2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数章末小结与测评教学案 北师大版必修4

第一章 三角函数
一、角的概念
1．角不仅有大小而且有正负，角的概念的推广重在“旋转”两字．其旋转方向决定了角的正负，由此确定了角的分类．
2．象限角及非象限角，都是相对于坐标系而言的，应注意平面直角坐标系的建立方法，即角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，只有在这一前提下，才能讨论象限角与非象限角．
3．终边相同的角有无数个，在所有与角α
终边相同的角的集合可表示为S ＝
{}β|β＝k ×360°＋α，k ∈Z .终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．
二、角度制与弧度制
弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位制，两种单位不能混用，如
π
6
＋k ×360°或60°＋2k π，k ∈Z 的写法是不允许的，尤其是当角是用字母表示时更要注意，如角是在弧度制下，就不能写成k ×360°＋α，k ∈Z 等．
三、三角函数的定义 1．三角函数的定义有两种
(1)角α的终边上任取一点P (x ，y )，|OP |＝r ，则sin α＝y
r ，cos α＝x r ；tan α＝y x
. (2)角α的终边与以原点为圆心，以单位长为半径的圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x
.
2．用三角函数线解基本的三角不等式的步骤为： (1)先作出取等号的角；
(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角范围． 3．诱导公式
2k π＋α，π±α，－α，2π±α，π2±α的诱导公式可归纳为：k ×π
2＋α(k ∈Z )的三角
函数值．当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指整数k 的奇偶．
四、三角函数的图像与性质
五、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像
1．由y ＝sin x 的图像变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像
(1)三角函数图像的变化规律和方法，由y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)，此步骤只是平移，而由
y ＝sin x →y ＝sin(ωx ＋φ)可由两条思路：①y ＝sin x →y ＝sin(x ＋φ)→y ＝sin(ωx ＋φ)即
先平移后伸缩；②y ＝sin x →y ＝sin ωx →y ＝sin(ωx ＋φ)即先伸缩再平移．不论哪一条路径，每一次变换都是对字母x 而言的．
(2)“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”，两条路径平移的单位不同 ；“先平移后伸缩”
平移|φ|个单位，“先伸缩后平移”则须平移⎪⎪⎪⎪
⎪⎪φω个单位．主要程序如下：①y ＝sin x ――→平移变换
平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换
y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换
y ＝A sin(ωx ＋φ)；②y ＝sin x ――→周期变换 y ＝sin ωx ――→平移变换平移⎪⎪⎪⎪
⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换
y ＝A sin(ωx ＋φ)． 2．由图像确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，主要从以下三个方面来考虑 (1)A 的确定：根据图像的“最高点、最低点”确定A .
(2)ω的确定：结合图像先求周期T ，然后由T ＝2π
ω
(ω>0)确定ω.
(3)φ的确定：根据函数y ＝A sin(ωx ＋φ)最开始与x 轴的交点(靠近原点)的横坐标为－
φ
ω⎝ ⎛⎭
⎪⎫即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω确定φ. 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质
(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过列不等式的方法求解，列不等式的原则是：把“ωx ＋φ”视为一个“整体”；再根据y ＝sin x 的增减区间列不等式．
(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)，当φ＝k π，k ∈Z 时，是奇函数；当φ＝
π
2＋k π，k ∈Z 时，是偶函数．
(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期T ＝2π
|ω|.
[典例1] 已知f (α)
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－αtan （α＋5π）tan （－α－π）sin （α－3π），
(1)化简f (α)；(2)若α＝－13π
3
，求f (α)的值．
[解] (1)f (α)＝cos α（－sin α）tan α
（－tan α）（－sin α）
＝－cos α.
(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π3＝－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－13π3 ＝－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫－3×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.
[借题发挥] (1)灵活运用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，以达到统一角的目的； (2)在求值中有已知三角函数值求值与已知角求值两种情况，已知三角函数值求值时，要分清已知的三角函数与未知的三角函数之间的关系，特别是角的关系；已知角求值时，利用诱导公式．
[对点训练]
1．已知cos(3π＋θ)＝1
3，
求
cos （π＋θ）cos θ[cos （π－θ）－1]＋
cos （θ－2π）
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos （θ－π）－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3π
2
＋θ
的值．
解：∵cos(3π＋θ)＝13，∴－cos θ＝1
3
即cos θ＝－1
3
.
原式＝－cos θ
cos θ（－cos θ－1）
＋
cos （2π－θ）
－sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2－θcos （π－θ）＋cos θ
＝11＋cos θ＋cos θ
－cos 2
θ＋cos θ ＝11＋cos θ＋1
1－cos θ
＝
21－cos 2
θ＝21－⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－132＝9
4.
[典例2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝sin x ＋cos x tan x ；
(2)y ＝sin x ＋tan x .
[解] (1)要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan x ≠0.∴有⎩⎪⎨
⎪⎧x ≠k π＋π2，
x ≠k π.
(k ∈Z ) ∴函数y ＝sin x ＋cos x
tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z .
(2)当sin x ≥0且tan x 有意义时，函数有意义， ∴有⎩⎪⎨⎪
⎧2k π≤x ≤（2k ＋1）π，x ≠k π＋π
2.(k ∈Z ) ∴函数y ＝sin x ＋tan x 的定义域为
⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π，2k π＋π2∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤2k π＋π2，（2k ＋1）π(k ∈Z )． [借题发挥] 1.求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)，通常可用三角函数的图像或单位圆来求解．
2．求三角函数的值域(最值)问题常用的方法有：
(1)将所给的三角函数转化为二次函数并通过配方法求值域(最值)；(2)将所给的函数转化为sin(ωx ＋φ)或cos(ωx ＋φ)的函数，利用sin x ，cos x 的有界性求值域．
[对点训练]
2．已知函数y ＝lg cos 2x ，求它的定义域和值域． 解：函数f (x )＝lg cos 2x 有意义，则cos 2x >0，即 2k π－π2<2x <2k π＋π
2，k ∈Z ，
解得k π－π4<x <k π＋π
4，k ∈Z .
∴函数的定义域为{x |k π－π4<x <k π＋π
4
，k ∈Z }． 由于0<cos 2x ≤1，
∴lg cos 2x ≤0，所以函数的值域为(－∞，0].
[典例3]
如右图，是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的一段图像． (1)求此函数解析式；
(2)说明该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ [解] (1)由图像知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1
2，
k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，
∴ω＝2π
T
＝2.
∴y ＝1
2sin(2x ＋φ)－1.
当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，
∴φ＝π6
.
∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π6－1.
(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩
短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝
12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图像向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1
的图像．
[借题发挥] 三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：
(1)用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π
2
，2π.
(2)对于y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．
(3)已知函数图像来求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式时，要先求A 、ω，再求φ.
[对点训练]
3．若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，0<φ>π)在x ＝π
6
处取得最大值，且最大值为3，求函数f (x )的解析式．
解：因为函数f (x )最大值为3，所以A ＝3，又当x ＝π
6
时函数f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋φ＝1，因为0<φ<π，故φ＝π6， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6
.
[典
例4] (重庆高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ≤π)在x ＝π
6处取得
最大值2，其图像与x 轴的相邻两个交点的距离为π
2
.
(1)求f (x )的解析式；
(2)求函数g (x )＝6cos 4
x －sin 2
x －1
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域．
(提示：cos 2x ＝2cos 2x －1)
[解] (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π， 即
2π
ω
＝π，解得ω＝2. 因f (x )在x ＝π
6
处取得最大值2，所以A ＝2.
从而sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×π6＋φ＝1，
所以π3＋φ＝π
2＋2k π，k ∈Z .
又由－π<φ≤π得φ＝π6
，
故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2
x －1
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2
＝6cos 4x ＋cos 2
x －2
2cos 2x
＝（2cos 2x －1）（3cos 2
x ＋2）2（2cos 2
x －1） ＝32cos 2
x ＋1⎝
⎛⎭⎪⎫cos 2x ≠12.
因cos 2x ∈[0，1]，且cos 2
x ≠12
，
故g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，74∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤74，52. [借题发挥] 在考查三角函数的性质时，一般与后面的三角恒等变换相联系，着重考查三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等有关性质．
研究三角函数的性质时，除了熟悉y ＝sin x ，y ＝cos x 和y ＝tan x 的性质外，还要注意整体代换和方程的思想的应用．
[对点训练]
4．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2－1 (1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π6的最小值和最大值；
(3)若x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，π3，求使f (x )≥2的x 的取值范围． 解：(1)T ＝2π
2
＝π，
由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π
2＋2k π，
解得－38π＋k π≤x ≤π
8＋k π，k ∈Z .
故f (x )的单调递增区间为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－38π＋k π，π8＋k π，(k ∈Z )．
(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，712π.
所以f (x )的最大值为22－1，最小值为2－2. (3)由f (x )≥2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≥22， 由x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－π，π3可得2x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－74π，1112π.
故满足条件的2x ＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－7
4π，－54π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，34π，
解得x ∈⎝
⎛⎦⎥⎤－π，－34π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.
故使f (x )≥2的x 的取值范围是⎝
⎛⎦⎥⎤－π，－34π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．下列各角中与－π
3终边相同的是( )
A ．－5π3 B.2π3
C.
4π3 D.5π3
解析：选D ∵2π－π3＝5π3，∴－π3与角5π
3的终边相同．
2．cos 330°＝( ) A.12 B ．－1
2 C.
32 D ．－32
解析：选C cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos(－30°) ＝cos 30°＝
3
2
. 3．设α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2终边所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 解析：选B ∵α是第三象限角， ∴2k π＋π＜α＜2k π＋3π
2，k ∈Z ，
∴k π＋π2＜α2＜k π＋3π
4，k ∈Z ，
∴
α
2
是第二象限或第四象限角． 又∵|cos α2|＝－cos α
2
，
∴cos α
2＜0，
∴
α
2
是第二象限角． 4．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上是增加的，在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上是减小的，
则ω＝( )
A ．3
B ．2 C.32 D.2
3
解析：选C 由题意知，函数在x ＝π3处取得最大值1，所以1＝sin ωπ3，ω＝32
.
5．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的一个单调递减区间为( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4
，3π4
C.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤3π4，7π4 D.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3π4，π4
解析：选B y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4，检验各选项知，只有B 项中的区间是单调递
减区间．
6．(全国高考)若函数f (x )＝sin x ＋φ
3
，φ∈[0，2π]是偶函数，则φ＝( )
A.π2
B.2π
3 C.
3π2 D.5π3
解析：选C 若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1， 即sin φ3＝±1，∴φ3＝k π＋π
2(k ∈Z )．
∴φ＝3k π＋3π
2(k ∈Z )．只有C 项符合．
7．(山东高考)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6
－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )
A ．2－ 3
B ．0
C ．－1
D ．－1－ 3
解析：选A 当0≤x ≤9时，－π3≤πx 6－π3≤7π
6
，
－
32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 6
－π3≤1，
所以函数的最大值为2，最小值为－3，其和为2－ 3. 8．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根
解析：选C 构造两个函数y ＝|x |和y ＝cos x ，在同一个坐标系内画出它们的图像，如图所示，观察图像知有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．
9. 已知函数图像的一部分如图，则函数的解析式是( )
A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6
B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6
C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3
D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：选D 由图像知T ＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12＋π6＝π.
∴ω＝2，排除选项A 、C.
∵图像过⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12，1代入选项B ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×π12－π6＝0≠1，故B 错误． 10．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A.π6
B.π4
C.
π3 D.π2
解析：选A ∵函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图像关于点(4π3，0)中心对称，∴2×4π
3＋φ＝k π
＋π
2
(k ∈Z )． φ＝k π＋13π6(k ∈Z )，由此易得|φ|min ＝π
6
.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 11．设扇形的半径长为4 cm ，面积为4 cm 2
，则扇形的圆心角的弧度数是________． 解析：由S ＝12αr 2，得α＝2S r 2＝1
2.
答案：1
2
12．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若p (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25
5
，则y ＝________．
解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，故y <0，
由sin θ＝y
16＋y
2
＝－255得y ＝－8. 答案：－8
13．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π
3，则正数ω
＝________．
解析：由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π
3，知周期T
＝
4π3＝2πω，ω＝32. 答案：32
14．函数y ＝log 12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2的定义域是________． 解析：
要使函数有意义，必须有
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋2>0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4>－22. 设z ＝2x ＋π4，则sin z >－2
2
.
由图知，－π4＋2k π<z <5π
4＋2k π(k ∈Z )，
即－π4＋2k π<2x ＋π4<5π
4＋2k π(k ∈Z )，
解得－π4＋k π<x <π
2＋k π(k ∈Z )．
答案：(－π4＋k π，π
2
＋k π)(k ∈Z )
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知
f (α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2＋αtan （π－α）
tan （－α－π）sin （－π－α）.
(1)化简f (α)；
(2)若sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)原式＝－cos αsin α（－tan α）
－tan αsin α＝－cos α.
(2)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝sin(π2＋α)＝cos α， ∴cos α＝15.故f (α)＝－1
5
.
16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
(1)当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求f (x )的值域；
(2)用五点法作出y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6
，5π6闭区间上的简图；
(3)说明f (x )的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到？ 解：(1)∵x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3，
－
32≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴所求值域为[－3，2]． (2)①列表：
(3)法一：可由y ＝sin x 的图像先向左平移π
3个单位长度，再将图像上各点的横坐标缩短到
原来的1
2
，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．
法二：可由y ＝sin x 的图像先将图像上各点的横坐标缩短到原来的12，再将图像向左平移
π
6个单位长度，最后将纵坐标伸长为原来的2倍而得到．
17．(本小题满分12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图像如图，试依图指出：
(1)f (x )的最小正周期；
(2)f (x )的单调递增区间和递减区间； (3)图像的对称轴方程与对称中心． 解：(1)由图像知f (x )的最小正周期为2⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π4－π4＝3π.
(2)∵半个周期是
3π2，π4－3π2＝－5π
4
，由图像可知，f (x )的单调递增区间是
⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋3k π，π4＋3k π(k ∈Z )，f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4＋3k π，7π4＋3k π(k ∈Z )． (3)f (x )的图像的对称轴方程是x ＝π4＋3k π2(k ∈Z )，对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋3k π2，0(k ∈Z )．
18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6，(0<φ<π2，ω>0)．
(1)若函数y ＝f (x )图像的两相邻对称轴间的距离为π
2
，且它的图像过(0，1)点，求函数y ＝
f (x )的表达式；
(2)将(1)中的函数y ＝f (x )的图像向右平移π
6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸
长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求函数y ＝g (x )的单调递增区间；
(3)若f (x )的图像在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋1100(a ∈R )上至少出现一个最高点或最低点，求正整数ω的最小值．
解：(1)由题意得2πω＝2×π
2，所以ω＝2，
所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π6.
又因为y ＝f (x )的图像过点(0，1)， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6＝12.
又∵0<φ<π2，∴φ＝π
3，
∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.
(2)将f (x )的图像向右平移
π
6
个单位长度后， 得到y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像， 再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，
得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的图像． 即g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
x －π6. 令2k π－π2≤12x －π6≤2k π＋π
2，
则4k π－2π3≤x ≤4k π＋4π
3
，(k ∈Z )，
∴g (x )的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3(k ∈Z )． (3)若f (x )的图像在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋1100(a ∈R )上至少出现一个最高点或最低点，则πω<错误!， 即ω>100π，又ω为正整数，∴ωmin ＝315.。