开式中各项二项式系数的和为25.故选A.3．(2020·江苏扬州高二期中)在(x ＋y )n 的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )A ．第6项B ．第5项C ．第5,6项D ．第6,7项答案：A 解析：因为(x ＋y )n 的展开式中每一项的系数和该项的二项式系数相等，且第4项与第8项的系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，所以n ＝10.所以展开式里系数最大的项是第6项． 故选A.4．(2021·湖北孝感高二期末)(多选题)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的展开式中二项式系数之和为1 024，则下列说法正确的( )A ．展开式中奇数项的二项式系数和为256B ．展开式的各项系数之和为1 024C ．展开式中常数项为45D ．展开式中含x 15项的系数为45答案：BCD 解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的展开式中二项式系数之和为1 024，所以2n ＝1 024，得n ＝10， 所以二项式展开式的通项公式为T r ＋1＝C r10(x 2)10－r ⎝⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x 20－ 52r ， 对于A ，展开式中奇数项的二项式系数和为12×1 024＝512，所以A 错误．对于B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n 的展开式中二项式系数之和与展开式的各项系数之和相等，所以展开式的各项系数之和为1 024，所以B 正确．对于C ，令20－52r ＝0，解得r ＝8，所以展开式中常数项为C 810＝45，所以C 正确．对于D，令20－52r＝15，解得r＝2，所以展开式中含x15项的系数为C210＝45，所以D正确．故选BCD.5．(2021·江苏苏州高二期中)(多选题)设(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，则下列结论正确的是()A．a2＋a5＝588B．a1＋a2＋…＋a7＝1C．a1＋a3＋a5＋a7＝1＋37 2D．|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝37－1答案：ACD解析：因为(2x－1)7展开式的第r＋1项为T r＋1＝C r7·(2x)7－r·(－1)r＝C r7·(－1)r·27－r·x7－r，又(2x－1)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7，所以a2＝C57·(－1)5·27－5＝－84，a5＝C27·(－1)2·27－2＝672，则a2＋a5＝588，故A正确．令x＝1，则(2－1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7＝1，令x＝0，则(0－1)7＝a0＝－1；令x＝－1，则(－2－1)7＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝－37，故a1＋a2＋…＋a7＝1－a0＝2，故B错．a1＋a3＋a5＋a7＝(a0＋a1＋a2＋…＋a6＋a7)－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7)2＝1＋372，故C正确．|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝－(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7)＋a 0＝37－1，故D 正确．故选ACD.6. (2021·重庆八中高三模拟)(多选题)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为m ，圆柱的表面积与球的表面积之比为n ，若f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫mn x 3－1x 8，则( )A ．f (x )的展开式中的常数项是56B ．f (x )的展开式中的各项系数之和为0C ．f (x )的展开式中的二项式系数最大值是70D ．f (i)＝－16，其中i 为虚数单位答案：BC 解析：设内切球的半径为r ，则圆柱的高为2r ， ∴m ＝πr 2·2r 43πr 3＝32，n ＝2πr 2＋2πr ·2r 4πr 2＝32， 则mn ＝1，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－1x 8.对于A ，f (x )展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8x24－3r ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r C r 8x 24－4r ，令24－4r ＝0，解得r ＝6，∴f (x )展开式的常数项为(－1)6C 68＝28，A 错误；对于B ，f (1)＝0，即f (x )展开式的各项系数之和为0，B 正确； 对于C ，f (x )展开式中二项式系数最大值为C 48＝70，C 正确；对于D ，f (i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i 3－1i 8＝(－i ＋i)8＝0，D 错误．故选BC. 二、填空题7．(2021·宁夏青铜峡检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为________．答案：164 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n 的展开式中第3项的二项式系数为C 2n ，∴C 2n ＝15，解得n ＝6，∴⎝⎛⎭⎪⎫x －12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －126， 令x ＝1，得到展开式中所有项系数之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝164.故答案为164.8．(2021·河南新乡高二期末)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n (n ∈N *)的展开式中第5项与第6项的系数相同，则其常数项是________．答案：84 解析：由已知条件可得C 4n ＝C 5n ，所以n ＝4＋5＝9，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 9的展开式通项为T r ＋1＝C r 9·x 9－r ·(x － 12)r ＝C r 9·x 9－ 3r2，令9－3r2＝0， 解得r ＝6，因此展开式中的常数项为T 7＝C 69x 0＝84.故答案为84.9．(2021·黑龙江大庆实验中学)若(3x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝________.(用具体数字作答)答案：1 024 解析：∵(3x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 10x 10，∴可令x ＝1，有(3－1)10＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10， ∴a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝210＝1 024. 故答案为1 024. 三、解答题10．(2021·河北石家庄)已知(1－x )6(1＋x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12.(1)求a 21＋a 23＋…＋a 211的值；(2)求a 2＋a 4＋…＋a 12的值； (3)求a 4＋a 6的值．解：(1)因为(1－x )6(1＋x )6＝(1－x 2)6， 所以a 1＝a 3＝…＝a 11＝0，所以a 21＋a 23＋…＋a 211＝0(2)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝0；令x＝0，得a0＝1.又a1＝a3＝…＝a11＝0，所以a2＋a4＋…＋a12＝－1.(3)由题可知，(1－x2)6＝a0＋a2x2＋…＋a12x12，a4＝C26＝15，a6＝－C36＝－20，所以a4＋a6＝－5.。
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例1．在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式01()()n n nr n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中，令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n nn n n n n C C C C C -=-+-++-，即02130()()n n n n C C C C =++-++，∴0213nn n n C C C C ++=++，即在()na b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知021312n n n n n C C C C -++=++=.例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++.解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为0127a a a a ++++∴0127a a a a ++++1=-，当0x=时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，（2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ①令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7132+-.（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，∴ 70246132a a a a -++++=，∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3的系数解：)x 1(1])x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(10102+-+-+=+++++）（=xx x )1()1(11+-+，∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7C第二课时例4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求x 的系数解：∵5552)2x ()1x ()2x 3x(++=++∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 15=，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x 的项为x 80x 2C 415=∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+⋅，∴此展开式中x 的系数为240例5.已知n2)x 2x (-的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项解：依题意2n 4n 2n 4nC 14C 33:14C :C =⇒=∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!⇒n=10设第r+1项为常数项，又 2r 510r 10r r 2r10r101r x C )2()x2()x (C T --+-=-=令2r 02r510=⇒=-， .180)2(C T 221012=-=∴+此所求常数项为180例6． 设()()()()231111nx x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x ++++，当012254n a a a a ++++=时，求n 的值解：令1x =得：230122222nn a a a a ++++=++++2(21)25421n -==-，∴2128,7nn ==，点评：对于101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例7．求证：1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅．证（法一）倒序相加：设S =12323nnn n n C C C nC ++++ ① 又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+++②∵rn r nn C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==，由①+②得：()0122nn n n n S n C C C C =++++，∴11222n n Sn n -=⋅⋅=⋅，即1231232nn nn n n C C C nC n -++++=⋅．（法二）：左边各组合数的通项为r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---，∴ ()1230121112123n n nn n n n n n n C C C nC n C C C C -----++++=++++12n n -=⋅． 例8．在10)32(y x -的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和;③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.分析:因为二项式系数特指组合数rn C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关.解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*),各项系数和即为1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a +++,偶数项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++ .由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为1010101100102=+++C C C .②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C ,偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C .④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- ,令1==y x ,得到110210=++++a a a a …(1),令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a (2)(1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a ,∴奇数项的系数和为25110+;(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a ,∴偶数项的系数和为25110-.⑤x 的奇次项系数和为251109531-=++++a a a a ;x 的偶次项系数和为2511010420+=++++a a a a .点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.第三课时例9．已知n x x 223)(+的展开式的系数和比n x )13(-的展开式的系数和大992,求n xx 2)12(-的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.解：由题意992222=-n n,解得5=n .①101(2)x x-的展开式中第6项的二项式系数最大, 即8064)1()2(55510156-=-⋅⋅==+xx C T T .②设第1+r 项的系数的绝对值最大, 则r r rr r r r r x C xx C T 2101010101012)1()1()2(---+⋅⋅⋅-=-⋅⋅=∴⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅--+-+---110110101011011010102222r r r r r r r r C C C C ,得⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-110101101022r r r r C C C C ,即⎩⎨⎧-≥+≥-r r r r 10)1(2211∴31138≤≤r ,∴3=r ,故系数的绝对值最大的是第4项例10．已知：223(3)n xx +的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2 解：令1x =，则展开式中各项系数和为2(13)2nn +=，又展开式中二项式系数和为2n， ∴222992nn -=，5n =．（1）∵5n =，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， ∴223226335()(3)90T C x x x==，22232233345()(3)270T C x x x==，（2）设展开式中第1r +项系数最大，则21045233155()(3)3r r rrrr r T C x x C x+-+==，∴1155115533792233r r r r r r r r C C r C C --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩，∴4r =， 即展开式中第5项系数最大，2264243355()(3)405T C x x x==．例11．已知)(1222212211+---∈+⋅++++=N n C C C S n n n n n n n n，求证：当n 为偶数时，14--n S n能被64分析：由二项式定理的逆用化简n S ，再把14--n S n 变形，化为含有因数64∵1122122221(21)n n n n n n n n n S C C C ---=++++⋅+=+3n =，∴14--n S n 341n n =--，∵n 为偶数，∴设2n k =（*k N ∈）， ∴14--n S n2381k k =--(81)81k k =+--0111888181k k k k k k C C C k --=++++-- 011228(88)8kk k k C C C -=+++ （*） ，当k =1时，410n S n --=显然能被64整除，当2k≥时，（*）式能被64整除， 所以，当n 为偶数时，14--n S n能被64。