2020年高中数学必修第一册：函数的单调性 练习(北师大版)(解析版)

第二章函数
第2.3节函数的单调性
一．选择题（共12小题）
1．函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数．则（）
A．m＞B．m＜C．m＞﹣D．m＜﹣
【答案】B
【解析】解：根据题意，函数y＝（2m﹣1）x+b在R上是减函数，
则有2m﹣1＜0，解可得m＜，
故选：B．
2．函数f（x）＝﹣x2+x﹣1的单调递增区间为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：根据题意，由已知，
所以函数在上为增函数，
故选：D．
3．函数f（x）＝x|x﹣2|的递减区间为（）
A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（1，2）D．（0，2）
【答案】C
【解析】解：当x≥2时，f（x）＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，对称轴为x＝1，此时f（x）为增函数，当x＜2时，f（x）＝﹣x（x﹣2）＝﹣x2+2x，对称轴为x＝﹣，抛物线开口向下，当1＜x＜2时，f（x）为减函数，
即函数f（x）的单调递减区间为（1，2），
故选：C．
4．下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）
A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．D．f（x）＝﹣|x|
【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝3﹣x为一次函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；
对于B，f（x）＝x2﹣3x为二次函数，在（0，）上为减函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝﹣为反比例函数，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；
对于D，f（x）＝﹣|x|，当x＞0时，f（x）＝﹣x，则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；
故选：C．
5．函数f（x）＝ax2﹣（3a﹣1）x+a2在[1，+∞）上是增函数，则a的范围为（）A．（﹣∞，1）B．（0，1] C．[0，1] D．（﹣∞，1]
【答案】C
【解析】解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣（3a﹣1）x+a2在[1，+∞）上是增函数，
分2种情况讨论：
①，若a＝0，则f（x）＝x，在R上为增函数，符合题意；
②，若a≠0，则有，解可得0＜a≤1，
综合可得：a的取值范围为[0，1]；
故选：C．
6．下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f （x2）]＜0”的是（）
A．f（x）＝B．f（x）＝（x﹣1）2
C．f（x）＝D．f（x）＝
【答案】A
【解析】解：根据题意，若函数f（x）满足“对任意的x1，x2∈（0，+∞），当x1≠x2时，都有（x1﹣x2）•[f（x1）﹣f（x2）]＜0”，
则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，据此分析选项：
对于A，f（x）＝，在（﹣1，+∞）上为减函数，符合题意；
对于B，f（x）＝（x﹣1）2，在（1，+∞）上为增函数，不符合题意；
对于C，f（x）＝﹣，其定义域为{x|x≠1}，不符合题意；
对于D，f（x）＝，其定义域为{x|x≠2}，不符合题意；
故选：A．
7．若函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2在区间（1，3）是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]，+∞）B．[]
C．（﹣∞，3]∪[4，+∞）D．[3，4]
【答案】A
【解析】解：根据题意，函数y＝x2﹣（2a﹣1）x﹣2为二次函数，其对称轴为x＝，若其在（1，3）是单调函数，
则≤1或≥3，
解可得：x≤或x≥，
即实数a的取值范围是（﹣∞，]，+∞）；
故选：A．
8．函数f（x）＝x2+ax+2在（3，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a＝﹣6 B．a≥﹣6 C．a＞﹣6 D．a≤﹣6
【答案】B
【解析】解：根据题意，函数f（x）＝x2+ax+2为二次函数，其对称轴为x＝﹣，
若f（x）在（3，+∞）上单调递增，
则有﹣≤3，解可得a≥﹣6；
故选：B．
9．函数f（x）＝|x2﹣6x+8|的单调递增区间为（）
A．[3，+∞）B．（﹣∞，2），（4，+∞）
C．（2，3），（4，+∞）D．（﹣∞，2]，[3，4]
【答案】C
【解析】解：函数f（x）＝|x2﹣6x+8|，
当x2﹣6x+8＞0即x＞4或x＜2，
可得f（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1，
即有f（x）在（4，+∞）递增；
当x2﹣6x+8＜0即2＜x＜4，
可得f（x）＝﹣x2+6x﹣8＝﹣（x﹣3）2+1，
即有f（x）在（2，3）递增；
则f（x）的增区间为（4，+∞），（2，3）．
故选：C．
10．函数y＝f（x）的图象如图所示，其减区间是（）
A．[﹣4，4] B．[﹣4，﹣3]∪[1，4]C．[﹣3，1] D．[﹣4，﹣3]，[1，4] 【答案】D
【解析】解：由图象知函数在[﹣4，﹣3]以及[1，4]上图象递减，
则对应的减区间为[﹣4，﹣3]，[1，4]，
故选：D．
11．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）
A．f（x）＝3﹣x B．f（x）＝x2﹣3x C．f（x）＝﹣x+1 D．f（x）＝|x|
【答案】D
【解析】解：由一次函数的单调性可知，f（x）＝3﹣x，f（x）＝1﹣x在区间（0，+∞）上是减函数，
由二次函数的单调性可知，y＝x2﹣3x在区间（0，+∞）上先减后增，
y＝|x|在（0，+∞）上为增函数．
故选：D．
12．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，若f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣1，2）B．[﹣1，2]
C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
【答案】A
【解析】解：由题意，可知：
∵对任意的x1，x2且x1≠x2都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0成立，
∴函数f（x）在定义域R上为增函数．
又∵f（x2+1）＞f（m2﹣m﹣1）对x∈R恒成立，
∴x2+1＞m2﹣m﹣1，
∴m2﹣m﹣1＜1，
即：m2﹣m﹣2＜0．
解得﹣1＜m＜2．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
13．已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围为m≤0或m≥4．【答案】m≤0或m≥4
【解析】解：根据题意，f（x）＝x2﹣（m+2）x+2为二次函数，其对称轴为x＝，
若f（x）在[1，3]上是单调函数，则有≤1或≥3，
解可得m≤0或m≥4，
即m的取值范围为m≤0或m≥4；
故答案为：m≤0或m≥4．
14．已知函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2在区间[1，+∞）上不单调，则实数a的取值范围是（0，1）．【答案】（0，1）
【解析】解：根据题意，函数f（x）＝ax2﹣2x﹣2，
当a＝0时，f（x）＝﹣2x﹣2，在区间[1，+∞）上是减函数，不符合题意；
当a≠0时，f（x）＝ax2﹣2x﹣2，若f（x）在区间[1，+∞）上不单调，
必有＞1，
解可得：0＜a＜1，
即a的取值范围为（0，1）；
故答案为：（0，1）．
15．若f（x）＝（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是a≥2．【答案】a≥2
【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：
①，a﹣2＝0，即a＝2，f（x）＝x+3，在[2，+∞）上是增函数，符合题意；
②，a﹣2≠0，若f（x）＝（a﹣2）x2+（a﹣1）x+3在[2，+∞）上是增函数，
必有，解可得：a＞2，
综合可得：a的取值范围为：a≥2；
故答案为：a≥2．
16．已知函数y＝﹣x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则实数a的取值范围是[4，+∞）．【答案】[4，+∞）
【解析】解：根据题意，函数y＝﹣x2+ax+1为二次函数，对称轴为x＝，
若函数y＝﹣x2+ax+1在区间[1，2]上是增函数，则≥2，解可得a≥4；
即实数a的取值范围为[4，+∞）；
故答案为：[4，+∞）．
三．解答题（共4小题）
17．已知函数f（x）的图象如图所示：
（1）根据函数图象，写出f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递增，求a的取值范围
【解析】（1）由图象知，函数的单调递减区间为[﹣1，2]，递增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．（2）若f（x）在[a﹣1，a+1]上单调递增，则a+1≤﹣1或a﹣1≥2，
得a≥3或a≤﹣2，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）．
18．设函数f（x）＝|x2﹣4x+3|，x∈R．
（1）在区间[0，4]上画出函数f（x）的图象；
（2）写出该函数在R上的单调区间．
【解析】解：（1）函数f（x）＝|x2﹣4x+3|＝|（x﹣2）2﹣1|；
（列表，描点，作图）
x0 1 2 3 4
y 3 0 1 0 3
（2）根据函数f（x）的图象，不难发现，
函数f（x）在x∈（﹣∞，1]上单调递减；
函数f（x）在x∈[1，2]上单调递增；
函数f（x）在x∈[2，3]上单调递减；
函数f（x）在x∈[3，+∞）上单调递增．
19．试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（﹣1，1）上的单调性．
【解析】解：f（x）＝a+，
f（x）图象是由反比例函数y＝，向右平移1个单位在向上或下平移|a|单位得到的，∵a＜0时，y＝在（﹣∞，0），和（0，+∞）上分别为增函数，
a＞0时，y＝在（﹣∞，0），和（0，+∞）上分别为减函数，
∴a＜0时，f（x）在（﹣1，1）上为增函数，
a＞0时，f（x）在（﹣1，1）上为减函数．
20．已知
（1）画出这个函数的图象；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数f（x）的最大值和最小值．
【解析】解：（1）∵f（x）＝，作出其图象如下：
（2）由f（x）的图象可得，单调递减区间为：[﹣3，﹣2]，[0，1），[3，6]；递增区间为：[﹣2，0），[1，3]．
（3）由f（x）的图象可得，当x＝3时，f（x）取得最大值为4，当x＝6时，f（x）取得最小值﹣5．。