东城初三数学答案

东城区2013-2014学年第一学期期末统一测试 初三数学参考答案及评分标准 2014.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解方程：2
1090x x -+=.
解：变形为 2109x x -=-. ………………..1分
配方，21025925x x -+=-+. …………..……..2分 整理，得2
(5)16x -=. ………………..3分 解得，121,
9x x ==. ………………..5分
14．解：由题意可求，∠AC A ′=60°，CA=5． ………………..2分
所以60π55π180
3
cm AA ⨯'=
=
． ………………..5分
15．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AB ∥CD ．
∴ △DEF ∽△BAF ． ………………..1分 ∴ 2
4=25DEF ABF S DE S AB =⎛⎫
⎪
⎝⎭△△． ………………..2分 ∴
2
=
5
DE
AB ． ………………..3分
又∵ AB CD =, ………………..4分
∴ DE ∶EC =2∶3 ． ………………..5分
16．解：（1）由题意，有
0,
5,
938.a b c c a b c -+=⎧⎪
=-⎨⎪++=-⎩
解得⎪⎩
⎪⎨⎧-=-==.5,4,1c b a ∴此二次函数的解析式为542
--=x x y . ………………..2分 ∴9)2(2
--=x y ，顶点坐标为(2，-9). ………………..4分
（2）先向左平移2个单位，再向上平移9个单位，得到的抛物线的解析式为y = x 2
．
………………..5分
17．（1）
………………..3分
（2）（i ）如图1，点P 就是所求作的点；
（ii ）如图2，CD 为AB 边上的高.
图1 图2 ………………..5分 18．解：∵ OD ⊥AB ， ∴ AC =BC 12
AB =
． ………………..1分
设AO = x ．
在Rt △ACO 中，2
2
2
AO AC OC =+． ∴ 222
4(2)x x =+-．
解得 5x =． ………………..2分 ∴ AE =10，OC =3． ………………..3分 连结BE ． ∵ AE 是直径， ∴ ∠ABE =90°．
由OC 是△ABE 的中位线可求 26BE OC ==． ………………..4分 在Rt △CBE 中，2
2
2
CE BC BE =+．
∴ CE === ………………..5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
||ON =
||
（
（
20．解：设金色纸边的宽为x 分米 ． ………………..1分
根据题意，得 （2x ＋6）(2x ＋8)＝80.
………………..3分
解得：x 1＝1，x 2＝－8（不合题意，舍去）． ………………..4分 答：金色纸边的宽为1分米．
………………..5分
21．解：（1）直线BD 与⊙O 的位置关系是相切．
证明：连结OD ，DE . ∵∠C =90°，
∴∠CBD +∠CDB =90°． ∵∠A =∠CBD ， ∴∠A +∠CDB =90°． ∵OD = OA ， ∴∠A =∠ADO ． ∴∠ADO + ∠CDB =90°． ∴∠ODB = 180° - 90°=90°． ∴OD ⊥BD ． ∵OD 为半径，
∴BD 是⊙O 切线． ………………..2分 （2）∵AD : AO =8 : 5，
∴AD AE =8
10． ∴由勾股定理得AD : DE : AE = 8 : 6 : 10．
∵∠C =90°，∠CBD =∠A . ∴△BCD ∽△ADE ．
∴DC : BC : BD = DE : AD : AE =6 : 8 : 10． ∵BC =3，
∴BD =
15． ………………..5分
………………..2分 图1 图2 ）
32
BC AB
=
． ………….. 5分
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23. 解：（1）证明：
2
()2()y a x m a x m =---
2
2
(22)2.ax am a x am am =-+++ ……………………………..1分
22
=(22)4(2)a am a a am am ≠∆++-当0时， 2
4.a = …………………………..2分
∵0,a ≠
∴2
40.a >
∴不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点．…………..3分 （2）2
()2()
y a x m a x m =---
2
=(1).a x m a --- (1,).C m a ∴+-
…………………………4分 当y =0时， 解得x 1 = m ，x 2 = m + 2.
∴AB =（m + 2）- m = 2. ………………………………..5分
当△ABC 是等腰直角三角形时，可求出AB 边上高等于1． ∴ 1a -=．
∴ 1a =±． ……………………………………………..7分
24．解：（1）①线段DE 与AC 的位置关系是 平行 ． …………………..1分 ②S 1与S 2的数量关系是 相等 ．
证明：如图2，过D 作DN ⊥AC 交AC 于点N ，过E 作EM ⊥AC 交AC 延长线于M ，过C 作CF ⊥AB 交AB 于点F ．
由①可知 △ADC 是等边三角形，DE ∥AC ， ∴DN =CF , DN =EM ．
∴CF =EM ．
∵90,30ACB B ∠=︒∠=︒， ∴2AB AC =． 又∵AD AC =,
∴BD AC =． 图2 ∵112
S CF BD =
，212
S AC EM =
，
∴1S =2S ． …………………..3分
（2）证明：如图3，作DG ⊥BC 于点G ，AH ⊥CE 交EC 延长线于点H .
∵90,180DCE ACB DCG ACE ∠=∠=︒∴∠+∠=︒． 又∵180,ACH ACE ACH DCG ∠+∠=︒∴∠=∠．
又∵90,CHA CGD AC CD ∠=∠=︒=,
∴△AHC ≌△DGC ．
∴AH =DG ．
又∵CE =CB , 图3 ∴12S S =． ……………………..7分
25．解：（1）由题意可知 44m =，1m =．
∴ 二次函数的解析式为2
4y x =-+．
∴ 点A 的坐标为（- 2, 0）． …………………………..2分
（2）①∵ 点E （0,1），由题意可知，
2
41x -+=．
解得 x =
∴ AA ′ ……………………………..3分
②如图，连接EE ′．
由题设知AA ′=n （0＜n ＜2），则A ′O = 2 - n ． 在Rt △A ′BO 中，由A ′B 2
= A ′O 2
+ BO 2
， 得A ′B 2
=(2–n )2
+ 42
= n 2 - 4n + 20． ∵△A ′E ′O ′是△AEO 沿x 轴向右平移得到的， ∴EE ′∥AA ′，且EE ′=AA ′． ∴∠BEE ′=90°，EE ′=n ． 又BE =OB - OE =3.
∴在Rt △BE ′E 中，BE ′2
= E ′E 2
+ BE 2
= n 2
+ 9， ∴A ′B 2
+ BE ′2
= 2n 2
- 4n + 29 = 2(n –1)2
+ 27．
当n = 1时，A ′B 2
+ BE ′2
可以取得最小值，此时点E ′的坐标是（1，1）．
……………………………..5分
③如图，过点A 作AB ′⊥x 轴，并使AB ′ = BE = 3． 易证△AB ′A ′≌△EBE ′， ∴B ′A ′ = BE ′，
∴A ′B + BE ′ = A ′B + B ′A ′．
当点B ，A ′，B ′在同一条直线上时，A ′B + B ′A ′最小，即此时A ′B +BE ′取得最小值． 易证△AB ′A ′∽△OBA ′，
∴34
AA AB A O OB ''=='， ∴AA ′=36277
⨯=，
∴EE ′=AA ′=6
7
，
∴点E ′的坐标是（6
7
，1）． ………………………………………….8分。