初三数学大兴一模试卷答案

一、选择题（每题4分，共20分）
1. 若方程 \(2x + 3 = 7\) 的解为 \(x = 2\)，则方程 \(4x + 6 = \) 的解为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
解析：由原方程可知 \(2x = 7 - 3\)，即 \(2x = 4\)，所以 \(x = 2\)。

将
\(x = 2\) 代入 \(4x + 6\) 得 \(4 \times 2 + 6 = 8 + 6 = 14\)，因此 \(4x + 6 = 14\)。

2. 下列数中，不是有理数的是（）
A. \( \frac{1}{3} \)
B. \( \sqrt{2} \)
C. -2
D. 0.25
答案：B
解析：有理数包括整数和分数，而 \( \sqrt{2} \) 是无理数，不属于有理数。

3. 下列图形中，对称轴为直线 \(y = x\) 的是（）
A. 正方形
B. 等腰三角形
C. 矩形
D. 圆
答案：B
解析：等腰三角形的对称轴是连接底边中点和顶点的直线，这条直线与底边垂直，因此其方程为 \(y = x\)。

4. 若 \(a > b\)，则下列不等式中正确的是（）
A. \(a - b > 0\)
B. \(a + b > 0\)
C. \(a - b < 0\)
D. \(a + b < 0\)
答案：A
解析：由 \(a > b\)，可知 \(a - b > 0\)，因此选项A正确。

5. 若 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)，则 \(x^2 - 2x - 1 = \) 的值为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案：B
解析：由 \(x^2 - 5x + 6 = 0\)，可得 \(x^2 = 5x - 6\)。

将 \(x^2\) 的表达式代入 \(x^2 - 2x - 1\) 得 \(5x - 6 - 2x - 1 = 3x - 7\)。

当 \(x = 2\) 时，\(3x - 7 = 3 \times 2 - 7 = 6 - 7 = -1\)，因此 \(x^2 - 2x - 1 = -1\)。

二、填空题（每题4分，共20分）
6. 若 \(a + b = 5\)，\(a - b = 1\)，则 \(a^2 + b^2 = \)。

答案：26
解析：由 \(a + b = 5\) 和 \(a - b = 1\)，可得 \(a = 3\)，\(b = 2\)。

所以 \(a^2 + b^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\)。

7. 若 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \)，则 \( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \)。

答案：\(\frac{14}{3}\)
解析：由 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3} \)，可得
\( \frac{x + y}{xy} = \frac{2}{3} \)。

所以 \(xy = \frac{3}{2}(x + y)\)。

将 \(xy\) 的表达式代入 \( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \) 得 \( \frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x^2 + y^2}{\frac{3}{2}(x + y)} = \frac{2(x^2 +
y^2)}{3(x + y)} = \frac{2}{3} \times 2 = \frac{14}{3} \)。

8. 若 \( \angle A = 30^\circ \)，\( \angle B = 45^\circ \)，则 \( \angle
C = \)。

答案：\(105^\circ\)
解析：由三角形内角和定理，\( \angle A + \angle B + \angle C =
180^\circ \)。

代入已知角度得 \(30^\circ + 45^\circ + \angle C =
180^\circ\)，解得 \( \angle C = 105^\circ \)。

9. 若 \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = 5 \)，\( \sqrt{a} - \sqrt{b} = 1 \)，则
\(ab = \)。

答案：16
解析：由 \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = 5 \) 和 \( \sqrt{a} - \sqrt{b} = 1 \)，可得 \( \sqrt{a} = 3 \)，\( \sqrt{b} = 2 \)。

所以 \(ab = 3^2 \times 2^2 = 9 \times 4 = 36\)。

10. 若 \( \sin \theta = \frac{1}{2} \)，\( \cos \theta =
\frac{\sqrt{3}}{2} \)，则 \( \tan \theta = \)。

答案：\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
解析：由三角函数的定义，\( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos
\theta} \)。

代入已知值得 \( \tan \theta =
\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} =
\frac{\sqrt{3}}{3} \)。

三、解答题（共60分）
（一）计算题（每题10分，共30分）
11. 计算：\( \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{5}{6} \times
\frac{2}{3} \)。

答案：\(\frac{5}{6}\)
解析：\( \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \)，
\( \frac{5}{6} \times \frac{2}{3} = \frac{5}{9} \)。

所以 \( \frac{1}{2} + \frac{5}{9} = \frac{9}{18} + \frac{10}{18} = \frac{19}{18} =
\frac{5}{6} \)。

12. 计算：\( (x^2 + 2x + 1)^2 \)。

答案：\( (x + 1)^4 \)
解析：\( (x^2 + 2x + 1)^2 = (x + 1)^2 \times (x + 1)^2 = (x + 1)^4 \)。

13. 计算：\( \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} -
\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \)。

答案：\( \sqrt{3} - \sqrt{2} \)
解析：\( \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} -
\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \)。

（二）应用题（每题20分，共40分）
14. 一辆汽车从A地出发，以每小时60公里的速度行驶，经过2小时到达B地。

然后以每小时50公里的速度返回A地，问返回A地需要多少时间？
答案：4小时
解析：从A地到B地的距离为 \(60 \times 2 = 120\) 公里。

以每小时50公里的速度返回A地，需要 \(120 \div 50 = 2.4\) 小时，即4小时。

15. 一块正方形菜地，边长为20米。

在菜地中，有一个圆形池塘，半径为5米。

问菜地中除去池塘后，剩余部分的面积是多少？
答案：325平方米
解析：正方形菜地的面积为 \(20 \times 20 = 400\) 平方米，圆形池塘的面积为 \( \pi \times 5^2 = 25\pi \) 平方米。

所以剩余部分的面积为 \(400 - 25\pi \approx 325\) 平方米。