初三自主招生教学案14：几种函数的基础概念

3. 已知一次函数 y (5m 3)x (5 2n) ，分别求出 m、n 的值，使得满足下列条件： （1） y 随 x 的增大而减小；
（2）图像在第一、三、四象限； （3）图像在 y 轴上的截距小于 1；
（4）图像过 (1,0)、(0,3)、(a,10) ，求 a 的值。
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4. 如图 1-3 所示，直线 y 4 x 4 与 x 轴、 y 轴分别相交于 M、N 两点。 3
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同步练习： 1. 求函数| x 1| | y 2 | 2 的图像所围成的图形的面积。
2. 已知直线 y x 4 与 y 轴交点为 M，直线 y 3x 6 与 y 轴交点为 N，直线 y x 4 与 y 3x 6 交 点为 P，求经过线段 MN 的中点 Q 与点 P 的一次函数解析式。
综上所述：点 P 的坐标为（0,0）、（6,0）、（0,8）．
练习 5： 解析：【解】：假设存在满足条件的一次函数设其解析式为 f (x) kx b(k 0) ，则由题意得：
ì98k b 19
í
p
b
k
îq b
由于 q 是正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数，所以 b 是正整数，所以 k 是负整数．
由 98k b 19 得， b 19 98k ，代入 p b 得， p 98 19
练习 4：解析：【解】：（1） M (3，0) N (0,4) ；
（2） y 1 x 3 22
（3）第一种情况：当点 P1 在 y 轴上且在点 N 下方时， P1 的坐标为（0,0）； 第二种情况：当点 P2 在 x 轴上且在点 M 左侧时， P2 的坐标为（0,0）； 第三种情况：当点 P3 在 x 轴上且在点 M 右侧时， P3 的坐标为（6,0）； 第四种情况：当点 P4 在 y 轴上且在点 N 上方时， P4 的坐标为（0,8）；
点到距离。根据绝对值的几何与代数特征，对含有字母的绝对值我们仍然可以从代数和几何两个角度来处理。 （1） 分类讨论去绝对值；
（2） 利用绝对值的几何性质。如 x ,从一维几何角度看，表示数 x 在数轴上对应的点到原点的距离；从二 维几何角度看，表示第一、第二象限角平分线即 y x 的图像。
四、高斯函数
函数的基本概念 知识梳理:
一、 函数的概念 在变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定一个 x 值，相应地就确定了一个 y 值，那么我们称 y 是 x 的函
数。
二、一次函数
把函数 y kx b(k 0) 称为一次函数，其中自变量 x 的取值范围是任意实数。若 b 0 ，函数 y kx(k 0) 为
[ x] 表示不超过 x 的最大整数，如 [3.7] 3, [2] 2, [3.4] 4 等。函数 y [x] 叫做高斯函数。定义域为
全体实数 R.有如下性质：
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（1） 对任意的 x， [ x] 都是整数； （2） 对任意的 x，都有 [ x] £ x [x] 1; （3） y [ x] 是不减函数，即当 x1 £ x2 时，必有 [ x1] £ [ x2 ] ； （4） [ x] 中的 x 的整数部分可以“往外拿”，即等式 [ x m] [ x] m，当且仅当 m 为整数时成立； （5） 对任意实数 x1， x2 ，都有 [ x1] [ x2 ] ³ [x1 x2 ] 。
（3）含有绝对值的一次函数的图像是由若干条线段和射线组成的折线，作出它的图像的步骤：先将绝对值去掉，分成 几个不含有绝对值的一次函数。
三、绝对值函数
绝对值在初中数学中有了严格的定义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。
用数学符号表示为： a ìíîa,aa, a³00 .同样绝对值还有几何性质：一个数的绝对值表示这个数在数轴上对应点到原
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例 3：答案：（2,3）. 解析：【解】将方程 (2k 1)x (k 3) y (k 11) 0 变形得， (2x y 1)k (x 3y 11) 0 ，根据
多项式恒等的条件可得，
ì2x y 1 0
ìx 2
îíx
3
y
11
0
,解得
í î
y
3
，所以点
D
的坐标为（2,3）。
例 4：答案： a 3 4 . 2
y
kx
b(k
0)
，则
ìb í5 î 2
k
1
b
3 2
Þ
ìk îíb
1 ，即所求一次函数 1
解析式为 y x 1 ．
练习 3：解析：【解】：（1） 5m 3 0 ，解得 m 3 ，所以当 m 3 时， y 随 x 的增大而减小；
5
5
（2） 5m 3 0 且（- 5-2n） 0 ，解得 m 3 且 n 5 ，当 m 3 且 n 5 时，图像在第一、三、四象
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点 C(2，0) ,直线 l 经过点 E 、 C ,所以直线 l 的表达式为 y 3 x 2 3 ．
7
7
练习 7：解析：【解】： DP x ，则 PC 10 x ， FB 1 (10 x)（0 x 10） 2
由题意得： y 1 10 1 (10 x) 1 [10 1 (10 x) x]10 5x 50
，即 í
.
îx2 2 x 1 îx2 x 1 0
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解得， 1 £ x 1
5 1
或
5 x£2。
2
2
所以 [ x] 可取－1.2.
当 [ x] ＝－1 时，则原方程即为 x2 1 0 Þ x 1 .
当 [ x] ＝2 时，则原方程即为 x2 4 0 Þ x 2 .
综上，原方程的解为 x 1 或 x 2 .
7. 如图 1-5 所示，四边形 ABCD 是边长为 10 的正方形，点 E 在边 CB 的延长线上，且 EB=10，点 P 在边
DC 边上运动，EP 与 AB 的交点为 F，设 DP= x ，△EFB 与四边形 AFPD 的面积之和为 y ，写出 y 关于 x 的
函数关系式。
8. 已知 k 为正整数，直线 y kx k 1 和直线 y (k 1)x k 以及 x 轴围成的三角形的面积为 Sk ，计算： S1 S2 S3 S2012 的值。
k
k
因为19 1 (19)
（1）当 k 1 时， p 117 不是质数，舍去；
（2）当 k 19 时， p 99 不是质数，舍去；
综上（1）、（2）可得满足条件的一次函数不存在．
练习 6： 解析：【解】： SADE SDOC Þ SAOB SCBE
3 Þ yE
3 2
直线 AB 的方程： y 3x 2 3 ，点 E 在直线 AB 上，所以 E( 3 , 3 ) 22
（1）当 x £ 1时， y 3 x 1 x 4 2x ； （2）当1 x 3 时， y 3 x x 1 2 ； （3）当 x ³ 3 时， y x 3 x 1 2x 4 。
ì4 2x, x £ 1 所以 y í2,1 x 3 ，其图像如图 1-1 所示。
î2x 4, x ³ 3
点评：高斯函数也叫取整函数， [ x] 表示不大于 x 的最大整数，通过不等式 [ x] £ x [ x] 1消元，转化
为一元方程求解。
【同步练习部分】
练习 1：答案：8. 解析：【解】：当 x ³ 1, y ³ 2 时， y x 1 ；
当 x ³ 1，y 2 时， y x 5 ； 当 x 1, y ³ 2 时， y x 1； 当 x 1, y 2 时， y -x 3 所以函数 x 1 y 2 2 的图像所围成的图形是一个边长为 2 2 的正方形，所求图形的面积为 8 ．
练习 2：答案： y x 1 .
解析：【解】：直线 y x 4 与 y 轴交点为 M (0,4) ，直线 y 3x 6 与 y 轴交点为 N (0，6) ，线段 MN 的
中点
Q(0，1)
．由
ì í î
y y
x4 3x
6
，得
P
点坐标为（5，- 3 22
）
设经过点 Q
与点
P
的一次函数解析式为
标。
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例 4 如图 1-2 所示，直线 y 3 x 1与 x 轴、 y 轴分别相交于 A、B，以线段 AB 为直角边在第一象限 3
内作等腰直角三角形
ABC，且∠ABC=90°，如果在第二象限内有一点
P(a,
1) 2
满足条件：
S ABP
S ABC
，
求实数 a 的值。
例 5 解方程： x2 [x] 2 0
（1）求 M、N 两点的坐标；
（2）如果点 A 在线段 ON 上，将△NMA 沿直线 MA 折叠，N 点恰好落在 x 轴上的 N’点，求直线 MA 对应
的函数的解析式；
（3）如果点 P 在坐标轴上，以点 P 为圆心， 12 为半径的圆与直线 y 4 x 4 相切，求点 P 的坐标。
5
3
5. 已知 p 是质数，q 是正整数，是否存在这样的一次函数，使得其同时满足下列两个条件： （1）图像经过点（98,19）；
2
2
22
所以 y 5x 50 ，其中 0 x 10 ．
练习 8：
ì y kx k 1
由于 SABP SBOP SAOB SAOP , 所以 a 3 3 2 ，
22 4
解得 a 3 4 。 2
例 5：答案： x 1 或 x 2 .
解析：【解】因为 [ x] £ x [x] 1,又 x2 2 [ x] 。
ìx2 2 £ x
ìx2 x 2 £ 0
所以 í
5
2
5
2
限；
（3）（- 5 - 2n） 1， 5m 3 0 ，即 n 3 且 m 3 ，图像在 y 轴上的截距小于 1； 5
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（4）图像过（-1,0）和（0,3）两点，
ì（- 5m 3） (5 îí (5 2n) 3
2n)
0
Þ
ìm 0 îín 4
所求函数解析式为 y 3x 3 ，当函数 y 3x 3 的图像过点（a,10）时，解得 a 7 ． 3
例题精讲：
例
1 已知
O
为坐标原点，一次函数
y
1 2
x
b
的图像与
x
轴、
y
轴的交点分别为
A、B，且
S AOB
£
1，求实
数 b 的取值范围。
例 2 作出函数 y | x 3 | | x 1| 的图像。
例 3 对于任意实数 k ，一次方程 (2k 1)x (k 3) y (k 11) 0 所表示的直线恒经过点 D，求出点 D 的坐
解析：【解】令 x 0 ，得 y 1；令 y 0 ，得 x 3 ，所以 A( 3,0) 、 B(0,1) 即 OA 3, OB 1, AB 2, SABC 2 所以 SABP 2 。
S AOP
1 OA 2
yp
3； 4
S BOP
1 2
OB
xp
a; 2
S AOB
1 2
OA
OB
3; 2
（2）图像与 x 轴、 y 轴的交点分别为（p,0）、(0,q)。若存在，求出函数解析式；若不存在，说明理由。
6. 如图 1-4 所示，△AOB 为等边三角形，其中 B（2,0），过点 C（-2,0）的直线 l 与 AO、AB 分别相交于点
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D、E，若 SADE SDOC ，求直线 l 的表达式。
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参考答案
【例题部分】 例 1：答案： 1 £ b £ 1.
解析：【解】令 x 0 ，则 y b ；令 y 0 ，则 x 2b ，则
S AOB
1 2
OA
OB
1 2
2b
b
£ 1 ，整理得，
b2
£ 1 ，解得
1£ b £1。
所以实数 b 的取值范围是 1 £ b £ 1。
例 2：解析：【解】令 x 3 0 ，得 x 3 ；令 x 1 0 ，得 x 1 。1 和 3 将数轴分成三段，下面逐段讨论：
正比例函数。
一次函数的图像是一条经过点 (0, b) 和 ( b ,0) 的直线。 k
1. 基本公式 （1）一次函数的解析式为 f (x) kx b ，其中 k 0, b 为常数项。
（2）一次函数 f (x) kx b 的图像是一条直线，其斜率为 k 。
2. 基本结论
（1）增减性：当 k 0 时，一次函数 y kx b 的函数值 y 随自变量 x 的增大而增大；当 k 0 时，一次函数 y kx b 的函数值 y 随自变量 x 的增大而减小。 （2）对称性：一次函数 y kx b 图像上的任意一点都是函数图像的对称中心；特别地正比例函数 y kx 的图像关 于坐标原点 O 中心对称。