2024年中考数学总复习考点培优训练第四章专项3 一线三等角模型

第3题解图③
专项3 一线三等角模型
∵∠C＝90°， ∴∠APC＋∠CAP＝90°， ∴∠BPE＝∠CAP＝∠BAE. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝45°， ∴∠BAE＋∠BAP＝45°，即∠EAP＝45°， ∴△AEP是等腰直角三角形， ∴PA＝PE.
第3题解图③
专项3 一线三等角模型
(3)【拓展延伸】 如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转 90°与BD交于点E，探究线段BA，BP，BE之间的数量关系， 并说明理由．
第3题解图④
专项3 一线三等角模型
在△PAC和△EPH中，CCAPEHHPPE ,
AP PE
∴△PAC≌△EPH(AAS)，∴CP＝HE，
即BE＝ 2 CP，∴CP＝ 2 BE.
2
又∵BA＝ 2 BC，
第3题解图④
∴BA＝
2 (BP＋CP)＝
2
(BP＋
2 2
BE)＝
2 BP＋BE.
专项3 一线三等角模型
∴∠BPE＝∠CAP.在△PBE和△AGP中，
PBE AGP
BP
GA
,
BPE GAP
∴△PBE≌△AGP(ASA)，∴PA＝PE；
第3题解图②
专项3 一线三等角模型
【一题多解】 如解图③，连接AE. ∵∠ABE＝∠APE＝90°， ∴A，P，B，E四点在以AE为直径的圆上． ∵ BE ＝ BE ， ∴∠BAE＝∠BPE. 又∵∠APE＝90°， ∴∠BPE＋∠APC＝90°.
第1题图
专项3 一线三等角模型
2. (2023邵阳)如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一
点，且CB⊥BE.已知AB＝8，AC＝6，DE＝4.
(1)证明：△ABC∽△DEB；
(1)证明：∵AC⊥AD，ED⊥AD，
∴∠A＝∠D＝90°，∠C＋∠ABC＝90°.
∵CB⊥BE，∴∠ABC＋∠EBD＝90°，
(3)BA＝ 2 BP＋BE或BA＝BE－ 2 BP. 理由如下： ∵点P在射线CB上移动，∴分情况讨论：
第3题图③
专项3 一线三等角模型
①当点P在线段CB上时， 如解图④，过点E作EH⊥CB交射线CB于点H. ∵∠ABC＝45°，∠ABD＝90°， ∴∠EBH＝45°， 即BE＝ 2 HE. 由(2)可知，∠CAP＝∠BPE，PA＝PE，
专项3
一线三等角模型
专项3 一线三等角模型
1. (2023通辽)如图，等边三角形ABC的边长为6 cm，动点P从点 A出发以2 cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB， 交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ 异侧，当点D落在BC边上时，点P需移动__1__s.
∴∠C＝∠EBD，
∴△ABC∽△DEB；
第2题图
专项3 一线三等角模型
(2)求线段BD的长．
(2)解：由(1)得△ABC∽△DEB， ∴ AB AC .
DE DB
∵AB＝8，AC＝6，DE＝4， ∴8 6 ,
4 DB
∴BD＝3.
第2题图Βιβλιοθήκη 专项3 一线三等角模型3. (2023贵州)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰 直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB， ∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为点B，点P在CB上. (1)【动手操作】 如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆 时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中 ∠PBE的度数为_____度；
第3题解图⑤
第3题图
专项3 一线三等角模型
【解法提示】∵CA＝CB，∠C＝90°， ∴∠ABC＝ 1 ×(180°－90°)＝45°.
2
又∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°， ∴∠PBE＝∠ABC＋∠ABD＝135°. 解：(1)画出图形如解图①，135；
第3题图
第3题解图①
专项3 一线三等角模型
(2)【问题探究】 根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由； (2)PA＝PE.理由如下： 如解图②，过点P作PG∥AB交AC于点G.
②当解点题P关在键C点B的延长线上时， 如解图⑤，过点E作EI⊥CB交射线CB于点I. 观∵察∠设A问BC：＝探4究5°线段，B∠AA，BBDP，＝B9E0之°间，的∴数∠量E关B系I＝，45°，
并说明理由；
即BE＝ 2 IE.同理可证，△PAC≌△EPI， 观 在∴ 又察射C∵P线题B＝干CABI＝：E上，C，A2即将＝BBC射CBE，线，＝P∠A绕C2 ＝C点P9P0，逆°∴时，针CBDP旋＝⊥转A92B20，B°E点与. P B∴DB交A于＝点E2；(CP－BP)＝ 2( 2 BE－BP)＝BE－ 2 BP. 关综键上点所：述分，点BPA在，线B段PC，B上BE和之点2 间P在的C数B的量延关长系线上 两为种BA情＝况构2 造BP一＋线B三E垂或直B模A＝型是BE解－题的2 关B键P.．
∵△ABC为等腰直角三角形， ∴△CPG为等腰直角三角形， ∴CG＝CP，∠AGP＝∠C＋∠CPG＝135°. ∴∠PBE＝∠AGP.
第3题解图① 第3题解图②
专项3 一线三等角模型
又∵AC＝BC，∴AC－CG＝BC－CP，
即GA＝PB.
∵∠APE＝90°，∴∠BPE＋∠APC＝90°.
∵∠C＝90°，∴∠APC＋∠CAP＝90°，