高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案含解析新人教A版选修20

又因 a＋ b＞ 0， 故只需证 a2－ ab＋ b2＞ab 成立， 即需证 a2－ 2ab＋ b2＞ 0 成立， 即需证 (a－ b)2＞ 0 成立． 而依题设 a≠ b，则 (a－ b)2＞ 0 显然成立．
由此命题得证．
法二： (综合法 )
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综合法的证明步骤
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(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．
(2)分析法适用的范围：
分析法的适用范围是已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题． 设 a， b∈ (0，＋∞ )，且 a≠ b，求证： a3＋ b3＞a2b＋ ab2.
证明：法一： (分析法 ) 要证 a3＋ b3＞ a2b＋ab2 成立， 即需证 (a＋ b)(a2－ ab＋b2)＞ ab(a＋b)成立．
显然成立，因此原不等式成立． 问题 1：本题证明从哪里开始？ 提示：从结论开始． 问题 2：证明思路是什么？ 提示：寻求每一步成立的充分条件． 1．分析法的定义 从要证明的结论出发， 逐步寻求使它成立的充分条件， 直至最后， 把要证明的结论归结
为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等 )为止，这种证明方法叫做分析 法．
② a> b 与 a<b 及 a＝ b 中，至少有一个成立；
③ a≠ c，b≠ c，a≠ b 不能同时成立．
其中正确判断的个数为 ( )
A． 0
B．1
C． 2
D． 3
解析：选 C 由于 a， b， c 不全相等中含有 a≠ b≠ c 这种情况，所以③错误，①②都正
确．
2．欲证不等式 3－ 5＜ 6－ 8成立，只需证 ( ) A．( 3－ 5)2＜ ( 6－ 8)2 B． ( 3－ 6)2＜ ( 5－ 8)2 C． ( 3＋ 8)2＜ ( 6＋ 5)2
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D． ( 3－ 5－ 6)2＜ (－ 8)2
解析：选 C 要证 3－ 5＜ 6－ 8成立，只需证
证( 3＋ 8)2＜ ( 6＋ 5)2 成立．
3．已知 a， b， c 为正实数，且 a＋ b＋ c＝ 1，
1
1
1
求证： a－ 1 b－1 c－ 1 ≥ 8.
π 函数的定义可知，π是函数 f(x)＝ sin 2x＋4 的一个周期．
问题 1：本题的条件和结论各是什么？
π 提示：条件： f(x)＝ sin 2x＋ 4 ；结论：π是 f(x)的一个周期．
问题 2：本题的证明顺序是什么？
提示：从已知利用诱导公式到待证结论． 1．综合法的定义 利用已知条件和某些数学定义、 定理、公理等， 经过一系列的推理论证， 最后推导出所
a≠b? a－ b≠ 0? (a－ b)2＞ 0? a2－ 2ab＋b2＞ 0 ? a2－ ab＋ b2＞ ab. ∵ a＞ 0， b＞ 0， ∴ a＋ b＞ 0， (a＋ b)(a2－ ab＋ b2)＞ ab(a＋ b)， ∴ a3＋ b3＞ a2b＋ ab2.
4.综合法、分析法的综合应用 (12 分 )设 f (x)＝ax2＋ bx＋c(a≠ 0)，若函数 y＝f (x＋ 1)的图象与 f (x)的图象关于 y 轴对称．
要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
2．综合法的框图表示
P? Q1 ―→ Q1? Q2 ―→ Q2? Q3 ―→…― → Qn? Q
(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，
Q 表示所要证明的结论 )
综合法的特点
(1)综合法的特点是从“已知”看“未知” ，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条
因为 a＋ b＝ 1，即证 2a＋ 1· 2b＋ 1≤ 2.
1
1
因为 a≥－ 2， b≥－ 2，所以 2a＋1≥ 0,2b＋ 1≥ 0，
2a＋1 ＋ 2b＋ 1 2 a＋b＋1
所以 2a＋1· 2b＋ 1≤
2
＝
2
＝ 2，
即 2a＋ 1· 2b＋ 1≤ 2 成立，因此原不等式成立．
1．“ a， b， c 是不全相等的正数” ，给出下列判断： ① (a－ b)2＋ (b－ c)2＋(c－a)2≠ 0；
件．
(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一
步一步完成命题的证明 .
分析法
阅读下列证明过程，回答问题．
求证： 6＋ 7≥ 2 2＋ 5. 证明：要证原不等式成立，只需证
( 6＋ 7)2≥ (2 2＋ 5)2，即证 2 42≥ 2 40，该式
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3＋ 8＜ 6＋ 5成立，只需
证明过程如下：
∵ a， b， c 为正实数，且 a＋ b＋ c＝ 1，
1
b＋ c
1
a＋ c
1
a＋ b
∴ a－ 1＝ a ＞0，b－1＝ b ＞ 0， c－1＝ c ＞ 0，
1
1
1
b＋ c a＋ c a＋ b 2 bc· 2 ac·2 ab
∴ a－ 1 b－ 1 c－1 ＝ a · b · c ≥
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2．2.1 综合法和分析法
综合法
阅读下列证明过程，回答问题．
π
求证：π是函数
f (x)＝sin
2x＋ 4
的一个周期．
π
π
π
证明： 因为 f (x＋π)＝ sin 2 x＋π ＋ 4 ＝ sin 2x＋ 2π＋4 ＝ sin 2x＋4 ＝f (x)，所以由周期
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以结论成立．
在锐角△ ABC 中，求证： tan Atan B＞1. sin Asin B
证明：要证 tan Atan B＞ 1，只需证 cos Acos B＞ 1.
∵ A， B 均为锐角， ∴ cos A＞ 0， cos B＞ 0.
41 已知 a＞ 0， b＞ 0，且 a＋ b＝1，求证： a＋ b≥ 9.
证明：∵ a＞0，b＞ 0，a＋b＝ 1，
4 1 4 a＋ b a＋ b
4b a
4b a
∴ a＋ b＝
a ＋ b ＝ 4＋ a ＋ b＋ 1＝ 5＋ a ＋ b≥ 5＋ 2
4b a a × b＝ 5＋ 4＝ 9.当且
4b a 仅当 a ＝b，即 a＝ 2b 时“＝”成立 .
c
a
a＋b＋ b＋ c＝1，
c
a
所以 a＋ b＋ 1 ＋ b＋ c＋ 1 ＝ 3，
1
1
3
即 a＋ b＋ b＋ c＝ a＋b＋ c，
所以 (a＋b)－1＋ (b＋c)－ 1＝ 3(a＋ b＋ c)－ 1.
综合法与分析法的适用范围
(1)综合法适用的范围：
①定义明确的题型， 如证明函数的单调性、 奇偶性， 求证无条件的等式或不等式问题等；
法一： (分析法 ) 要证 (a＋b)－1＋ (b＋c)－ 1＝ 3(a＋ b＋ c)－ 1，
1
1
3
即证 a＋ b＋ b＋ c＝ a＋ b＋ c，
a＋ b＋c a＋ b＋ c 只需证 a＋ b ＋ b＋ c ＝ 3，
ca 化简，得 a＋b＋ b＋ c＝1，
即 c(b＋ c)＋ (a＋b)a＝(a＋ b)(b＋ c)， 所以只需证 c2＋ a2＝ b2＋ ac.
即证 sin Asin B＞ cos Acos B，
即 cos Acos B－ sin Asin B＜ 0，
只需证 cos(A＋ B)＜ 0.
∵△ ABC 为锐角三角形，
∴ 90°＜ A＋ B＜ 180°，
∴ cos(A＋B)＜0，因此 tan Atan B＞ 1.
综合法和分析法的综合应用
已知△ ABC 的三个内角 A，B，C 为等差数列，且 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边， 求证： (a＋ b)－1＋(b＋ c)－1＝ 3(a＋ b＋ c)－ 1.
2．分析法的3 ―→…―→ 成立的条件 分析法的特点
(1)分析法的特点是从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知” ，其逐步推理实际上是寻 找使结论成立的充分条件．
(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公 理、定理等 .
abc
＝ 8，
当且仅当 a＝ b＝ c 时取等号，∴不等式成立．
这种证法是 ________(填“综合法”或“分析法” )．
解析：本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种方法是综合法．
答案：综合法
a2＋ b2
a2＋ b2
4．将下面用分析法证明
≥ ab 的步骤补充完整：要证
≥ ab，只需证 a2＋ b2≥
综合法的应用 已知 a，b，c 是不全相等的正数，求证： a(b2＋c2)＋ b(c2＋ a2)＋ c(a2＋b2)＞ 6abc. ∵ a， b， c 是正数，∴ b2＋ c2≥ 2bc， ∴ a(b2＋ c2)≥ 2abc.① 同理， b(c2＋ a2)≥ 2abc，② c(a2＋ b2)≥ 2abc.③ ∵ a， b， c 不全相等， ∴ b2＋ c2≥ 2bc， c2＋ a2≥ 2ca， a2＋b2≥ 2ab三式中不能同时取到“＝” ， ∴①②③式相加得 a(b2＋c2)＋ b(c2＋ a2)＋ c(a2＋ b2)＞ 6abc.
1 求证： f x＋ 2 为偶函数．
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1
1
已知 a≥－ 2， b≥－ 2，a＋ b＝ 1，求证： 2a＋ 1＋ 2b＋ 1≤ 2 2.
证明：要证 2a＋ 1＋ 2b＋ 1≤ 2 2，只需证 2(a＋b)＋ 2＋ 2 2a＋ 1· 2b＋ 1≤ 8.
ab 5．已知 a＞ 0， b＞ 0，求证： ＋ ≥
ba
a＋ b.(要求用两种方法证明 )
ab
a
b
证明：法一：(综合法 )因为 a＞0，b＞0，所以 ＋ － a－ b＝ － b ＋ － a
ba
2 ∵ a2＋ b2≥ 2ab 对一切实数恒成立，
2 ∴ a2＋ b2≥ 2 (a＋ b)成立． 综上所述，不等式得证．
分析法的证明过程及书写形式 (1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转 化，直到获得一个显而易见的命题即可． (2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所
因为△ ABC 的三内角 A， B， C 成等差数列，
所以 B＝ 60° . 由余弦定理，有 b2＝ c2＋ a2－ 2accos 60°， 所以 c2＋a2＝ ac＋ b2.
两边加 ab＋ bc，得
c(b＋ c)＋ a(a＋ b)＝ (a＋ b)(b＋ c)，
两边同时除以 (a＋b)(b＋c)，得
分析法的应用
设 a， b 为实数，求证：
2 a2＋ b2≥ 2 (a＋ b)．
当 a＋ b≤ 0 时，∵ a2＋ b2≥0，
2 ∴ a2＋ b2≥ 2 (a＋ b)成立．
当 a＋ b>0 时，
用分析法证明如下：
2 要证 a2＋ b2≥ 2 (a＋b)，
只需证 (
a2＋ b2)2≥
2 2
a＋b
2，
1 即证 a2＋ b2≥ (a2＋b2＋ 2ab)，即证 a2＋ b2≥2ab.
2
2
2ab，也就是证 ________，即证 ________．由于 ________显然成立，因此原不等式成立．
a2＋ b2
a2＋ b2
解析：用分析法证明
2 ≥ ab 的步骤为：要证 2 ≥ ab 成立，只需证 a2＋ b2≥ 2ab，
也就是证 a2＋ b2－ 2ab≥0，即证 (a－ b)2≥ 0. 由于 (a－b)2≥0 显然成立，所以原不等式成立． 答案： a2＋ b2－2ab≥ 0 (a－ b)2≥ 0 (a－ b)2≥ 0
因为△ ABC 的三个内角 A， B，C 成等差数列，
所以 B＝ 60°，
a2＋ c2－ b2 1
所以 cos B＝
＝，
2ac 2
即 a2＋c2－b2＝ ac成立，
∴ (a＋ b)－1＋(b＋ c)－1＝ 3(a＋ b＋ c)－ 1 成立．
法二： (综合法 )
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