(完整)1.1.1正弦定理(用)

（1）在△ABC中，已知 A=30°，B=120°，b=12。
解三角形.
C 30o, a c 4 3
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
例2：在ABC中，a= 3,b 2, B 450,求A,C,c
解：
sin A a sin B
3 2 2
3
b
2
2
Q a b, A B,且00 A 1800 A 600 或A 1200
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
2sin A : sin B : sin C a : b : c
(3) a b c sin A sin B sin C

abc
k(k 0)
sin A sin B sinC
或a k sin A，b k sin B，c k sinC （k 0）.
(1)当A 600,C 1800 ( A B) 75（0 三角形中大边对大角）
c bsin C 2 6 2 6 2
sin B 2 4
2
2 (2)当A 1200,C 1800 ( A B) 150
c bsin C 2 6 2 6 2

k,由
正
弦
定理，
得
a ksinA,b ksinB,c ksinC
代入已知条件，得：
sinA

sinB
sinC
cosA cosB cosC
即 tanA tanB tanC
又A,B,C (0,π),A B C, 从而ΔABC为正三角形。
3．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状．
1.1.1正弦定理
一、情景导入：
问题1：如图，河流两岸有A、B两村庄，有人说 利用测角器与直尺，不过河也可以得到A、B两 地的距离(假设你现在的位置是A点)，请同学们 讨论设计一个方案解决这个问题。
B
1、测出角A、C的大小
2、量出AC的长度
C
A
问题2：此类问题可以归纳为在三角形中，已
知某些边与角，求其他的边与角的问题，此类 问题在数学里称为__解__三__角__形___问题.
数学建构 三角形面积公式：
A
SΔABC

1 2
absinC
1 2
bcsinA

1 2
acsinB
c ha
b
证明：∵
SΔABC

1 2
aha
而 ha AD c sinB bsinC
B
Da
C
∴
SΔ
ABC

1 2
a
csi
nB

1 2
ab
si
nC
同理
S
ΔAB
C

1 2
bcsinA
∴
S
Δ
AB
C
c asin C 2 6 2 3 1 sin A 2 4 2
思考
利用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？
1.已知两角和任一边，求其它两边和 一角；
2.已知两边及其中一边对角，求另一 边的对角及其他的边和角。
判断满足下列的三角形的个数: 两解 (1)b=11, a=20, B=30o 一解 (2)c=54, b=39, C=120o 两解
1．已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝60°，那么角 A
等于( )
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°
3
解析：
由正弦定理得 sin A＝asibn B＝
2·2 3
＝
22，
又∵a<b，∴A<B.
∴A＝45°，故选 C.
❖ 答案： C
判断满足下列的三角形的个数: 两解 (1)b=11, a=20, B=30o 一解 (2)c=54, b=39, C=120o 两解

1 2
a
b
si
nC

1 2
b
c
si
nA

1 2
a
c
si
nB
互动探究3 若本例中的条件“sin A＝2sin B cos C” 改为“sin2A＝2sin B sin C”，试判断△ABC的形 状． 解：由sin2A＝sin2B＋sin2C， 得a2＝b2＋c2.∴A＝90°. ∵sin2A＝2sin B sin C， ∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc. ∴b＝c， ∴△ABC为等腰直角三角形．
【名师点评】 判断三角形的形状，主要看其是 否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角 三角形或锐角三角形等，要特别注意“等腰直角 三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区 别．
作业
1、在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C， 且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
例3 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
△ABC的形状． 【解】 在△ABC 中， 根据正弦定理：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. ∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2，
(3)b=26, c=15, C=30o 无解
(4)a=2,b=6,A=30o
已知三角形两边和其中一边对角时，解的情况讨论：
已知a,b和∠A ⑴若A为锐角时:
a b sin A 无 解 a b sin A 一 解 b sin A a b 两 解 a b 一 解
❖ 答案： A
3．在△ABC 中，BC＝ 3，A＝45°，B＝60°，则 AC＝ ________.
解析： 由正弦定理得：sAinCB＝sBinCA ∴AC＝BCsisninAB＝ 3s×ins4in5°60°＝322
答案：
32 2
4．已知：△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，求 A、 C 及 c.
由正弦定理 a c
a
sin A sin C
Ac
B
得a

c sin A sin C
10 sin 45
= sin30
10
2
由正弦定理 b c sin B sin C
得
b=
c sin B
sin C =
10 sin 105 5( sin 30
6
2)
练习：已知两角和任一边，求其他两边和一角.
3、在△ABC 中，c＝ 6，C＝π3，a＝2， 求 A、B、b.
4、在△ABC 中，已知 a＝5 2，c＝10，A＝30°， 求 B、C 及 b.
1.1.1正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即
abc sin A sin B sin C
变式:
1 a b ; b c ; c a
C
ba
A H
a<bsinA 无解
C
b a
A B
a=bsinA 一解
C
b
aa
A
B1 H B2
bsinA<a<b 两解
C ba
A
H
B
a>=b 一解
解三角形时解的情况:
⑵若A为直角或钝角时:
a a

b 无 解 b 一 解
Ca
b
A
Ca b
A
2正弦定理用途：
➢解斜三角形 1.已知两角和任一边，求其它两边和 一角；
问题3：在Rt三角形中，角C=90o，如何定义
sinA, sinB?
A
sin A a , sin B b
c
c
c
a

b
c
b
c
sinA sinB sinC
C
aB
问题 4 【猜想与推广】
那么对于一般的三角形,以上关系式是否 仍然成立？
可分为直角三角形，锐角三角形， 钝角三角形三种情况分析.
解析： ∵b＝acos C， 由正弦定理得：sin B＝sin A·sin C. ∵B＝π－(A＋C)， ∴sin(A＋C)＝sin A·cos C. 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， ∴cos Asin C＝0，
∵A、C∈(0，π)， ∴cos A＝0，∴A＝2π， ∴△ABC 为直角三角形．
2、在ABC中，若 a2 sin Acos B ，判断ABC的形状。 b2 cos Asin B
3.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，
cos(A C ) cos B
3 2
,
b2

ac ，求
B
(3)b=26, c=15, C=30o 无解
(4)a=2,b=6,A=30o
2．在△ABC 中，a＝5，b＝3，C＝120°，则 sin A∶sin B
的值是( )
5
3
A.3
B.5
3
5
C.7
D.7
解析： 在△ABC 中，C＝120°，故 A，B 都是锐角．据
正弦定理ssiinn AB＝ab＝53，故选 A.
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即
a

b

c
=2R(R为 ABC外接圆半径)
sin A sin B sin C
定理的应用 （1）已知两角和任一边，
求其他两边和一角
例 1：在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。，
解三角形.（即求出其它边和角）
C
解：根据三角形内角和定理，B 180 (A C) 105 b
解析： 根据正弦定理，得
sin A＝asibn B＝
3sin 45°＝ 2
23，
∵b<a，∴B<A，∴A＝60°或 120°.
①当 A＝60°时，C＝180°－(60°＋45°)＝75°，
∴c＝bssiinnBC＝
s2isnin457°5°＝2sin(45°＋30°)＝
6＋ 2
2 .
②当 A＝120°时，C＝180°－(A＋B)＝15°，
2.已知两边及其中一边对角，求另一 边的对角及其他的边和角。
➢实现三角形当中边角之间的转化
a : b : c sin A: sin B : sinC
作业、 1、在△ABC中，已知 A=75°，B= 45°，c= 3 2 求C，a ， b.
2、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°， 求A、B上的高是
CD,根据三角函数的定义,
对 斜

sin 对=斜sinθ(θ为锐角)
CD=asinB=bsinA,则
ab sin A sin B
C
同理，做BC边上的高可得
b
Ea
AE=bsinC=csinB 即： c b
sin C sin B
A
D
B
c
所以，
abc sin A sin B sin C
当△ABC是钝角三角形时,设边AB上的高是
CD,根据三角函数的定义,
CD=asinB=bsinA,则
a b sinA sinB
Ａ
同理，做BC边上的高可得
c
Ｄ
AE=bsin∠ACE=bsinC=csinB
b
即：
c b
sin C sin B
E Ｃa Ｂ
所以，
abc sin A sin B sin C
即 a2＝b2＋c2.∴A＝90°，∴B＋C＝90°. 由 sin A＝2sin Bcos C，得 sin 90°＝2sin Bcos(90° －B)， ∴sin2B＝12. ∵B 是锐角，
∴sin B＝ 22， ∴B＝45°，C＝45°.
∴△ABC 是等腰直角三角形．
RTX讨论六：
已知两边及夹角，怎样求 三角形面积？
sin B 2 4
2
2
(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.
练习：在ABC中，a=2,b 2, A 450,求B,C,c
解：由正弦定理得sin B bsin A a
Q a b, A B,且00 B 1800
2
2 2
1
2
2
B 300,C 105o （三角形中大边对大角）
∴c＝bssiinnBC＝
s2isnin451°5°＝2sin(45°－30°)＝
6－ 2
2，
∴A＝60°，C＝75°，c＝
6＋ 2
2，
或 A＝120°，C＝15°，c＝
6－ 2
2 .
例
4.在
ΔABC中已,
知a cosA

b cosB

c, cosC
试 判 断 ΔA B C 的 形 状.
解：令
a sinA