2013年上海市闵行区高考数学二模试卷(文科)含详解

2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编
号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．（4分）方程组的增广矩阵为．
2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N=．3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．
4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：
运算
次
数
1…456…
解的
范
围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，
0.34375）
（0.3125，0.328125）…
若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为．
5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量
，若，则实数k的值为．
6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是．
7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则
该圆锥的侧面积为．
8．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=65，则n+d 的最小值等于．
9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=．
11．（4分）袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为．
12．（4分）设f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（2）的最大值为．
13．（4分）已知△ABC的重心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=．14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）≤3x，f（x+4）﹣f（x+2）≥9×3x，则f（8）=．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生
应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）
A．15B．﹣15C．6D．﹣6
16．（5分）在△ABC中，“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小值是（）
A．﹣1B．0C．D．
18．（5分）给出下列四个命题：
①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面的对应点的轨迹是椭圆．
②若对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则数列{a n}是等差
数列或等比数列．
③设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，
则f（x）是R上的奇函数或偶函数．
④已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是
C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．
上述命题中错误的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相
应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．
（1）求三棱锥A1﹣B1C1F的体积；
（2）求异面直线BE与A1F所成的角的大小．
20．（14分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：
①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出
θ的范围．
②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x
的范围．
（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．
21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过
两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．22．（16分）已知函数．
（1）当a=1时，指出f（x）的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；
（2）当a=1时，求函数y=f（2x）的零点；
（3）若对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．23．（18分）过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，数列{a n}的前n 项的和为S n．
（1）求a1，a2；
（2）求a n，S n；
（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，若正整数p，q，r，s 成等差数列，且p＜q＜r＜s，试比较T p•T s与T q•T r的大小．
2013年上海市闵行区高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编
号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）方程组的增广矩阵为．
【考点】OC：几种特殊的矩阵变换．
【专题】29：规律型．
【分析】理解方程增广矩阵的涵义，即可由二元线性方程组，写出增广矩阵．【解答】解：由题意，方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵
故方程组的增广矩阵是．
故答案为：．
【点评】本题的考点是二元一次方程组的矩阵形式，主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．
2．（4分）已知集合M={x|x2＜4，x∈R}，N={x|log2x＞0}，则集合M∩N={x|1＜x＜2}．
【考点】1E：交集及其运算．
【专题】11：计算题．
【分析】通过求解二次不等式和对数不等式化简集合M与集合N，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：由M={x|x2＜4，x∈R}={x|﹣2＜x＜2}，
N={x|log2x＞0}={x|x＞1}，
则集合M∩N={x|﹣2＜x＜2}∩{x|x＞1}={x|1＜x＜2}．
故答案为{x|1＜x＜2}．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了二次不等式和对数不等式的解法，是基础题．
3．（4分）若，且为实数，则实数a的值为．
【考点】A5：复数的运算；ON：二阶行列式与逆矩阵．
【专题】11：计算题．
【分析】根据题意求得=3﹣4i，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简，再根据为实数求得a的值．
【解答】解：∵z1=a+2i ，=3﹣4i，
∴===．
再由为实数，可得6+4a=0，a=﹣，
故答案为﹣．
【点评】本题主要考查行列式的运算，两个复数代数形式的乘除法法则，属于基础题．
4．（4分）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0，借助计算器经过若干次运算得下表：
运算
次
数
1…456…
解的
范
围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，
0.34375）
（0.3125，0.328125）…
若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为 5.3．
【考点】55：二分法的定义与应用．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】区间长度要小于精度0.1，且区间端点对应的函数值的符号相反，满足此两个条件即可求出n和x0的值．
【解答】解：根据运算得下表：
运算1…456…
次数
解的
范
围（0，0.5）…（0.3125，0.375）（0.3125，
0.34375）
（0.3125，0.328125）…
因为f（0.3125）＜0，且f（0.34375＞0，
满足f（0.3125）×f（0.34375）＜0，
且区间长度：0.34375﹣0.3125=0.03125＜0.1，
∴n=5，x0=0.3，n+x0=5.3．
故答案为：5.3．
【点评】不断将区间（0，0.5）二等分时，每次都取端点函数值异号的区间，直到区间长度小于或等于题目所给的精度为止．
5．（4分）已知是夹角为的两个单位向量，向量
，若，则实数k 的值为．
【考点】96：平行向量（共线）；9S：数量积表示两个向量的夹角．
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】由题意可得是平面向量的一个基底，再由平面内两个向量共线的条件可得，由此解得k的值．
【解答】解：由题意可得=0，且是平面向量的一个基底．
∵向量，且，∴，解得k=﹣，
故答案为﹣．
【点评】本题主要考查平面内两个向量共线的条件，基底的定义，属于中档题．6．（4分）某工厂对一批产品进行抽样检测，根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知产品净重的范围是区间[96，106]，样本中净重在区间[96，100）的产品个数是24，则样本中净重在区间[100，104）的产品个数是44．
【考点】B8：频率分布直方图．
【专题】27：图表型．
【分析】根据频率直方图的意义，由样本中净重在[96，100）的产品个数是24可求样本容量，进而求得样本中净重在[100，104）的产品个数．
【解答】解：由题意可知：样本中净重在[96，100）的产品的频率=（0.05+0.1）×2=0.3，
∴样本容量==80，
∴样本中净重在[100，104）的产品个数=（0.15+0.125）×2×80=44．
故答案为：44．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查．频率、频数的关系：频率=频数÷数据总和．
7．（4分）一个圆锥的底面积为4π，且该圆锥的母线与底面所成的角为，则该圆锥的侧面积为8π．
【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】5F：空间位置关系与距离．
【分析】利用圆锥的底面积为4π求出其底面半径，利用圆锥的母线与底面所成的角为求出母线长，最后利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【解答】解：依题意圆锥的底面积为4π，知底面半径r=2，
又该圆锥的母线与底面所成的角为，故母线长l=2r=4，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×2×4=8π．
故答案为：8π．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
8．（4分）公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，若a1=1，a n=65，则n+d 的最小值等于17．
【考点】84：等差数列的通项公式．
【专题】54：等差数列与等比数列．
【分析】利用等差数列的通项公式即可得到，可得n+d=n+=，利用基本不等式即可得出．
【解答】解：∵公差为d，各项均为正整数的等差数列{a n}中，a1=1，a n=65，
∴d＞0，n＞1，1+（n﹣1）d=65，
∴，
∴n+d=n+==17，当且仅当，n＞1，即n=9，d=8时取等号．
因此n+d的最小值等于17．
故答案为17．
【点评】熟练掌握等差数列的通项公式、基本不等式的性质是解题的关键．9．（4分）设双曲线x2﹣y2=6的左右顶点分别为A1、A2，P为双曲线右支上一点，且位于第一象限，直线P A1、P A2的斜率分别为k1、k2，则k1•k2的值为1．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设点P（x0，y0），则点P的坐标满足双曲线的方程．利用双曲线x2﹣y2=6的方程即可得到顶点A1、A2的坐标，利用斜率计算公式即可得到直线P A1、P A2的斜率并相乘得k1•k2=即可证明．
【解答】解：设点P（x0，y0），则．
由双曲线x2﹣y2=6得a2=6，解得．
∴，．
∴k1•k2===1．
故答案为1．
【点评】熟练掌握双曲线的方程及其性质、斜率计算公式是解题的关键．10．（4分）设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC 的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=4．
【考点】HR：余弦定理．
【专题】58：解三角形．
【分析】根据S=a2﹣（b﹣c）2 =bc•sin A，把余弦定理代入化简可得4﹣4cos A=sin A，由此求得的值．
【解答】解：∵△ABC的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2 =a2﹣b2﹣c2+2bc=bc•sin A，∴由余弦定理可得﹣2bc•cos A+2bc=bc•sin A，
∴4﹣4cos A=sin A，
∴==4，
故答案为4．
【点评】本题主要考查三角形的面积公式，余弦定理的应用，属于中档题．11．（4分）袋中装有7个大小相同的小球，每个小球上标记一个正整数号码，号码各不相同，且成等差数列，这7个号码的和为49，现从袋中任取两个小球，则这两个小球上的号码均小于7的概率为．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【专题】5I：概率与统计．
【分析】由题意可得该等差数列为1，3，5，7，9，11，13，总的方法种数为=21，而符合条件的共有=3种，代入概率公式可得答案．
【解答】解：由题意设等差数列为{a n}，
可得其和S7===7a4=49，
故a4=7，又该数列为整数，
故可得该数列为1，3，5，7，9，11，13，
故任取两个球的方法种数为=21，
两个小球上的号码均小于7，只需从1，3，5三个号码中任取两个即可，
故共有=3种，故所求概率为=
故答案为：
【点评】本题考查古典概型及计算公式，由题意得出该数列是解决问题的关键，属基础题．
12．（4分）设f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（2）的最大值为14．
【考点】3T：函数的值；7C：简单线性规划．
【专题】11：计算题．
【分析】通过已知条件求出a、b满足的不等式，求出f（2）的表达式，利用不等式的基本性质求解即可．
【解答】解：因为f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，
所以1≤a﹣b≤2，…①，
2≤a+b≤4，…②，
由②×3+①可得：5≤4a+2b≤14
又f（2）=4a+2b，
所以f（2）的最大值为：14．
故答案为：14．
【点评】本题考查不等式的基本性质的应用，也可以利用线性规划解答本题，由于a、b是互相影响与制约的，不可以求出a、b的范围来解答，会使范围扩大，是易错点．
13．（4分）已知△ABC的重心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则=．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】5A：平面向量及应用．
【分析】利用重心的性质和向量的运算法则可得可得，再利用数量积的运算性质即可得出．
【解答】解：设D为边BC的中点，如图所示，则．
根据重心的性质可得==．
∴====．
故答案为．
【点评】熟练掌握重心的性质和向量的运算法则、数量积的运算性质是解题的关键．
14．（4分）设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=，且对任意的x∈R，满足f（x+2）﹣f（x）≤3x，f（x+4）﹣f（x+2）≥9×3x，则f（8）=．【考点】3R：函数恒成立问题．
【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】先由题目中的两个不等式推导出f（x+4）﹣f（x+2）的值，然后再用累加法和等比数列求和公式即可求解
【解答】解：∵f（x+2）﹣f（x）≤3x，
∴f（x+4）﹣f（x+2）≤3x+2=9•3x，
又f（x+4）﹣f（x+2）≥9×3x，
∴f（x+4）﹣f（x+2）=9×3x，=3x+2，
∴f（2）﹣f（0）=30，
f（4）﹣f（2）=32，
f（6）﹣f（4）=34，
f（8）﹣f（6）=36，
以上各式相加得，f（8）﹣f（0）=，
∴f（8）=f（0）+=+=，
故答案为：．
【点评】本题及考察了抽象函数的相关知识，又考察了数列中的累加法和等比数
列求前n项和公式，注重知识点的交汇和灵活运用．属难题
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生
应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）二项式展开式中x4的系数为（）
A．15B．﹣15C．6D．﹣6
【考点】DA：二项式定理．
【专题】11：计算题．
【分析】由题可得，展开式的通项为T r+1==令6﹣2r=4可求r，代入即可求解系数
【解答】解：由题可得，展开式的通项为T r+1==
令6﹣2r=4可得r=1
此时x4=﹣6x4，即系数为﹣6
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
16．（5分）在△ABC中，“”是“△ABC是钝角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】11：计算题．
【分析】由”可得“△ABC是钝角三角形”，而“△ABC是钝角三角形”推不出角A为钝角，由充要条件的定义可得答案．
【解答】解：由题意可知若“”则必有角A为钝角，可得“△ABC是钝角三角形”，
而“△ABC是钝角三角形”不一定角A为钝角，可能角B或C为钝角，故推不
出角A为钝角，
故可得“”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角形形状的判断和向量的数量积问题，属基础题．
17．（5分）设函数，则函数f（x）的最小值是（）
A．﹣1B．0C．D．
【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．
【专题】57：三角函数的图像与性质．
【分析】根据x的范围把分段函数分段，配方后求出函数在两个区间段内最小值，则函数在整个定义域内的最小值可求．
【解答】解：由，
当时，0≤sin x≤1，
f（x）=sin x+cos2x=﹣2sin2x+sin x+1=．
此时当sin x=1时f（x）有最小值为；
当时，﹣1≤sin x＜0，
f（x）=﹣sin x+cos2x=﹣2sin2x﹣sin x+1=．
此时当sin x=﹣1时f（x）有最小值．
综上，函数f（x）的最小值是0．
故选：B．
【点评】本题考查了函数的定义域与值域，考查了分段函数值域的求法，训练了利用配方法求函数的值域，分段函数的值域是各区间段内值域的并集，此题是基础题．
18．（5分）给出下列四个命题：
①如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2，则复数z在复平面的对应点的轨迹是椭圆．
②若对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，则数列{a n}是等差
数列或等比数列．
③设f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，
则f（x）是R上的奇函数或偶函数．
④已知曲线和两定点E（﹣5，0）、F（5，0），若P（x，y）是
C上的动点，则||PE|﹣|PF||＜6．
上述命题中错误的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
【考点】2K：命题的真假判断与应用．
【专题】21：阅读型．
【分析】①依据|Z+i|+|Z﹣i|=2的几何意义得到对应点的轨迹是线段；
②由于对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，
则由两因式分别为0，可求出数列{a n}的递推公式，继而可得到数列是等差数列或等比数列；
③由于对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）=f（﹣x）或f（x）=
﹣f（﹣x），则可判断函数的奇偶性；
④若设P（x，y）（x＞0，y≥0），则可将曲线化简为（x
＞0，y≥0）
再画出图形，找到特殊点，当y=0时，即可求出||PE|﹣|PF||的值，继而判断正误．【解答】解：①|Z+i|表示复平面上，点Z与点﹣i的距离，|Z﹣i|表示复平面上，点Z与点i的距离，
∴|Z+i|+|Z﹣i|=2，表示复平面上，点Z与点i、﹣i的距离之和等于2．则对应点的轨迹是线段，故①错；
②由于对任意的n∈N*，（a n+1﹣a n﹣1）（a n+1﹣2a n）=0恒成立，
则（a n+1﹣a n﹣1）=0或（a n+1﹣2a n）=0，所以a n+1﹣a n=1或a n+1=2a n，则数列{a n}是等差数列或等比数列，故②正确；
③由于对任意的x∈R，|f（x）|=|f（﹣x）|恒成立，则f（x）=f（﹣x）或f（x）=
﹣f（﹣x），则f（x）是R上的偶函数或奇函数，故③正确；
④设P（x，y）（x＞0，y≥0）是C上的动点曲线，则（x
＞0，y≥0）
又由于两定点E（﹣5，0）、F（5，0），则P、E、F三点位置如图示．
当y=0时，P点与Q点重合，即||PE|﹣|PF||=||QE|﹣|QF||=6，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是，判断命题真假，属于基础题．我们需对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．
三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相
应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB=AC=2，AA1=6，点E、F分别在棱AA1、CC1上，且AE=C1F=2．
（1）求三棱锥A1﹣B1C1F的体积；
（2）求异面直线BE与A1F所成的角的大小．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LM：异面直线及其所成的角．
【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）利用直三棱柱ABC﹣A1B1C1中的性质，及三棱锥A1﹣B1C1F的体积==即可得出．
（2）连接EC，∵A1E∥FC，A1E=FC=4，可得四边形A1ECF是平行四边形，利用其性质可得A1C∥EC，可得∠BEC是异面直线A1F与BE所成的角或其补角，在△BCE中求出即可．
【解答】解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，FC1⊥平面A1B1C1，故FC1=2是三棱锥A1﹣B1C1F的高．
而直角三角形的===2．
∴三棱锥A1﹣B1C1F的体积===．（2）连接EC，∵A1E∥FC，A1E=FC=4，
∴四边形A1ECF是平行四边形，
∴A1C∥EC，
∴∠BEC是异面直线A1F与BE所成的角或其补角．
∵AE⊥AB，AE⊥AC，AC⊥AB，AE=AB=AC=2，∴EC=EB=BC=2．
∴△BCE是等边三角形．
∴∠BEC=60°，即为异面直线BE与A1F所成的角．
【点评】熟练利用直三棱柱的性质、三棱锥的体积及等体积变形、平行四边形的判定及性质、异面直线所成的角是解题的关键．
20．（14分）如图，在半径为20cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形
材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．
（1）请你在下列两个小题中选择一题作答即可：
①设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S=g（θ），求g（θ）的表达式，并写出
θ的范围．
②设BC=x（cm），矩形ABCD的面积为S=f（x），求f（x）的表达式，并写出x
的范围．
（2）怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积．
【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】51：函数的性质及应用．
【分析】（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则S=AB•BC=2OB •BC=900sin2θ，由三角函数的知识，得出S的最大值以及对应BC的值．
②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则S=AB•BC=2x=2
，由基本不等式可得S的最大值以及对应的x的取值；
（2）根据（1）问的解答，即可得出怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大及最大值．
【解答】解：如图所示，
（1）①连接OC，设∠BOC=θ，矩形ABCD的面积为S，则BC=20sinθ，OB=20cos θ（其中0＜θ＜）；
∴S=AB•BC=2OB•BC=400sin2θ，且当sin2θ=1，即θ=时，S取最大值为400，此时BC=10；
所以，取BC=10时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．
②连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S；则AB=2 （其中0＜x
＜20），
∴S=2x=2 ≤x2+（400﹣x2）=400，当且仅当x2=400﹣x2，
即x=10 时，S取最大值400；
所以，取BC=10 cm时，矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．
（2）由（1）知，取∠BOC=时，得到C点，从而截得的矩形ABCD，此时截得的矩形ABCD的面积最大，最大值为400cm2．
【点评】本题综合考查了二次函数、三角函数的最值问题，这里应用了基本不等式的方法求出了函数的最值．
21．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过
两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若平行于OM的直线l在y轴上的截距为b（b＜0），直线l交椭圆E于两个不同点A、B，直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），把点M、N 的坐标代入解出即可；
（2）利用斜截式写出直线l的方程，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，表示出直线MA与MB的斜率分别为k1、k2，即可证明：k1+k2=0．
【解答】解：（1）设椭圆E的方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）
将代入椭圆E的方程，得
解得，所以椭圆E的方程为．
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为b，又，
∴直线l的方程为．
由得x2+2bx+2b2﹣4=0，
设A（x1，y1）、B（x2，y2），则．
又，，
故=．
又，
所以上式分子=
=
故k1+k2=0．
【点评】熟练掌握椭圆的标准方程、把直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式是解题的关键．本题需要较强的计算能力．22．（16分）已知函数．
（1）当a=1时，指出f（x）的单调递减区间和奇偶性（不需说明理由）；
（2）当a=1时，求函数y=f（2x）的零点；
（3）若对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】3R：函数恒成立问题；51：函数的零点；6B：利用导数研究函数的单调性．
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】（1）当a=1时，利用分段函数的图象得出函数的单调递减区间和函数f （x）既不是奇函数也不是偶函数；
（2）当a=1时，，欲求函数y=f（2x）的零点，即求对应方程的根．由f（2x）=0解得x的值即可；
（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为，即．再构造函数，研究
其最值即可得出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，函数的单调递减区间为…（2分）
函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）
（2）当a=1时，，
由f（2x）=0得…（2分）
即或…（2分）
解得
所以或x=﹣1．…（2分）
（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，
故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为
即…（2分）
故
又函数在（0，1]上单调递增，∴…（2分）函数在上单调递减，在上单调递增，
∴；
所以，即实数a的取值范围是．…（2分）
【点评】本题以分段函数为载体，考查函数的奇偶性单调性、恒成立等问题，解题的关键是等价转化，构造新函数．
23．（18分）过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Q n﹣1Q n，…的长分别为a1，a2，a3，…，a n，…，数列{a n}的前n 项的和为S n．
（1）求a1，a2；
（2）求a n，S n；
（3）设，数列{b n}的前n项和为T n，若正整数p，q，r，s 成等差数列，且p＜q＜r＜s，试比较T p•T s与T q•T r的大小．
【考点】8E：数列的求和；8O：数列与解析几何的综合．
【专题】11：计算题；15：综合题；54：等差数列与等比数列；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，算出点P1，代入抛物线求得，同样的方法可算出；
（S n﹣1，0）建立直线Q n﹣1P n的方程，与抛物线方程消去x得关于（2）由点Q n
﹣1
|y|的方程，解出|y|关于S n的表示式，根据等边三角形性质和三角函数定义加以计算，化简整理得，用n+1代替n得到，将两式作差整理可得，从而得到{a n}是以为首项、为公差的等差数列，再用等差数列通项与求和公式可得a n、S n的表达式；
（3）由（2）得{b n}是公比、首项的正项等比数列．因此根据等比数列的求和公式，将T p•T s与T q•T r作差，结合正整数p，q，r，s成等差数列且p＜q＜r＜s，化简整理可得T p•T s﹣T q•T r=，讨论所得结果的可得T p•T s﹣T q•T r＜0，可得必定有T p•T s＜T q•T r对任意成等差数列的正整数p、q、r、s且p＜q＜r＜s都成立，得到本题答案．
【解答】解：（1）如图，由△OQ1P1是边长为a1的等边三角形，得点P1的坐标为，
又∵P1在抛物线y2=x上，
∴，得…（2分）
同理根据P2在抛物线y2=x上，可得…（4分）
的坐标为（a1+a2+a3+…+a n﹣1，0），即点（S n﹣1，0）（点（2）如图，因为点Q n
﹣1
Q0与原点重合，S0=0），
所以直线Q n
P n的方程为或，
﹣1
因此，点P n的坐标满足
消去x得，所以…（7分）
又，故
从而…①
由①有…②
②﹣①得
即（a n+1+a n）（3a n+1﹣3a n﹣2）=0，又a n＞0，于是
所以{a n}是以为首项、为公差的等差数列，
由此可得：…（10分）
（3）∵，
∴数列{b n}是正项等比数列，且公比，首项，
∵正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，设其公差为d，则d为正整数，∴q=p+d，r=p+2d，s=p+3d
则，，，…
（12分）
T p•T s﹣T q•T r==
…（14分）
而
==…（16分）
由于a＞0且a≠1，可得，
又∵d为正整数，∴与同号，
因此，，可得T p•T s＜T q•T r．
综上所述，可得若正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，必定有T p•T s ＜T q•T r．…（18分）
Q n P n 【点评】本题给出抛物线中的等边三角形，求按图中作出的等边三角形Q n
﹣1的边长a n的表达式，并设，数列{b n}的前n项和为T n，在成等差数列的正整数p、q、r、s满足且p＜q＜r＜s的情况下讨论T p•T s与T q•T r的大小关系．着重考查了抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、不等式的性质和等差等比数列的通项与求和公式等知识，属于难题．
、。