八年级数学专题 全等三角形之线段的和差

八年级数学培优第2课时
全等三角形线段的和差问题
一、截长补短
例1.已知四边形ABCD 中，AB ⊥AD,BC ⊥CD,AB=BC, 0
120,60ABC MBN ∠=∠=,MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、CD(或它们的延长线)与E 、F 。

（1）如图1，求证：AE CF EF +=。

（2）当MBN ∠绕B 点旋转至如图2所示的位置，求证：AE —CF=EF 。

例2.在正方形ABCD 中，0
45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于M 、N 。

（1）如图1，求证：BM+DN=MN.
（2）当MAN ∠绕点A 顺时针旋转至如图2所示的位置时，求证：MN+BM=DN.
N
M
F E D
C
B
A
N M F E D C B A N M
D C
B
A M D
C B
A
巩固练习：
1.已知如图1，在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠,AD 为BAC ∠的平分线。

（1）求证：AC=AB+BD ；
（2）如图2，若AD 为BAC ∠的外角的平分线，其它条件不变，探索AC 、AB 、BD 三者之间的关系，并证明你的结论。

2.已知：如图，在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，且AD ⊥BC 于D ， （1）求证：CD=AB+BD 。

（2）若2ABC ACB ∠=∠＞90º，其它条件不变，探索（1）中线段CD 、AB 、BD 三者之间的关系，画图并证明你的结论。

D C B
A
D C B A C
B A
D B C A
3.已知：AD ⊥CD ，BC ⊥CD, 12,34∠=∠∠=∠,直线DC 过点E 交AD 于D ，交BC 于C 。

求证：AD+BC=AB.
4.如图：在在△ABC 中，AB=AC, ∠A=90°，BD 平分∠ABC 。

求证：AB+AD=BC.
5. 如图：在△ABC 中，AB=AC, ∠A=108°，BD 平分∠ABC. 求证：AB+CD=BC.
6.已知：如图，在△ABC 中，O 是,ABC ACB ∠∠的角平分线的交点，BD+CE=BC. 求A ∠的度数。

C
D
C
B A
O
E
D
C
B
A
二、利用全等将线段转化到一条直线上在进行加减
例3:已知△ABC 的两边上的高AD 与BE 相交于F ，且0
45ABC ∠=，过点F 作GF ∥BD 交AB 于点G ，求证：FG+DC=AD.
巩固练习：
7.如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标是（-1,0），点C 的坐标是（1，0），点D 为y 轴上一点，点A 为第二象限内的一动点，且2,BAC BDO ∠=∠过D 作DM AC ⊥于M 。

（1）求证：ABD ACD ∠=∠； （2）求证：AD 平分CAE ∠； （3）当点A 点运动时，AC AB
AM
-的值是否发生变化？若不变化，求其值；若变化，说明理由。

C。