58.等差数列的前n项和1
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
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等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
【教案】等差数的列前n项和公式第一课时教学设计-(人教A版(2019)选择性必修第二册)
《等差数列的前n项和（1）》教学设计（一）教学内容等差数列的前n项和公式（1）（二）教材分析1. 教材来源《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列2. 地位与作用数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位.（三）学情分析1.认知基础：大部分学生具备了本节课所需要的计算能力.2.认知障碍：学生普遍无法完成从“高斯算法”到利用倒序相加法求一般等差数列的前n项和的思维转化。
（四）教学目标1. 知识目标：①探索并掌握等差数列的前n项和公式②理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.2.能力目标：使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，通过教学提高学生分析问题与转化问题的能力3.素养目标：通过学习等差数列前n项和公式的推导过程及性质，提升逻辑推理和数学运算素养（五）教学重难点：1. 重点：等差数列的前n项和的应用2.难点：等差数列前n项和公式的推导方法（六）教学思路与方法引导学生合作探究来完成“高斯算法”到“倒序相加法”的思维转变。
转化为同数求和是解决问题的思想。
通过数形结合，用倒置拼补，几何直观强化这种思想。
（七）课前准备多媒体献.高斯的算法：n倒序求和法S n=a1+a2+a3+⋯+a n−2+a n−1+a S n=a n+a n−2+a n−1+⋯+a3+a2+a1 2S n=(a1+a n)+(a2+a n−1)+⋯+(a n a1)因为：a1+a n=a2+a n−1=…=a n+a 所以：2S n=(a1+a n)+(a1+a n)+教学环节：小结思考布置作业小结教学环节：板书设计。
等差数列前n项和的公式说课稿
等差数列前n项和的公式说课稿等差数列前n项和的公式说课稿1以下是高中数学《等差数列前n项和的公式》说课稿，仅供参考。
教学目标A、知识目标：掌握等差数列前n项和公式的推导方法;掌握公式的运用。
B、能力目标：(1)通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力。
(2)利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。
(3)通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力。
C、情感目标：(数学文化价值)(1)公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从而使学生受到辩证唯物主义思想的熏陶。
(2)通过公式的运用，树立学生"大众教学"的思想意识。
(3)通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。
教学重点：等差数列前n项和的公式。
教学难点：等差数列前n项和的公式的灵活运用。
教学方法：启发、讨论、引导式。
教具：现代教育多媒体技术。
教学过程一、创设情景，导入新课。
师：上几节，我们已经掌握了等差数列的概念、通项公式及其有关性质，今天要进一步研究等差数列的前n项和公式。
提起数列求和，我们自然会想到德国伟大的数学家高斯"神速求和"的故事，小高斯上小学四年级时，一次教师布置了一道数学习题："把从1到100的自然数加起来，和是多少?"年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使教师非常吃惊，那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢?如果大家也懂得那样巧妙计算，那你们就是二十世纪末的新高斯。
(教师观察学生的表情反映，然后将此问题缩小十倍)。
我们来看这样一道一例题。
例1，计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10.这道题除了累加计算以外，还有没有其他有趣的解法呢?小组讨论后，让学生自行发言解答。
求数列前n项和的七种方法
求数列前N 项和的七种方法1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算。
等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =()1111n n a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论。
其他公式：1、)1(211+==∑=n n k S nk n 2、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n3、213)]1(21[+==∑=n n k S n k n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积 设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ……………………………② （设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）∴ 1224-+-=n n n S 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1 ①①两边同乘以x ，得x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n -3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ n x ）-（4n-3）x n当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n) 1-x +1-（4n-3）x n ]3. 反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο ①+②得 （反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5 4. 分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得3211123nnnn k k k S k k k====++∑∑∑（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++22(1)(1)(21)(1)222n n n n n n n ++++=++ （分组求和）＝2)2()1(2++n n n练习：求数列•••+•••),21(,,813,412,211nn 的前n 项和。
求前n项和的几种方法
求前n 项和的几种方法求数列前N 项和的方法1. 公式法（1）等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公（2q=11q S ≠，（31、=S n 3、=S n [例1][例2]设2. 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.[例3]求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①[例4]求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练习：求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1答案：当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n当x ≠1时，S n =11-x [4x(1-x n )1-x +1-（4n-3）x n ]3. 倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把[例5]求4. [例6]5. （1（3（5）)2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n (6)n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则 [例9]求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.[例10]在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.[例11]求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵ n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和） ＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1 -+-+-+-∴6. [[例7. [例练习：求5，55，555，…，的前n 项和。
求等差数列前n项和的最值问题的两种常用解法
求等差数列前n 项和的最值问题的两种常用解法【必备方法】1.函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解，一定注意n 是正整数。
2.邻项变号法：①0,01<>d a 时，满足⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ； ②当0,01><d a 时，满足⎩⎨⎧≥≤+001n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S . 【典例示范】例1、等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值是( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)8解：方法一：由113S S =得01154=+++a a a ，根据等差数列性质可得087=+a a ，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到0,087<>a a ，故n=7 时，n S 最大.方法二：由113S S =可得d a d a 55113311+=+，把131=a 代入得2-=d ，故n n n n n S n 14)1(132+-=--=，根据二次函数性质，当n=7时，n S 最大. 方法三：根据131=a ,113S S =，知这个数列的公差不等于零.由于113S S =说明这个数列的和先是单调递增的然后又单调递减.根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，当113S S =时，只有72113=+=n 时，n S 取得最大值. 答案：C练习：1.已知在等差数列}{n a 中，311=a ，n S 是它的前n 项的和，2210S S =.（1）求n S ；（2）这个数列前多少项的和最大，并求出这个最大值. 解析：（1）∵102110a a a S ++= ，222122a a a S ++= ，又2210S S =， ∴0221211=++a a a ，则031212211=+=+d a a a ，又311=a ，2-=∴d ，∴21322)1(n n d n n na S n -=-+=。
等差数列的前n项和公式(第一课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册 (2)
分析：这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项
和.
21 2 3 (n 1) n n(n 1)
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
一、数列前n项和的定义:
设数列｛ an ｝： a1，a2 ，a3 ，…，an ，…
我们把a1＋a2 ＋ a3 ＋ … ＋ an叫做数列 ｛ an ｝的前n项和，记作Sn .
放着120层铅笔，且自下而上各层的 铅笔数成等差数列，将其记｛an｝，
则有a1=1, a120=120.根据等差
数列前n项和的公式：
sn
n(a1 2
an )
s120
120 (1 120) 2
7260
答：V形架上共放着7260支铅笔。
在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个,
问题:
如何求一般等差数列的前n项和
问题分析
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
Sn a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ],①
Sn an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
S10 1050010(1201)50 7250
答：2001～2010”年,该市在“校校 通”工程中的总投入是7250元.
公式应用
练：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔， 往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120支。这个V形架上共放着多少支铅笔？
解：由题意可知，这个V形架上共
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
等差、等比数列的前n项和知识梳理
等差、等比数列的前n 项和【考纲要求】1．熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 2．熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用； 3．掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式。
【知识网络】【考点梳理】【高清课堂：数列的求和问题 388559 知识要点】知识点一：数列的前n 项和n S 的相关公式 1.等差数列的前n 项和n S 公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+（A B 、为常数） 当0d ≠时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0； 当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式. 2.等比数列的前n 项和n S 公式：当1q =时，1n a a =，1231n n S a a a a na =++++=，当1≠q 时，11(1)11n n n a a qa q S q q--==--3.任意数列的第n 项n a 与前n 项和n S 之间的关系式：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【典型例题】类型一：等差数列的前n 项和公式及其性质例1.等差数列{}n a 的前30项之和为50，前50项之和为30，求80S 。
【思路分析】根据等差数列前n 项公式1(1)2n n n S na d -=+，整体代入，或者应用公式2n S An Bn =+。
【解析】法一: ∵{}n a 为等差数列， ∴1(1)2n n n S na d -=+, 等差、等比数列的前n 项和等比数列的求和公式等差数列的求和公式∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-+=)2......(302505050)1......(50230303021502130d a S d a S(2)-(1)有22150303050202022a d d --++=-， 即 27911da +=- ∴ 80)279(802)180(80801180-=+=-+=da d a S 。
等差数列的前n项和公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
课程目标
学法指导
1．借助教材实例了解 1．等差数列是“中心对称”的，因此在求和的时
等差数列前n项和公式 候可以从中心对称的角度来思考，这就是倒序相
的推导过程．
加法的本质，采取图示的方法有助于理解公式的
2．借助教材掌握a1， 推导．也正是因为中心对称的缘故，等差数列的
(C )
A．5114
B．581
C．9136
D．9132
(3)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S10＝100，S100＝10，试求
S110．
[分析] (1)求 n 想到 Sn＝na1＋2 an＝nam＋2an－m＋1⇒Sn－Sn－4＝an＋an －1＋an－2＋an－3，a1＋a2＋a3＋a4⇒a1＋an.
(2)求值想＋an＝ap＋aq⇒abnn＝ SS2′2nn－－11.
(3)求 S110 想到 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…构成公差为 n2d 的等差数列 ⇒S10＝100，S100＝10⇒项数和公差．
[解析] (1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80． S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40． 两式相加得 4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30． 由 Sn＝na1＋ 2 an＝210，∴n＝14． (2)由已知SSn′n＝7nn＋＋32，ab77＝SS1′133＝9136.
解得da＝ 1＝－122，， ∴an＝－2n＋14．
②由①得 Sn＝n12＋124－2n＝－n2＋13n＝－n－1232＋1469. 当 n 取与123最接近的整数，即 6 或 7 时，Sn 有最大值，最大值为 S6 ＝S7＝－72＋13×7＝42．
等差数列的前n项和(第一课时)
(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)， 这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错． (2)在书写{an}的通项公式时，务必验证 n＝1 是否满足
an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用 an＝
S1 n＝1 Sn－Sn－1n≥2
表示．
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【变式】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an. 解 a1＝S1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋ 3(n－1)]＝4n＋1， 当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.
答：屋顶斜面共铺瓦片570块.
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【变式4】一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10， 求前110项之和． [思路探索] 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可 求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．
解 法一 设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn， 则 Sn＝na1＋nn2－1d.
上页 下页
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1 ②
分析：这
其实是求 21 2 3 (n 1) n n (n 1)
一个具体
的等差数 列前n项
和.
1 2 3 (n 1) n n (n 1) 2
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
上页 下页
问题分析 如何才能将
已 是知n，等第差n数项列为｛an，an求｝前的n首项项和等为S式化na. 1的简，右？项边数 Q Sn a1 a2 a3 L an ①
于是，ad1
4 6
所以
Sn
n4
n(n 1) 2
6＝3n2
n
上页 下页
等差数列前n项和性质
n n 1
证明 :Q
S偶
a2
a4
...
a2n2
(n
1) • (a2 2
a2n2 )
(n
1) • (2 • 2
an )
(n
1) • an
(n
1) • a中
S奇
a1
a3
...
a2n1
n • (a1 2
a2n1 )
n • (2 • 2
an )
n • an n • a中
解：由等差数列前n项和性质知S10,S20 -S10,S30 -S20 也成等差数列，即10，30，S30 -40成等差数列， 230 10 （S30-40） 解得S30 90
1.等差数列an中，已知 S2 2, S6 24, 求S4
答案：30
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若
例2.在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110. 法三：(新数列法)∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110
－S100，…成等差数列， ∴设该数列公差为 d，则其前 10 项和为 10×100＋10×2 9d＝10，
解得 d＝－22. ∴前 11 项和为 11×100＋10×2 11d＝11×100＋10×2 11×(－22)＝
则S9 S4 0，即 a5 +a6 +a7 +a8 +a9 =0, 即5a7 =0,故a7 =0,而ak +a4 =0,故k=10
等差数列前n项和的性质（1）
已知等差数列的前n项和Sn，如何求an ? 利用Sn与an的关系:
(完整版)数列前n项和的求法总结
数列前n 项和的求法总结核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。
当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。
一． 公式法（1） 等差数列前n 项和： S n=n(a 1+a n )2=na 1+n(n+1)2d（2） 等比数列前n 项和： q =1时， S n=na 1；q ≠1时， S n =a 1（1−q n ）1−q（3） 其他公式： S n=1+2+3+⋯+n =12n (n +1)S n =12+22+32+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)S n =13+23+33+⋯+n 3=[12n (n +1)]2例题1：求数列 112，214，318，……，(n +12n )，…… 的前n 项和S n解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。
练习：二.倒序相加法如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。
例题1：设等差数列{an }，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn =a1+a2+a3+...+an①倒序得：Sn =an+an-1+an-2+…+a1②①+②得：2Sn =(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn =n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。
【课件】等差数列的前n项和公式(第一课时)课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
解得n 10或n 10(舍去).
∴原等差数列的前10项的和等于 100.
3. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，若S4＝6，S8＝20，求S16 .
4a1 6d 6
3
1
解：根据题意,得
,解得a1 ,d .
4
2
8a1 28d 20
3 16 15 1
∴S16 16
72.
4
2
2
课本P23
04
目标检测 检验效果
4. 在等差数列{an}中，若S15＝5(a2+a6+ak)，求k.
15 14
解：
由题意,得15a1
d 5[a1 d a1 5d a1 (k 1)d ].
2
整理得( k 16)d 0.
101
101
101
101
（2 99）（3 98） （50 51）
（1 100）
50对
100
（100 1） 5050
2
新知探究一：等差数列的前n项和公式
高斯的算法实际上解决了求等差数列
1，2，3，‧‧‧，n，‧‧‧ ①
前100项的和的问题.
03
思考 你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗?你能从中得到求
2
n
an
a1
n
a1
an
(n-1)d
n(n 1)
Sn na1
d
2
04
例题练习 巩固理解
例6 已知数列{an}是等差数列.
(1) 若a1 7,a50 101,求S50 ；
5
(2) 若a1 2,a2 ,求S10 ；
等差数列的前n项和1
a21 a22 a30
S30 S20 2730（ 31n}的前10项的和是 310，第11项到第20项的和是910，求第21 项到第30项的和。
解：设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意，得
S10 310 S 20 S10 910
1510
变题1.已知一个等差数列｛an｝的前10项和为 310，前20项和为1220，由此可以确定求其 前n项的和的公式吗？ 解：由题意知： S 10 =310，S 20=1220 将它们代入公式 Sn得到 a1=4,d=6 所以 Sn =3n2+n
变题2.已知等差数列{an}的前m项的和是 30，前2m项的和是100，求前3m项 的和。
Gemini胎牛血清
/xueqing/Gemini-xueqing.html Gemini胎牛血清 bth84dwb 一直在乱叫，从没这么尖厉惨烈。宝音叫：“去看看出了什么事。”丫头领命而去，回来禀告宝音：“是他们挖出了一棵树，树上有个鸟巢，摔 下来，并里头的蛋也碎了，还有一只刚孵出来的雏鸟，被踩死了。”宝音眯了眯眼睛。她还没去找明蕙呢，明蕙倒惹上门来？她问：“七 在这里 么？”不在。原来只是派人挑衅。没关系，宝音有办法叫明蕙自己送上门来吃瘪。她披衣而起，叫上邱妈妈，往院子走，那边已经支起步障，拦 住了。宝音道：“咦，我的院子里，为何有这种东西？妈妈，你且把它推到一边，好叫我走呢！”第二十章移树杀雏惹鬼啼（2）邱妈妈仗着年纪 老，再无畏惧的，得个令，应一声，就往前浑推浑拉，那边赶紧的出来个婆子应对：“哟！邱嫂子，这儿移树呢，又是泥又是尘的，姑娘别过去 了。”笑得很假，“不然，硬要钻进去弄脏了，奴婢们也承担不起不是？”“这什么话？”邱妈妈一生气就特别的口不择言，“你——”婆子笑 眯眯的等着她后文。她要骂“你们专欺负我们 ！”婆子就回答：“嫂子这话太言重了。白不过移个树。这里里外外的院子，这么多花草，一年到 头哪儿哪儿不移剪修？连老太太那儿上个月都才大动过呢，独表 这儿就是欺负了？人家知道的，说嫂子好笑，这要不知道的，还不得当表 这作 客作得，忒也气性大了？”——她要骂“你是什么东西也敢来表 院里移树。”婆子就回答：“咱们当奴婢的，本来也不是什么东西，都当差嘛！ 四 看中这边的花，奶奶前头交代了的活，叫几个人做，其中借到我老婆子，我有什么办法不是？——表 ！不知这是邱妈妈自作主张的问话，还 是您的问话？要是您问，婆子地位低，人笨，不敢回。您看还是问二太太去？”哟，不管怎么回，准臊得表 主仆一鼻子灰！老婆子揣摩着，滋儿 滋儿得儿意的美。明蕙出的招，自有巧妙之处，与压住乐韵那次不同，不能硬来。宝音迅速拦住了邱妈妈话头：“妈妈，罢了。我不走这边好了。 真要去什么地方，反正路还多得很。”“姑娘啊……”邱妈妈那个心疼！“不要和这些人对口了。”宝音低着头，那个纤纤弱质、闷闷不乐。这 也是韩毓笙一惯以来的形象。“恭送表 ！”婆子立刻大声道。“过了后儿，还不知我起得来床游这园子不能。”宝音似乎是自言自语的伤感。 “姑娘的身子已经好很多了，千万别说这种话！”洛月立即宽解。宝音果然眉宇一宽：“这样说起来，自那天晕厥复苏后，托刘大夫神药，我觉 得松快许多。”“可不是？”洛月笑得很开心。说下大天来，也是姑娘身体好最重要。宝音若有所思的点点头：“难得身体好，我也该看看外婆 去——哟！”像是才想起，这句话让婆子听到有所不妥，侧了身，顿了顿，扶着洛月往回走，头很自然的跟洛月凑在
数列的通项公式与前n项和的计算
数列的通项公式与前n项和的计算数列是我们在数学中经常遇到的内容之一，它由一系列按特定规律排列的数字组成。
在解决数列相关问题时，通项公式和前n项和的计算是两个基本且重要的概念。
在本文中，我们将详细介绍数列的通项公式和前n项和的计算方法，并通过具体案例来加深理解。
一、数列的通项公式数列的通项公式是表示数列中任意一项与其序号之间的关系的数学公式。
通项公式的存在可以方便我们计算数列中任意一项的值，而无需逐个列举。
常见的数列通项公式包括等差数列和等比数列的通项公式。
对于等差数列来说，其通项公式可以表示为：an = a1 + (n - 1)d其中，an代表第n个数，a1代表数列的首项，d代表公差，n代表数列中的项数。
而对于等比数列来说，其通项公式可以表示为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表第n个数，a1代表数列的首项，r代表公比，n代表数列中的项数。
二、前n项和的计算前n项和是指数列中前n个数的和，也是另一个重要的计算概念。
计算前n项和可以帮助我们更好地理解数列的总体性质和规律。
对于等差数列，前n项和的计算公式为：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)其中，Sn表示前n项和，n表示数列的项数，a1表示首项，d表示公差。
对于等比数列，前n项和的计算公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示前n项和，a1表示首项，r表示公比。
三、实例分析为了更好地理解和应用数列的通项公式和前n项和的计算方法，我们来看一个具体的案例。
案例：求解等差数列1，4，7，10，13...的第20项以及前20项的和。
解析：首先，我们可以确定这是一个等差数列，通过观察相邻两项的差为3，可以得出公差d=3。
根据等差数列通项公式an=a1+(n-1)d，代入已知条件可以计算得出第20项的值：a20 = 1 + (20-1) * 3 = 1 + 19 * 3 = 1 + 57 = 58接下来，我们来计算前20项的和，根据等差数列前n项和的计算公式Sn=(n/2)(2a1 + (n-1)d)，代入已知条件可以计算得出前20项的和：S20 = (20/2)(2*1 + (20-1)*3) = 10(2+57) = 10*59 = 590所以，等差数列1，4，7，10，13...的第20项为58，前20项的和为590。
等差数列的前n项和公式(第一课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册全
下面再来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100 作
++ + +
+++
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1
加 法
// // // //
// \\ \\
2S100=101+101+101+…+101+101+101
多1少00个个110011 ?
已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋3n＋2，判断{an}是否为等差数列．
错解: an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2.
∵an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常数)，
∴数列{an}是等差数列．
辨析:an＝Sn－Sn－1 是在 n≥2 的条件下得到的，a1 是否满足需另外计算验证．
【解析】由已知得 an1 Sn1 Sn Sn1 Sn ，
两边同时除以 Sn1 Sn ，
得
1 Sn1
1 Sn
1，
1
故数列
Sn
是以-1
为首项，-1
为公差的等差数列，
则
1 Sn
1 (n 1)
n ，
1
所以 Sn n ．
例 已知数列{an}满足 a1＋2a2＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)，求 an.
创设情境
据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
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58.等差数列前n 项和（1） 2010/12/16
姓名__________学号_______班级_______
1、等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S
（1）8,18,481=-=-=n a a ，则=n S ； （2）32,7.0,5.141===n a d a ，则=n S ； （3）999,54,201===n n S a a ，则=d ，n = ； （4）629,37,31
===
n S n d ，则=1a ，=n a ； （5）5,6
1
,651-=-==n S d a ，则=n ，=n a ；
（6）10,15,2-===n a n d ，则=1a ，=n S 。
2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 （ ） A.
()432
1-n n B.
()732
1-n n C.
()432
1+n n D.
()732
1+n n
3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ） A. 0991>+a a B. 0991<+a a C. 0991=+a a D. 5050=a
4、在等差数列{}n a 中，已知1254=+a a ，那么它的前8项之和8S 等于 （ ）
A. 12
B. 24
C. 36
D. 48
5、设{}n a 是公差为2的等差数列，若5097741=++++a a a a ，
则99963a a a a ++++ 的值为 （ ） A. 78 B. 82 C.148 D.182
6、在等差数列{}n a 中，35,2,11===n n S d a ，则1a 等于 （ ）
A. 5或7
B. 3或5
C. 7或1-
D. 3或1-
7、等差数列{}n a 中，162,16,1041===n S a a ，则n 等于 （ ）
A. 11
B. 9
C. 9或18
D. 18
8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1581a a a ++的值是一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是 （ ） A. 15S B. 16S C. 24a D. 12a
9、在等差数列{}n a 中，已知488=S 16812=S ，求n a 和20S 。
10、已知数列}{n a 的前n 项和)(542为常数k k n n S n ++-=
（1）求n a a ,2；（2）若}{n a 为等差数列，求}{n a 中满足20100-<<-n a 的所有项的和。
11、设等差数列{}n a 的第10项为23，第25项为22-，求：
（1）数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n a 前50项的绝对值之和；（3）|}{|n a 前n 项和n S 。