高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)正弦定理和余弦定理教学案

第七节正弦定理和余弦定理
[知识能否忆起]
1．正弦定理
2．余弦定理
3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1
2ah (h 表示边a 上的高)；
(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1
2ab sin C ；
(3)S ＝1
2
r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．
[小题能否全取]
1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3
D.32
解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝323
2
×
2
2＝2 3.
2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．75°
解析：选C ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝1
2
，
又∵0°<A <180°，∴A ＝60°.
3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( )
A ．无解
B ．两解
C ．一解
D ．解的个数不确定
解析：选B ∵
a sin A ＝b
sin B
， ∴sin B ＝b a sin A ＝24
18
sin 45°，
∴sin B ＝22
3.
又∵a <b ，∴B 有两个．
4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π
6
，c ＝23，则b ＝________. 解析：由余弦定理得b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×3
2
＝4，所以b ＝2. 答案：2
5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：设BC ＝x ，由余弦定理得49＝25＋x 2
－10x cos 120°， 整理得x 2
＋5x －24＝0，即x ＝3.
因此S △ABC ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×3×5×32＝153
4.
答案：153
4
(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .
(2)在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角
或直角
图形
关系式 a ＝b sin
A
b sin A <a <b
a ≥b
a >b
解的个
一解
两解
一解
一解
典题导入[例1] (2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A ＝3a cos B.
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． [自主解答] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理 a sin A ＝
b
sin B
，得sin B ＝3cos B ，
所以tan B ＝3，所以B ＝π
3
.
(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c
sin C ，得c ＝2a .
由b ＝3及余弦定理b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ， 得9＝a 2
＋c 2
－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.
在本例(2)的条件下，试求角A 的大小． 解：∵
a sin A ＝b
sin B
， ∴sin A ＝a sin B
b ＝3·si n
π33＝12.
∴A ＝π
6
.
由题悟法1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．
2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
以题试法
1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2
A ＝2a . (1)求b a
；
(2)若c 2
＝b 2
＋3a 2
，求B . 解：(1)由正弦定理得，
sin 2
A sin
B ＋sin B cos 2
A ＝ 2sin A ，即 sin
B (sin 2
A ＋cos 2
A )＝2sin A . 故sin
B ＝ 2sin A ，所以b a
＝ 2. (2)由余弦定理和c 2
＝b 2
＋3a 2
，得cos B ＝1＋3a
2c
.
由(1)知b 2
＝2a 2
，
故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2
B ＝12，
又cos B >0，故cos B ＝2
2
，所以B ＝45°.
利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
典题导入
[例2] 在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .
(1)求A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．
[自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2
＝(2b ＋c )·b ＋(2c ＋b )c ，即a 2
＝b 2
＋c 2
＋bc .
由余弦定理得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， 故cos A ＝－1
2，∵0<A <180°，∴A ＝120°.
(2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2
C ＋sin B sin C ＝34.
又sin B ＋sin C ＝1， 解得sin B ＝sin C ＝1
2
.
∵0°<B <60°，0°<C <60°，故B ＝C ， ∴△ABC 是等腰的钝角三角形．
由题悟法
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．
[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
以题试法
2．(2012·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝72.
(1)求角A 的大小；
(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．
解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 2
A
2，cos 2A ，
∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2
A ＋2cos A ＋3.
又∵m ·n ＝7
2
，
∴－2cos 2
A ＋2cos A ＋3＝72，
解得cos A ＝1
2.
∵0<A <π，∴A ＝π
3
.
(2)在△ABC 中，a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，且a ＝3， ∴(3)2＝b 2＋c 2
－2bc ·12＝b 2＋c 2－bc .①
又∵b ＋c ＝23，
∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2
－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝ 3，于是a ＝b ＝c ＝ 3，即△ABC 为等边三角形．
典题导入
[例3] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，
a cos C ＋3a sin C －
b －
c ＝0.
(1)求A ；
(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .
[自主解答] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin
A sin C －sin
B －sin
C ＝0.
因为B ＝π－A －C ，
所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.
由于sin C ≠0，所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6＝1
2.
又0＜A ＜π，故A ＝π
3
.
(2)△ABC 的面积S ＝1
2bc sin A ＝3，故bc ＝4.
而a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ，故b 2
＋c 2
＝8. 解得b ＝c ＝2.
由题悟法
1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．
2．在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2ac sin B 最常用，因为
公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．
以题试法
3．(2012·江西重点中学联考)在△ABC 中，12cos 2A ＝cos 2
A －cos A .
(1)求角A 的大小；
(2)若a ＝3，sin B ＝2sin C ，求S △ABC .
解：(1)由已知得12(2cos 2A －1)＝cos 2
A －cos A ，
则cos A ＝12.因为0<A <π，所以A ＝π
3
.
(2)由b sin B ＝c sin C ，可得sin B sin C ＝b
c
＝2，
即b ＝2c .
所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2
＝12
， 解得c ＝3，b ＝23，
所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝33
2
.
1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B .
2．(2012·泉州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π
3，b
＝1，△ABC 的面积为
3
2，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.3
2
D. 3
解析：选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝3
2，解得c ＝2，则由余弦定理可
得a 2
＝4＋1－2×2×1×cos
π
3
＝3⇒a ＝ 3. 3．(2013·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
a ＝23，c ＝22，1＋
tan A tan B ＝2c
b
，则C ＝( ) A ．30°
B ．45°
C ．45°或135°
D ．60°
解析：选B 由1＋tan A tan B ＝2c
b 和正弦定理得
cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ， 所以cos A ＝1
2，则A ＝60°.
由正弦定理得23sin A ＝22
sin C ，
则sin C ＝
22
， 又c <a ，则C <60°，故C ＝45°.
4．(2012·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2
＋b 2
＝2c 2
，则cos C 的最小值为( )
A.32
B.22
C.12
D ．－12
解析：选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2
＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12
(a 2
＋b 2
)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝1
2
.
5．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2
C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．不能确定
解析：选C 由正弦定理得a 2
＋b 2
<c 2
，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab <0，所以C 是钝角，故△
ABC 是钝角三角形．
6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．
解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝1
2，∴A ＝30°或A ＝150°.
答案：30°或150°
7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π
3
，则C 的大小为________．
解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin A a ＝3sin
π33＝12，所以B ＝π6或5π
6
(舍去)，所以
C ＝π－A －B ＝π－π3－π
6＝π2
.
答案：π
2
8．(2012·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝5
5
，则c ＝________；a ＝________.
解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin C sin B ＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2
＋
c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．
答案：2 2 6
9．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1
4
，则b ＝________.
解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2
－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，解得b ＝4.
答案：4
10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin
B .
(1)求B ；
(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得a 2
＋c 2
－2ac ＝b 2
. 由余弦定理得b 2
＝a 2
＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝
2
2
，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6
4
. 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋6
2
＝1＋3，
c ＝b ×
sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°
＝ 6. 11．(2013·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.
(1)求角B 的大小；
(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB u u u r ·AC u u u
r 的值．
解：(1)因为3a －2b sin A ＝0， 所以 3sin A －2sin B sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32
. 又B 为锐角，所以B ＝π
3
.
(2)由(1)可知，B ＝π
3.因为b ＝ 7.
根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2
－2ac cos π3，
整理，得(a ＋c )2
－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a >c ，故a ＝3，c ＝2.
于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947
＝7
14，
所以AB u u u r ·AC u u u r ＝|AB u u u r
|·|AC u u u r |cos A ＝cb cos A
＝2×7×
7
14
＝1. 12．(2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan
A ＋tan C )＝tan A tan C .
(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .
解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝ tan A tan C ， 所以sin B ⎝
⎛⎭⎪
⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C
，
因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 因此sin 2
B ＝sin A sin
C . 由正弦定理得b 2
＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．
(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，
由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝3
4
，
因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2
B ＝
7
4
， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝7
4
.
1．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )
A ．4∶3∶2
B ．5∶6∶7
C ．5∶4∶3
D ．6∶5∶4
解析：选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *
)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·
n ＋1
2＋n 2－n ＋22
2n n ＋1
，化简得7n
2
－13n －60＝0，n ∈N *
，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.
2．(2012·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2
A ＋B
2
－
cos 2C ＝7
2
，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．
解析：因为4sin
2
A ＋B
2－cos 2C ＝7
2
， 所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2
C ＋1＝72
，
2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2
C －cos C ＋14＝0，
解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2
＋b 2
－7
2ab
，
ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的
面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33
2
.
答案：33
2
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；
(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得 (2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0， sin B (2cos A －1)＝0. ∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝1
2.
∵0<A <π，∴A ＝π
3
.
法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，
及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 2
2ab ＝0，
整理，得b 2
＋c 2
－a 2
＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
，
∵0<A <π，∴A ＝π
3
.
(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝33
4，
即12bc sin π3＝33
4， ∴bc ＝3，①
∵a 2＝b 2＋c 2
－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，
∴b 2
＋c 2
＝6，② 由①②得b ＝c ＝3， ∴△ABC 为等边三角形．
1．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.
解析：在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°.又∵sin A ＝a sin B b ＝1
2
，∴A ＝30°或150°(舍)，∴C ＝90°，∴sin C ＝1.
答案：1
2．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则这个三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
解析：选A 法一：(化边为角)由正弦定理知： sin A ＝2sin B cos C ，又A ＝π－(B ＋C )， ∴sin A ＝sin(B ＋C )＝2sin B cos C . ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， ∴sin(B －C )＝0.
又∵B 、C 为三角形内角，∴B ＝C .
法二：(化角为边)由余弦定理知cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab ，
∴a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2
a
，
∴a 2
＝a 2
＋b 2
－c 2
，∴b 2
＝c 2
，∴b ＝c .
3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 cos 2C ＝－1
4.
(1)求sin C 的值；
(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解：(1)因为cos 2C ＝1－2sin 2
C ＝－14，且0<C <π，
所以sin C ＝
104
. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝c
sin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2
C
－1＝－14，及0<C <π得cos C ＝±6
4
.
由余弦定理c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ，得b 2
±6b －12＝0，解得b ＝6或26， 所以⎩⎨
⎧
b ＝6，
c ＝4
或⎩⎨
⎧
b ＝26，
c ＝4.
4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ， 且cos B ＝4
5
，b ＝2.
(1)当A ＝30°时，求a 的值；
(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． 解：(1)因为cos B ＝45，所以sin B ＝3
5
.
21 由正弦定理a
sin A ＝b
sin B ，可得a sin 30°＝103，所以a ＝53.
(2)因为△ABC 的面积S ＝12ac ·sin B ，sin B ＝35，
所以310ac ＝3，ac ＝10.
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，
即a 2＋c 2＝20.
所以(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40. 所以a ＋c ＝210.。