七上19讲《余角补角对顶角》知识点大网罗

七上19讲《余⾓补⾓对顶⾓》知识点⼤⽹罗
写在前⾯
本讲，我们继续来研究⾓，重点对余⾓，补⾓，对顶⾓作⼀个深⼊的复习归纳，这两节的内容
难度不⼤，主要在于解答题的书写和⼀些概念的判断．
⼀、知识梳理
1、余⾓概念：
如果两个⾓的和是90°，那么这两个⾓互为余⾓，简称互余．
2、补⾓概念：
如果两个⾓的和是180°，那么这两个⾓互为补⾓，简称互补．
3、注意点：
互为余⾓、互为补⾓仅仅表明了两个⾓的数量关系，并没有限制⾓的位置关系．
4、邻补⾓概念：
两个⾓有⼀条公共边，它们的另⼀条边互为反向延长线，具有这种关系的两个⾓，叫做邻补⾓．
5、同⼀个⾓的补⾓与余⾓的关系：
同⼀个⾓的补⾓⽐它的余⾓⼤ 90°．
6、余⾓补⾓的性质：
同⾓的余⾓相等，同⾓的补⾓相等．
等⾓的余⾓相等，等⾓的补⾓相等．
7、对顶⾓概念：
⼀个⾓的两边分别是另⼀个⾓两边的反向延长线，且这两个⾓有公共顶点，那么这两个⾓是对顶⾓．
(对顶⾓由两条相交直线产⽣)
8、对顶⾓相等．
9、数对顶⾓的对数：
⼆、典型例题
例1：判断正误：
(1)⼀个⾓⼀定⼩于它的余⾓，也⼩于它的补⾓．
(2)如果两个⾓互补，那么这两个⾓是锐⾓和钝⾓．
(3)如果三个⾓的和为180°，则这三个⾓互补．
(4)如果两个⾓相等，那么她们的补⾓也相等．
(5)若∠1＝∠2，则∠1和∠2是对顶⾓．
(6)互补的⾓就是平⾓．
(7)互余的两个⾓⼀定都是锐⾓．
(8)不相等的两个⾓不是对顶⾓．
解析：
(1)错误，如60°⼤于它的余⾓30°，100°⼤于它的补⾓80°．
(2)错误，两个⾓可以都为直⾓．
(3)错误，互补是两个⾓之间的数量关系．
(4)正确．
(5)错误，⽐如⼀个⾓的⾓平分线，把这个⾓分成2个相等的⼩⾓不是对顶⾓．
(6)错误，两个互补的⾓的度数之和是平⾓的度数．
(7)正确．
(8)正确．
例2
解析：
例3：
⼀个⾓的余⾓⽐它的补⾓的⼀半还少20°，这个⾓的度数为______°．
分析：
这种题⽬难度不⼤，可以直接解设这个⾓的度数为x，表⽰出这个⾓的余⾓和补⾓，根据题⽬，列出⽅程．
当然本题还有⼀种做法，即设这个⾓的补⾓度数为x，表⽰出这个⾓的余⾓，同时，还要利⽤⼀个隐含的数量关系，同⼀个⾓的补⾓⽐它的余⾓⼤ 90°．
解答：
三、思维提升
1、找余⾓补⾓
例1：
如图，O是直线AB上⼀点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的⾓有哪些？与∠DOE互补的⾓有哪些？
分析：
找互余的⾓，⾸先要找直⾓内部的射线将直⾓分成的2个⾓，或者可以形象的称为“邻余⾓”．
其次，再找有没有其他⾓和“邻余⾓”中的⼀个相等，则和另⼀个也互余．
找互补的⾓，⾸先找找有没有邻补⾓．再找有没有其他⾓和邻补⾓中的⼀个相等．
这⾥∠DOE相邻的余⾓有2个，∠EOF，∠DOB，再找找有没有和这两个⾓相等的⾓．
∠DOE在图中没有邻补⾓，因此，只能找和它相等的⾓，不难发现是∠AOF，找∠AOF的邻补⾓，再找和∠AOF的邻补⾓相等的⾓．
解答：
∵∠AOE＝∠FOD＝90°，∴∠BOE＝90°
∠3＋∠4＝90°，∠3＋∠2＝90°，
∴∠2＝∠4，
∵OB平分∠COD，
∴∠4＝∠5，∠2＝∠5，
∴∠DOE互余的是∠2、∠4、∠5；
∵∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，
∴∠3＝∠1
∵∠1＋∠BOF＝180°，
∠BOF＝∠2＋∠3＋∠4＝∠5＋∠3＋∠4＝∠EOC，
∴与∠DOE互补的⾓是∠BOF、∠EOC．
例2：
如下图，AOE是⼀条直线，从点O引射线OB，OC，OD，若∠AOC＝∠COE＝∠BOD＝90°，那么图中互余的⾓有哪⼏对？互补的⾓有哪⼏对？
分析：
思路与例1⼀致，先找位置相邻的余⾓，找邻补⾓，然后找有没有其他⾓与其中⼀个相等的⾓，对于两个直⾓，也别忘了它们互补．
解答：
∵∠AOC＝∠COE＝∠BOD＝90°
∴∠1＋∠2＝90°
∠2＋∠3＝90°，
∠3＋∠4＝90°，
∠1＋∠4＝90°，
互余的⾓有4对，
∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠1与∠4，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
∵∠1＋∠DOE＝180°，∴∠3＋∠DOE＝180°，
∠4＋∠AOB＝180°，∴∠2＋∠AOB＝180°，
∠AOC＋∠COE＝180°，
∠AOC＋∠DOB＝180°，
∠DOB＋∠COE＝180°，
互补的⾓有7对，
∠1与∠DOE，∠3与∠DOE，
∠4与∠AOB，∠2与∠AOB，
∠AOC与∠COE，
∠AOC与∠DOB，
∠DOB与∠COE．
例3：
如图，直线 AB与CD相交于O，OF，OD分别是∠AOE，∠BOE的平分线，
(1)写出∠DOE的补⾓；
(2)要若∠BOE＝62°，求∠AOD和∠EOF的度数；
(3)求∠DOF的度数？
分析：
(1)要找∠DOE的补⾓，可以找它的邻补⾓，也可以找与∠DOE相等的⾓，再找出它的补⾓．
(2)要求∠AOD，不⼀定⾮要⽤⾓度之和，可以⽤180°减去∠BOD，要求∠EOF，可以求∠AOE，再求其⼀半．
(3)双⾓平分线问题，找到出现两次的边OE，则∠DOF看作∠FOE＋∠DOE，利⽤⼀半加⼀半可求．
解答：
2、⽤⽅程思想
例1：
如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．∠BOF＝30°，则∠AOC＝
______°．
分析：
要求∠AOC，其实就是求∠BOD．要求∠BOD，根据⾓平分线条件，可设∠EOD为x.，然后表⽰出
∠EOF，进⽽表⽰出∠COE，则∠COE＋∠EOD＝180°，作为⽅程的相等关系．
解答：
∵OE平分∠BOD，∴∠BOD＝2∠BOE，
∵OF平分∠COE，∴∠COF＝∠FOE，
∴设∠BOE＝x°，则∠BOD＝2x°，
∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOC＝∠BOD＝2x°，∠EOF＝∠COF＝(x＋30)°，
则∠COF＋∠EOF＋∠DOE＝2(x＋30)＋30＝180，
解得：x＝40，
故∠AOC＝80°．
2、⽤⽅程思想
例2：
如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOD＝∠BOD，且∠DOF与∠BOF的度数之⽐为3：1，求∠COE的度数．
分析：
要求∠COE，其实就是求∠FOD．⽽∠DOF与∠BOD的度数⽐已知，则可以设x，利⽤它们的差是∠BOD求解，⽽∠AOD＝∠BOD，它们⼜是邻补⾓，则∠BOD的度数很快可知．
解答：
解设∠BOF＝x°，∠DOF＝3x°
∴∠BOD＝∠DOF－∠BOF＝2x°
∵∠AOD＝∠BOD，∠AOD＋∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝90°，
2x＝90，x＝45
∠DOF＝135°．
如何关注
上讲思考题答案。