高考数学压轴专题最新备战高考《空间向量与立体几何》全集汇编含答案解析

数学高考《空间向量与立体几何》试题含答案
一、选择题
1．已知三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，APB BPC CPA ∠>>∠，PO ⊥平面ABC 于O ，设二面角P AB O --，P BC O --，P CA O --分别为,,αβγ，则（ ） A ．αβγ>>
B ．γβα>>
C ．βαγ>>
D ．不确定
【答案】A
【解析】
【分析】 D 为AB 中点，连接,DP DO ，故PD AB ⊥，计算sin cos 2
PO
APB a α=∠，sin cos 2PO CPB a β=∠，sin cos 2
PO CPA a γ=∠，得到大小关系. 【详解】
如图所示：设PA PB PC a ===，D 为AB 中点，连接,DP DO ，故PD AB ⊥， PO ⊥平面ABC ，故PDO ∠为二面角P AB O --的平面角.
cos 2APB PD a ∠=，sin cos 2
PO PO APB PD a α==∠， 同理可得： sin cos 2PO CPB a β=
∠，sin cos 2
PO CPA a γ=∠， APB BPC CPA ∠>∠>∠，故sin sin sin αβγ>>，故αβγ>>. 故选：A .
【点睛】
本题考查了二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
2．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）
A ．12
B 2
C ．22
D 3【答案】B
【解析】
【分析】
如图建立空间直角坐标系，可证明1A D ⊥平面11ABC D ，故平面11ABC D 的一个法向量
为：1DA u u u u r ，利用点到平面距离的向量公式即得解.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则：
1111(,,1),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1)22
O D A B C 111(,,0)22
OD ∴=--u u u u r 由于AB ⊥平面111,ADD A AD ⊂平面11ADD A
1AB A D ∴⊥，又11AD A D ⊥，1AB AD I
1A D ∴⊥平面11ABC D 故平面11ABC D 的一个法向量为：1(1
,0,1)DA =u u u u r O ∴到平面11ABC D 的距离为：
1111||224||2
OD DA d DA ⋅===u u u u r u u u u r u u u u r 故选：B
【点睛】
本题考查了点到平面距离的向量表示，考查了学生空间想象，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.
3．已知正方体1111A B C D ABCD -的棱1AA 的中点为E ，AC 与BD 交于点O ，平面α过点E 且与直线1OC 垂直，若1AB =，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为( ) A ．64 B ．62C ．32 D ．34
【答案】A
【解析】
【分析】
根据正方体的垂直关系可得BD ⊥平面11ACC A ，进而1BD OC ⊥，可考虑平面BDE 是否
为所求的平面，只需证明1OE OC ⊥即可确定平面α.
【详解】
如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点，
1AB =，则2113122OC =+=，2113424OE =+=，2119244
EC =+=， ∴22211OC OE EC +=，1OE OC ∴⊥；又BD ⊥平面11ACC A ，
1BD OC ∴⊥，且OE BD O =I ，1OC ∴⊥平面BDE ，
且113622224
BDE S BD OE ∆==⨯⨯=g ， 即α截该正方体所得截面图形的面积为
64
. 故选:A .
【点睛】
本题考查线面垂直的判定，考查三角形面积的计算，熟悉正方体中线面垂直关系是解题的关键，属于中档题.
4．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =,123
AA =，D ，F 分别是棱AB ，1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF ∆的周长的最小值为()
A ．222
B ．232
C 62+
D 72
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正三棱柱的特征可知ABC ∆为等边三角形且1AA ⊥平面ABC ，根据1AA AD ⊥可利用勾股定理求得2DF =；把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开，可知当,,D E F 三点共线时，DE EF +取得最小值；在ADF ∆中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果.
【详解】
Q 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱 ABC ∆∴为等边三角形且1AA ⊥平面ABC AD ⊂Q 平面ABC 1AA AD ∴⊥ 132DF ∴=+=
把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开，如下图所示：
当,,D E F 三点共线时，DE EF +取得最小值
又150FAD ∠=o ，3AF =1AD =
()2
2min 32cos 42372DE EF AF AD AF AD FAD ⎛⎫∴+=+-⋅∠=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭DEF ∴∆72+
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.
5．以下说法正确的有几个（ ）
①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】B
【解析】
【分析】
对四个说法逐一分析，由此得出正确的个数.
【详解】
①错误，如空间四边形确定一个三棱锥. ②错误，直线可能和平面相交. ③正确，根据公理二可判断③正确. ④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有1个，故选B.
【点睛】
本小题主要考查空间有关命题真假性的判断，属于基础题.
6．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12
．则下列结论中正确的个数为
①AC ⊥BE ；
②EF ∥平面ABCD ；
③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；
④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】B
【解析】
试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确
考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质
7．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．643π
B ．8316ππ+
C ．28π
D ．8216ππ+ 【答案】B
【解析】
【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可．
【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积22221183242231633V r h r l πππππ=⋅+⋅=⋅+
⋅⋅=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
8．若四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和为（ ）
A ．2
B ．25+
C ．425+
D ．4
【答案】B
【解析】
【分析】 根据四面体的三视图可知：一侧面垂直于底面，且底面是以该侧面与底面的交线为直角边的直角三角形，然后根据面面垂直的性质定理，得到与底面的另一直角边为交线的侧面为直角三角形求解.
【详解】
由四面体的三视图可知：平面PAB ⊥平面ABC ，BC AB ⊥，
所以BC ⊥平面PAB ，所以BC PB ⊥，
所以,ABC PBC V V 是直角三角形，
如图所示：
所以直角三角形的面积和
为:11112252252222
ABC PBC S S AB BC PB BC +=
⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+=+V V 故选：B
【点睛】
本题主要考查三视图的应用以及线面垂直，面面垂直的关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
9．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（ ）
A ．,,m l m l βα⊥⊂⊥
B ．,,m l l m αβα⊥⋂=⊂
C ．//,,m l m l αβ⊥⊥
D ．,//,//l m l m αβ⊥
【答案】D
【解析】
【分析】 A ，有可能出现α，β平行这种情况.B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.C ，根据面面平行的性质定理判断.D ，根据面面垂直的判定定理判断.
【详解】
对于A ，m l ⊥，m β⊂，若l β⊥，则//αβ，故A 错误；
对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；
对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，又因为l βαβ⊥⇒∥，故C 错误； 对于D ，l α⊥，m l m α⇒⊥∥，又由m βαβ⇒⊥∥，故D 正确.
故选：D
【点睛】
本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
10．设A ，B ，C ，D 是同一个球面上四点，ABC ∆是斜边长为6的等腰直角三角形，若三棱锥D ABC -体积的最大值为27，则该球的表面积为（ ）
A ．36π
B ．64π
C ．100π
D ．144π
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意画出图形，求出三棱锥D ABC -的外接球的半径，代入表面积公式求解．
【详解】
解：如图，
ABC ∆是斜边BC 长为6的等腰直角三角形，则当D 位于直径的端点时，三棱锥D ABC -体积取最大值为27，
由AB AC =，AB AC ⊥，6BC =，可得斜边BC 上的高3AE =，32AB AC ==
由1132322732
DE ⨯⨯⨯⨯=，解得9DE =， 则2
1AE EF DE
==． ∴球O 的直径为10DE EF +=，
则球O 的半径为11052
⨯=． ∴该球的表面积为245100S ππ=⨯=．
故选C ．
【点睛】
本题考查多面体外接球表面积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
11．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”.题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所示（单位：尺），问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（取整数）（ ）
A ．441斛
B ．431斛
C ．426斛
D ．412斛
【答案】A
【解析】
【分析】 由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．由体积计算公式即可得出．
【详解】
解：由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．
∴体积1
171278127142V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，
∴粮仓可以储存的粟米7144411.62=≈斛．
故选：A ．
12．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D 是11A B 的中点，则AD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ）
A ．5
B ．25
C ．10
D ．15 【答案】D
【解析】
【分析】
先找出直线AD 与平面11BCC B 所成角，然后在1B EF V 中，求出1sin EB F ∠，即可得到本题答案.
【详解】
如图，取AB 中点E ，作EF BC ⊥于F ，
连接11,B E B F ，则1EB F ∠即为AD 与平面11BCC B 所成角.
不妨设棱长为4，则1,2BF BE ==，
13,25EF B E ∴=1315sin 25EB F ∴∠=
=. 故选：D
【点睛】 本题主要考查直线与平面所成角的求法，找出线面所成角是解决此类题目的关键.
13．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）
A ．22
B ．23
C ．4
D ．26
【答案】B
【解析】 解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC - ， 其中面积最大的面为：1232232
PAC S V =
⨯⨯= . 本题选择B 选项.
点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．
14．已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，
23AC AB =，若四面体P ABC -的体积为32
，求球的表面积( )
A ．8π
B ．12π
C ．83π
D ．123π
【答案】B
【解析】
【分析】 依据题意作出图形，设四面体P ABC -的外接球的半径为R ，由题可得：AB 为球的直径，即可求得：2AB R =，3AC R =
， BC R =，利用四面体P ABC -的体积为32列方程即可求得3R =
，再利用球的面积公式计算得解。

【详解】 依据题意作出图形如下：
设四面体P ABC -的外接球的半径为R ，
因为球心O 在AB 上，所以AB 为球的直径，
所以2AB R =，且AC BC ⊥
由23AC =可得：3AC R =， BC R =
所以四面体P ABC -的体积为111333322ABC V S PO R R R ∆=
⋅=⨯⨯⨯= 解得：3R =所以球的表面积2412S R ππ==
故选：B
【点睛】
本题主要考查了锥体体积公式及方程思想，还考查了球的表面积公式及计算能力，考查了空间思维能力，属于中档题。

15．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43
BAC AP ∠==，23AB AC ==P ABC -的外接球的表面积为（ ）
A ．32π
B ．48π
C ．64π
D ．72π
【答案】C
【解析】
【分析】 先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==，由于PA
⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可.
【详解】 在ABC V 中，23AB AC ==，23BAC π∠=，可得6
ACB π∠=， 则ABC V 的外接圆的半径2323π
2sin 2sin 6
AB r ACB ===，取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，
则222OA OG AG =+，即外接球半径()222234R =+=，
则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=.
故选C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
16．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件.
【详解】
当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B.
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
17．在空间中,下列命题为真命题的是( ).
A ．对于直线,,a b c ,若,a c b c ⊥⊥则//a b
B ．对任意直线a ,在平面α中必存在一条直线b 与之垂直
C ．若直线a ,b 与平面α所成的角相等,则a ∥b
D ．若直线a ,b 与平面α所成的角互余,则a ⊥b
【答案】B
【解析】
【分析】
通过空间直线与直线的位置关系判断选项的正误即可。

【详解】
若,a c b c ⊥⊥则a 与b 可能平行，相交，异面，所以，A 假；
若直线在平面内,则在平面内必可作出其垂线，若直线在平面外，作出直线在平面内的射影，在平面内只要作射影的垂线即可垂直于此直线，B 真；
设当a 、b 与平面α所成的角都为45°，则//a b ，a b ⊥r r
都有可能，C 、D 均为假，故选：B 。

【点睛】
本题考查直线与直线的位置关系的判断与应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力，属于中等题。

18．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）
∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题
又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点
∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题；
故p 是q 的必要不充分条件
故选B
19．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )
A ．15
B ．5
C ．6
D ．104
【答案】D
【解析】
【分析】
取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．
【详解】
由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,
所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，
设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===，
设直线AM 与1C N 所成角为θ，
在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 42522
θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为10，故选D ．
【点睛】
本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
20．如图所示，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中1AB =，2AD =，3AA '=，90BCD ∠=︒，60BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（ ）
A 13
B 23
C 33
D 43【答案】B
【解析】
【分析】 由向量AC AB BC CC ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r 得：()()
22AC AB BC CC ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，展开化简，再利用向量的数量积，便可得出答案.
【详解】 AC AB BC CC ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u u r Q ，
()(
)()()()222222()AC AB BC CC AB BC CC AB BC AB CC BC CC '''''∴=++=+++⋅+⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r uu u r u u u u r u u u r u u u u r ()
222291232(013cos6023cos60)142232
AC ︒︒'∴=+++⨯+⨯+⨯=+⨯=u u u u r . 23AC '∴=u u u u r ，即AC '23
故选：B.
【点睛】 本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，掌握向量法求线段长的方法是解题关键，属于中档题目.。