2024-2025年北师大版数学必修第二册6.1.1.3简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台(带答案)

1．3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台必备知识基础练
知识点一球的结构特征
1．截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
2．给出以下说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长；
②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长；
③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形；
④球常用表示球心的字母表示．
其中正确说法的序号是________．
知识点二圆柱的结构特征
3．下列关于圆柱的说法中，不正确的是( )
A．分别以矩形(非正方形)的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转180°而形成的曲面所围成的几何体是圆柱
4．将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的底面周长是( )
A．4π B．8π
C．2π D．π
知识点三圆锥、圆台的结构特征
5．下列叙述中正确的个数是( )
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
A．0 B．1
C．2 D．3
6．圆台的两底面半径分别为2 cm和5 cm，母线长是310 cm，则它的轴截面面积为________．
7．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．
关键能力综合练
一、选择题
1.
如图，某工厂生产的一种机器零件原胚的直观图是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴(直线l)旋转而成，这个图形是( )
2．给出下列命题：
①圆柱的母线与它的轴可以不平行；
②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；
③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．
其中正确的是( )
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
3．下列命题中，正确的个数是( )
①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；
②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面；
③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆面．
A．0 B．1
C．2 D．3
4．若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的( )
A．4倍 B．3倍
C．2倍 D．2倍
5．(探究题)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体由( )
A ．一个圆台、两个圆锥构成
B ．两个圆台、一个圆锥构成
C ．两个圆柱、一个圆锥构成
D ．一个圆柱、两个圆锥构成 二、填空题 6．下列说法：
①在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线． 其中正确说法的序号为________．
7．给出下列说法：(1)以直角三角形的一条边所在直线为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(2)以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；(3)经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；(4)圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中正确说法的序号是________．
8．两相邻边长分别为3 cm 和4 cm 的矩形，以一边所在的直线为轴旋转所成的圆柱中，母线长和底面半径分别为________．
三、解答题 9.
如图所示是一个正三角形和它的内切圆，将阴影部分绕直线l 旋转180°，请说出所得几何体的结构特征．
学科素养升级练
1.(多选题)某圆锥的底面半径为3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是( )
A ．圆锥的侧面展开图的圆心角为3π
2
B ．圆锥的高为7
C ．过圆锥的两条母线作截面，截面面积的最大值为8
D ．圆锥轴截面的面积为37
2
2．(学科素养——数学运算)圆台的上、下底面半径分别为5 cm ，10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到点A (A 在下底面上)，求：
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
1．3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台
必备知识基础练
1．答案：C
解析：由球的结构特征知该几何体是球．故选C. 2．答案：①④
解析：根据球的定义知，①正确；②不正确，因为球的直径必过球心；③不正确，因为球的任何截面都是圆；④正确．
3．答案：C
解析：用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形．故选C.
4．答案：C 解析：将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周，得到的几何体是圆柱，它的底面是半径为1的圆，其周长为2π·1＝2π.故选C.
5．答案：B 解析：①中应以直角三角形的直角边所在直线为轴，②中应以直角梯形的直角腰所在直线为轴，④中应用平行于底面的平面去截，③正确．故选B.
6．答案：63 cm 2
解析：圆台的高为h ＝（310）2
－（5－2）2
＝9(cm)，
∴S ＝（4＋10）×92
＝63(cm 2).
7．解析：如图所示，设圆台的母线长为l cm ，截得圆台的上、下底面半径分别为r cm ，
4r cm.根据相似三角形的性质得33＋l ＝r
4r
，解得l ＝9.所以圆台的母线长为9 cm.
关键能力综合练
1．答案：B 解析：根据零件原胚的直观图可知，中空部分呈圆柱形状，而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，分析四个选项，A 项，旋转后圆台；C 项，旋转后圆台；D 项，球体中挖去一个小球．故选B.
2．答案：B
解析：对于①，圆柱的母线与它的轴是平行的，所以①错误； 对于②，圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，所以②正确；
对于③，在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆台的母线，所以③错误；
对于④，圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的，所以④正确．综上可知，正确
命题的序号是②④.故选B.
3．答案：C
解析：由圆柱与球的结构特征可知①②正确．由圆锥的结构特征可知③错误．故选C. 4．答案：D
解析：由题知圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r ，则圆锥的底面积为πr 2
，圆
锥的侧面积为12
×2πr ×2r ＝2πr 2
，所以它的底面积与侧面积之比为1∶2.故选D.
5．答案：D
解析：旋转体如图，可知选D.
6．答案：②
解析：①所取的两点与圆柱的轴的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符．③所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点，不符合圆台母线的定义．②符合圆锥母线的定义及性质．
7．答案：(2)(3)(4)
解析：(1)不正确，因为当直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的旋转体不是圆锥；
(2)正确，以等腰三角形底边上的中线所在直线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；
(3)正确，因为圆锥的母线长都相等，所以经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形； (4)正确，如图所示，圆锥侧面的母线长l 有可能大于圆锥底面圆半径r 的2倍(即直径). 8．答案：3 cm ，4 cm 或4 cm ，3 cm
解析：当以3 cm 长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为3 cm ，底面半径为4 cm ； 当以4 cm 长的一边所在直线为轴旋转时，母线长为4 cm ，底面半径为3 cm. 9．解析：正三角形绕直线l 旋转180°得到圆锥，圆绕直线l 旋转180°得到的是球体，所以得到的几何体是圆锥挖去一个与圆锥底面和侧面均相切的球．
学科素养升级练
1．答案：ABC
解析：因为圆锥的底面半径为3，所以圆锥的底面周长为2π·3＝6π，又因为圆锥的
母线长为4，所以圆锥的侧面展开图的圆心角为6π4 ＝3π
2 ，所以A 选项说法正确；因为圆
锥的底面半径为3，母线长为4，所以圆锥的高h ＝42
－32
＝7 ，所以B 选项说法正确；
设圆锥的两条母线的夹角为θ，过这两条母线作截面所得截面的面积为1
2
×4×4·sin θ
＝8sin θ，当θ＝π
2
时，面积有最大值，最大值为8，此时，截面与底面交线长为42 ，
小于底面直径6，所以C 选项说法正确；圆锥轴截面的面积为1
2
×6×7 ＝37 ，所以D
选项说法不正确．故选ABC.
2．解析：
(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM 的长度，设OB ＝l ，圆心角为θ，
则⎩⎪⎨⎪⎧θ·l ＝2π×5，θ·（l ＋20）＝2π×10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π2，l ＝20.
所以OA ＝40(cm)，OM ＝30(cm)，
所以AM ＝OA 2＋OM 2
＝50(cm)， 即绳子最短长度为50 cm.
(2)作OQ ⊥AM 于点Q ，交弧BB ′于点P ，则PQ 为所求的最短距离． 因为OA ·OM ＝AM ·OQ ，
所以OQ ＝OA ·OM AM ＝40×30
50
＝24(cm)，
故PQ ＝OQ －OP ＝24－20＝4(cm)，
即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.。