辽宁省本溪市第二十一中学2020年高三数学文月考试题含解析

辽宁省本溪市第二十一中学2020年高三数学文月考试
题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列的前项和为，且，则公差等于
A．－1 B．1 C．2 D．－2
参考答案：
D
2. 若不等式在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
3. 函数的图象大致为
参考答案：
A
，即，选A.
4. 函数的值域为（）
A． B． C． D ．
参考答案：
B
5. 函数f(x)＝sinx－cosx（x∈）的单调递减区间是（）
（A）（B）[，]
（C）[，π]（D）[，
]
参考答案：
C
试题分析：,
令,解得,
,所以此函数的单调减区间为,故C正确.
考点：1三角函数的化简;2三角函数的单调性.
6. 已知抛物线，过其焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，若
，且抛物线C上存在点M与x轴上一点关于直线l对称，则该抛物线
的焦点到准线的距离为（）
A. 4
B. 5
C.
D. 6
参考答案：
D
分析：设抛物线与的准线为，如图所示，当直线的倾斜角为锐角时，分别过点作，垂足为，过点作交于点，则，，
，在中，由，
可得，由于，可得即可得到
，当直线的倾斜角为钝角时，同理可得.
详解：
设抛物线与的准线为，
如图所示，当直线的倾斜角为锐角时，
分别过点作，垂足为，
过点作交于点，
则，，
，
在中，由，可得，
轴，，，
直线方程，由可得
点的坐标：, ，
代入抛物线的方程化简可得：，
该抛物线的焦点到准线的距离为，故选D.
点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于难题.抛物线中与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
7. 在区间和分别取一个数,记为，则方程表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆的概率为（）
....
参考答案：
B
【知识点】椭圆的简单性质H5 K3
解析：∵表示焦点在x轴上且离心率小于，
∴a＞b＞0，a＜2b，它对应的平面区域如图中阴影部分所示：
则方程表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为
P==，故选B．
【思路点拨】表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆时，（a，b）点对应的平面图形的面积大小和区间[1，5]和[2，4]分别各取一个数（a，b）点对应的平面图形的面积大小，并将他们一齐代入几何概型计算公式进行求解．
8. 设,且=则（）
A．0≤≤B．≤≤C．≤≤ D．≤≤
参考答案：
B
9. 已知集合A={x|lg(x-2)≥0},B={x|x≥2},全集U=R,则(C U A)∩B=
A. {x|-1＜x≤3}
B. {x|2≤x﹤3}
C. {x|x=3}
D.
参考答案：
B
10. 设x∈R，则“x﹣2＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
D
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，由x﹣2＜1得x＜3
即“x﹣2＜1”是“x2+x﹣2＞0”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数，其中，则的展开式中的系数为
_________．
参考答案：
10
12. 抛物线的焦点坐标为；
参考答案：
略
13. 已知函数瑞任意的恒成立，则的取值范围是
参考答案：
略
14. 设H是△ABC的垂心，且，则cos∠AHB= ．
参考答案：
15. 已知圆C过点，且圆心在x轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线l平行的直线方程为________.
参考答案：
x-y+3=0
16. 某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 __________.
参考答案：
12
由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成，梯形面积即是主视图和侧视图的面积.故梯形面积之和为.
17. 不等式的解为 .
参考答案：
由得，即，所以不等式的解集为。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示。

（1）求第3、4、5组的频率；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率。

参考答案：
解：（1）由题设可知，第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为
0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1。

（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10。

因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为第3组：，第4组：，第5组：，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。

（3）设第3组的3名学生分别为A1、A2、A3-，第4组的2名学生分别为B1、
B2，第5组的1名学生为C1，则从6名学生中抽取两位学生有：（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1，C1）、（A2，A3）、（A2，B1）、（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），
（B1，C1），（B2，C1），共15种可能。

其中第4组的2位学生B1，B2至少有一位学生入选的有：（A1，B1）、（A1，B2）、(A2，B1）、（A2，B2），（A3，
B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共9种可能，所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为。

略
19. [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；
（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）把参数方程化为直角坐标方程，求出圆心的直角坐标，再把它化为极坐标．
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离d，再利用弦长公式求得弦长．【解答】解：（Ⅰ）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为x﹣y+1=0，
圆C2的直角坐标方程（x+1）2+=4，
所以圆心的直角坐标为（﹣1，），
所以圆心的一个极坐标为（2，）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离d==，
所以AB=2=．
20. 已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞0．时，求证：f（x）≥a（1﹣）；
（Ⅲ）在区间（1，e）上e﹣e＜0恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a的值；（Ⅱ）求函数的导数，利用导数法即可证明表达式；
（Ⅲ）利用导数和函数最值之间的关系即可求解．
解答：解：（I），，a=4．…
（Ⅱ）令．…
令g'（x）＞0，即，解得x＞1，
所以g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
所以g（x）最小值为g（1）=0，所以．…
（Ⅲ）由题意可知，化简得，a＞．…
令h（x）=，则h′（x）=，
∴．…
由（Ⅱ）知，在x∈（1，e）上，lnx﹣1+＞0，
∴h′（x）＞0，即函数h（x）在（1，e）上单调递增，
∴h（x）＜h（e）=e﹣1．…，
∴a≥e﹣1．…
点评：本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及导数和不等式之间的关系，考查学生的运算和推理能力．
21. （14分）设，若 a+b+c=0，，求证
（Ⅰ）方程有实根；
（Ⅱ）设是方程的两个实根，则.
参考答案：
解析：（Ⅰ）若 a = 0，则 b = －c，，与已知矛盾，所以 a ≠ 0。

方程= 0的判别式
由条件 a + b + c = 0，消去 b，得
故方程有实
根.
……4分
（Ⅱ）由条件，得，
由条件，消去c，得，故。

……8分由条件，知, ,
所以
……11分
因为所以，故 (14)
分
22. （本小题满分14分）设，
（1）若的图像关于对称，且，求的解析式；
（2）对于（1）中的，讨论与的图像的交点个数.
参考答案：。