机械波习题答案

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第十一章 机械波
一. 选择题
[ C ]1. 一沿x 轴负方向传播的平面简谐
波在t = 2 s 时的波形曲线如图所示，则原点O
的振动方程为
(A) )21
(cos 50.0ππ+=t y ， (SI)．
(B) )21
21(cos 50.0ππ-=t y ， (SI)．
(C) )21
21(cos 50.0ππ+=t y ， (SI)．
(D) )2
1
41(cos 50.0ππ+=t y ，(SI)．
提示：设O 点的振动方程为O 0()cos()y t A t ωϕ=+。

由图知，当t=2s 时，O 点的
振动状态为：O 0(2)cos(2)=0 0y A v ωϕ=+>，且
，∴
0322
π
ωϕ+=
，
03
22πϕω=
-，将0ϕ代入振动方程得：O 3()cos(2)2
y t A t πωω=+-。

由题中所给的四种选择，ω取值有三种：,
,24
ππ
π，将ω的三种取值分别代入
O 3()cos(2)2
y t A t π
ωω=+
-中，发现只有答案（C ）是正确的。

[ B ]2. 图中画出一向右传播的简谐波在t 时
刻的波形图，BC 为波密介质的反射面，波由P 点反
射，则反射波在t 时刻的波形图为提示： 由题中所给波形图可知，入射波在P
点的振动方向向下；而BC 为波密介质
反射面，故在P 点反射波存在“半波
损失”，即反射波与入射波反相，所以，反射波在P 点的振动方向向上，又P 点为波节，因而得答案B 。

[ A ]3. 一平面简谐波沿x 轴正方向传播，t = 0 时刻的波形图如图所示，则P 处质点的振动在t = 0时刻的旋转矢量图是
时的状态为：
[ B ]4. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是 (A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零． (C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零．
提示：动能=势能，在负的最大位移处时，速度=0，所以动能为零，势能也为零。

[ B ]5. 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动 (A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同．
(C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同． 提示：根据驻波的特点判断。

[ C ]6. 在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是I 1 / I 2 = 4，则两列波的振幅之比是
(A) A 1 / A 2 = 16． (B) A 1 / A 2 = 4． (C) A 1 / A 2 = 2． (D) A 1 / A 2 = 1 /4．
二. 填空题
1. 一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在t 时刻的总机械能是10 J ，则在)(T t +（T 为波的周期）时刻该媒质质元的振动动能是 5（J ） .
ωS A
O ′
ωS A O ′ωA O ′
ωS
A O ′
(A)(B)(C)(D)
u
与该平面的
法线0n 的夹角为θ，则通过该平面的能流是cos IS θ。

提示：θIScos IS ==⊥流过该平面的能流
3. 如图所示，波源S 1和S 2发出的波在P 点相遇，P 点距波源S 1和S 2的距离分别为 3??和10?????3 ，??为两列波在介质中的波长，若P 点的合振幅总是极大值，则两波在P 点的振动频率 相同 ，波源S 1?的相位比S 2?的相位领先
43
π． 提示：
201021201020102102()()()(3)()33
k r r πλπϕϕϕϕϕλϕϕλ∆=---=--
-=--， 因为P 点的合振幅总是极大值，2n ϕπ∴∆=，即20102()23
n π
ϕϕπ--
=，取n 1=-，得20104
3
ϕϕπ-=-，或
10204
3ϕϕπ-=124S S 3
π∴波源的相位比的相位超前。

4.设沿弦线传播的一入射波的表达式为
]2cos[1λ
ωx
t A y π-=，
波在x = L 处（B 点）发生反射，反射点为自由端（如图）．设波在传播和反射过程中振幅不变，则反射波的
表达式是y 2 = 24cos x L A t ππωλλ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭． 提示：因为反射点为自由端，所以反射波没有半波损失，反射波与入射波在B
点引起的振动同相。

2cos B B L y y A t πωλ⎛
⎫==- ⎪⎝⎭
入反，
∴2cos x L L y A t u πωλ⎡-⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
反 ()22cos L A t x L ππωλλ⎡
⎤=+--⎢⎥⎣⎦
P
S S
24cos x L A t ππωλλ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
5. 一静止的报警器，其频率为1000 Hz ，有一汽车以 km 的时速驶向和背
离报警器时，坐在汽车里的人听到报警声的频率分别是1065Hz 和935Hz （设空气中声速为340 m/s ）．
提示：汽车速度3
79.210v 79.2/22/6060
R km h m s ⨯==
=⨯ 汽车驶向报警器：v 34022
10001065340R R S u Hz u νν++=
=⨯= 汽车背离报警器：v 34022
1000935340
R R S u Hz u νν--==⨯=
6. 一球面波在各向同性均匀介质中传播，已知波源的功率为100 W ，若介
质不吸收能量，则距波源10 m 处的波的平均能流密度为×10-2 W/m 2
． 提示：根据平均能流密度I 和功率P 的关系，得
221000.0796(/)44100
P P I W m S r ππ⊥=
===⨯ 7. 一弦上的驻波表达式为 t x y 1500cos 15cos 100.22-⨯= (SI)．形成该驻波的两个反向传播的行波的波速为100 m/s ． 提示：与驻波的表达式22cos cos
y A x t T π
πλ
=比较，得215πλ=
，21500
T π
=， ∴21500
100/152u m s T
λ
ππ
==
⨯=
8. 在真空中沿着z 轴负方向传播的平面电磁波，O 点处电
场强度为)3
1
2cos(300π+π=t E x ν(SI)，则O 点处磁场强度为
0.796cos(2ππ/3) (A/m)y H t ν=-+．在图上表示出电场强度，磁场强度和传播速度之间的相互关系．
提示：根据电磁波的性质，E H S ⨯=，三者的关系如图所示。

E H 和同相，01
cos(2)3
y y H H t πνπ∴=-+
； =，
z
y
x
c
x
E y
H O
800009
310300
0.796(/)9104y x x H cE A m επ
⨯⨯∴====⨯⨯，0.796cos(2ππ/3) (A/m)y H t ν=-+
三. 计算题 1. 图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s
时刻的波形图．已知波速为u ，求 (1) 坐标原点处介质质点的振动方程；
(2) 该波的波动表达式．
解：(1) 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s 时刻波形图，可知此波向左传播（向x 轴负向传播）。

设坐标原点O 处质点的振动方程为()00,cos()y t A t ωϕ=+. 在t = 0时刻，O 处质点的振动状态为：0(0,0)cos 0y A ϕ==， 00v sin 0A ωϕ=->，
故 02ϕ=-π
又t = 2 s ，O 处质点位移为/cos(2)2
A A ω=-π
，且振动速度>0,
所以 224ω-=-ππ
，
得 8
ω=π
∴振动方程为 ()0,cos()82
y t A t =-ππ
(SI)
(2) 由图中可见，波速为u = 20 2 m10
m ()0,cos()82y t A t =-ππ(),cos 8102x y x t A t ⎡⎤
⎛⎫=+- ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦
ππt (s)
-A
1y P (m)
一平
面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为??，P 处质点的振动规律如图所示． (1) 求P 处质点的振动方程； (2) 求此波的波动表达式；
(3) 若图中 λ2
1=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程． 解：(1) 设P 处质点振动方程为0()cos()P y t A t ωϕ=+， 由振动曲线可知，在t = 0时刻，0cos A A ϕ-=，∴0ϕπ=；
t=1s 时，0cos()A ωπ=+，且振动速度>0，∴32πωπ+=
，2
πω=； ∴cos()2
P y A t π
=+π (SI)
(2) 设波速为u ，则24
u T λ
ωλλ
π=
=
=，且波沿Ox 轴的负方向传播，
∴波动表达式为2(,)cos cos ()22x d y x t A t A t x d u λ⎡π-⎤ππ⎛⎫⎡⎤
=++π=+-+π ⎪⎢⎥⎢⎥⎝
⎭⎣⎦⎣⎦ (SI)
(3) λ2
1=d 时，将x=0代入波动表达式，即得O 处质点的振动方程
cos 2
O y A t π=
3. 如图所示，两相干波源在x 轴上的位置为S 1和S 2，
其间距离为d = 30 m ，S 1位于坐标原点O ．设波只沿x 轴正负方向传播，单独传播时强度保持不变．x 1 = 9 m 和x 2 = 12 m 处的两点是相邻的两个因干涉而静止的点．求两波
的波长和两波源间最小相位差．
解：设S 1和S 2的振动初相位分别为10ϕ和20ϕ，在x 1点两波因干涉而静止，所以在x 1点两波引起的振动相位差为π的奇数倍，即
()()12010112π
d x x ϕϕϕλ∆=----⎡⎤⎣⎦π+=)12(K ① 同理，在x 2点两波引起的振动相位差
()()22010222π
d x x ϕϕϕλ∆=----⎡⎤⎣⎦π+=)32(K ② ②－①得：
214()2x x λ
-=π
π， ∴6)(212=-=x x λm ；
由①得： 1
20102(21)2(25)d x K K ϕϕλ
--=++=+ππ
π；
当K = -2、-3时相位差最小： 2010ϕϕ-=±π
4. 一平面简谐波在介质中以速度u = 20 m/s 自左向右传播．已知在传播路径上的某点A 的振动方程为
)4cos(3.0π-π=t y (SI)。

另一点D 在A 点右方
9米处．
(1) 若取x 轴方向向左，并以A 为坐标原
点，试写出波的表达式，并求出D 点的振动方程．
(2) 若取x 轴方向向右，以A 点左方5米处的O 点为x 轴原点，再写出波的表达式及D 点的振动方程．
x y x y
u
u
A A O D D
解：该波波速u = 20 m/s ，
(1) 若取x 轴方向向左，并以A 为坐标原点，
则由已知条件知：
)/(20s m i u
-=
)4cos(3.0),0(ππ-=t t y （m ）
所以，波的表达式为 ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-+=-+=πππ)20(4cos 3.0))(4cos(3.0),(x t u x t t x y π（m ）
D 点的坐标为x D = -9 m 代入上式有
)544cos(3.0)5144cos(3.0)209(4cos 3.0),(ππππππ-=-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--+=t t t t x y D
（m ）
(2) 若取x 轴方向向右，以A 点左方5米处的O 点为x 轴原点，
则由已知条件知：
)/(20s m i u
=
)4cos(3.0),5(ππ-=t t y （m ）
所以，波的表达式为)54cos(3.0)5(4cos 3.0),(x t u x t t x y πππ-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡---=π （m ）
D 点的坐标为x D = 14 m 代入上式, 有
)5
4
4cos(3.0)5/144cos(3.0ππ-=-=t t y D ππ (m)
此式与(1) 结果相同.
5． 由振动频率为 400 Hz 的音叉在两端固定拉紧的弦线上建立驻波．这个驻波共有三个波腹，其振幅为 cm ．波在弦上的速度为 320 m/s ．
(1) 求此弦线的长度． (2) 若以弦线中点为坐标原点，试写出弦线上驻波的表达式．
解：(1) 2
3λ
⨯
=L
?? = u
∴ 20.1400
320
2323=⨯==νu L m
（2）设驻波的表达式为)cos()cos(103),('3ϕωϕ++⨯=-t kx t x y
πππνλπ2
5320400222=⨯===u k （m -1） πππνω80040022=⨯== （rad/s ）
弦的中点x=0是波腹，
故 πϕϕϕor kx x 0,1cos )
cos(''0
'=∴==+= 所以)800cos(2
5
cos 100.3),(3ϕπ+⨯±=-t x t x y π (m)
式中的ϕ 由初始条件决定。

[选做题]
1．如图，一角频率为? ，振幅为A 的平面简谐波沿x
轴正方向传播，设在t = 0时该波在原点O 处引起的振动
使媒质元由平衡位置向y 轴的负方向运动．M 是垂直于x 轴的波密媒质反射面．已知OO ＇= 7 ? /4，PO ＇= ? /4（?为该波波长）；设反射波不衰减，求：
(1) 入射波与反射波的表达式;；
(2) P 点的振动方程．
解：(1) 设O 处振动方程为 00cos()y A t ωϕ=+
当t = 0时，y 0 = 0，v 0 < 0，∴ 01
2
ϕπ=
∴ )2
1
cos(0π+=t A y ω
入射波朝x 轴正向传播， 故入射波表达式为
)22cos(2)(cos ),πλωπω+-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-=x t A u x t A t x y π（入 在O ′处入射波引
起的振动方程为 =+⨯-
===)2
472cos(),(),4
7(
4
7π
λλωλ
λπ
t A t x y t y x 入入)cos(π-t A ω 由于M 是波密媒质反射面，所以O ′处反射波振动有一个相位的突变?．
∴ )cos(t 4
7π+π-=t A y ωλ
），（反t A ωcos =
所以反射波表达式为
)]47(cos[,u x t A t x y λω-
+=）（反 )2
2cos(]272cos[π
λπωπλω++=-π+=x t A x t A
(2) 合成波为
),(),(),(t x y t x y t x y 反入+=]22cos[π+π-=x t A λω]2
2cos[π
+π++x t A λω
)2
cos(
2cos 2π
+π=t x A ωλ 将P 点坐标 λλλ23
4147=-=x 代入上述方程，得P 点的振动方程为
)2
cos(2π
+-=t A y P ω。