2018-2019学年高中数学苏教版必修5学业分层测评：第一章 解三角形 1

学业分层测评(一)
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin
B 的值是
________．
【解析】　由正弦定理可知，sin A ∶sin B ＝a ∶b ＝5∶3.【答案】　5∶3
2．在△ABC 中，若A ＝75°，B ＝60°，c ＝2，则b ＝________.【解析】　在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝45°，
∴b ＝＝＝.c sin B
sin C 2sin 60°
sin 45°6【答案】6
3．在△ABC 中，若＝，则C 的值为________．　sin A
a cos C c 【解析】　由正弦定理可知，＝，sin A
a sin C
c 又＝，sin A
a cos C
c ∴＝，sin C
c cos C
c 即tan C ＝1,0°<C <180°，∴C ＝45°.
【答案】　45°
(或
π
4)
4．(2015·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b ＝，∠A ＝，则62π
3∠B ＝________.
【解析】　在△ABC 中，根据正弦定理＝，有
＝，可得a
sin A b
sin B 3
sin
2π
36
sin B sin B ＝.因为∠A 为钝角，所以∠B ＝.
2
2π
4【答案】　π
4
5．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝4，A ＝60°，则c ＝________.
32【导学号：91730002】
【解析】　由＝，得sin B ＝sin A ＝×＝.a
sin A b
sin B b
a 42
433
22
2∵b <a ，
∴B ＝45°，C ＝180°－A －B ＝75°，
∴c ＝a ＝4×sin C
sin A 3sin 75°
sin 60°＝2(＋)．26【答案】　2(＋)
266．在△ABC 中，已知a ＝18，b ＝16，A ＝150°，则满足条件的三角形有________个．
【解析】　A ＝150°>90°，∵a >b ，∴满足条件的三角形有1个．【答案】　1
7．在△ABC 中，B ＝45°，C ＝60°，c ＝1，则最短边的长为________．【解析】　易得A ＝75°，∴B 为最小角，即b 为最短边，
∴由＝，得b ＝.
c
sin C b
sin B 6
3【答案】　6
3
8．(2016·苏州高二检测)在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则
a ∶
b ∶
c ＝________.
【解析】　由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，可知A ＝，B ＝，C ＝.
π
6π
3π
2∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝∶∶11
23
2＝1∶∶2.
3【答案】　1∶23二、解答题
9．在△ABC 中，若a ＝2，A ＝30°，讨论当b 为何值时(或在什么范围内)，3三角形有一解，有两解或无解？
【解】　当a <b sin 30°，即b >4时， 无解；
3当a ≥b 或a ＝b sin A ，即b ≤2或b ＝4时，有一解；33当b sin A <a <b ，即2<b <4时，有两解．3310．在△ABC 中，b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求角A .
【解】　根据正弦定理＝，把b ＝2a 代入得＝，a
sin A b
sin B a
sin A 2a
sin B ∴sin B ＝2sin A .又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，
展开得－sin A ＋cos A ＝0，3
23
2∴sin(A －30°)＝0，解得A ＝30°.
能力提升]
1．(2016·南通高二检测)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝b ，则角A 等于________．
3
【解析】　由正弦定理可得，2a sin B ＝b 可化为2sin A sin B ＝sin B ，
33又sin B ≠0，即sin A ＝，又△ABC 为锐角三角形，得A ＝.
3
2π
3【答案】　π
3
2．(2014·广东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为
a ，
b ，
c ，已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则＝________.
a
b 【解析】　因为b cos C ＋
c cos B ＝2b ，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，故sin(B ＋C )＝2sin B .
故sin A ＝2sin B ，则a ＝2b ，即＝2.a
b 【答案】　2
3．在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是____________.
【导学号：91730003】
【解析】　因为三角形有两解，所以a sin B <b <a ，
即x <2<x ，∴2<x <2.2
22【答案】　(2,2)
24．在△ABC 中，a cos ＝b cos ，判断△ABC 的形状．
(π2－A
)(π
2－B )【解】　法一　∵a cos ＝b cos ，
(π2－A )(π2－B )∴a sin A ＝b sin B .
由正弦定理可得a ·＝b ·，
a
2R b
2R
∴a 2＝b 2，
即a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．法二　∵a cos ＝b cos ，
(π
2－A
)(π
2－B )∴a sin A ＝b sin B .
由正弦定理可得2R sin 2A ＝2R sin 2B ，即sin A ＝sin B .
∴A ＝B .(A ＋B ＝π不合题意舍去)故△ABC 为等腰三角形．。