河北省承德市2021届新高考二诊数学试题含解析

河北省承德市2021届新高考二诊数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数2
1()(1)()2
x f x ax x e a R =
--∈若对区间[]01，内的任意实数123x x x 、、，都有
123()()()f x f x f x +≥，则实数a 的取值范围是( ）
A ．[]1
2， B ．[]e,4
C ．
[]14， D ．[)[]
12,4e ⋃， 【答案】C 【解析】
分析：先求导,再对a 分类讨论求函数的单调区间，再画图分析转化对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥，得到关于a 的不等式组，再解不等式组得到实数a 的取值范围. 详解：由题得()[(1)]()x
x
x
x
f x ax e x e ax xe x a e =-+-=-=-'.
当a ＜1时，()0f x '<，所以函数f （x ）在[]
01
，单调递减， 因为对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(1)(1)(0)f f f +≥， 所以
11
1,22
a a +≥ 故a≥1，与a ＜1矛盾，故a ＜1矛盾.
当1≤a<e 时，函数f(x)在[0,lna]单调递增，在(lna,1]单调递减. 所以2max 1
()(ln )ln ln ,2
f x f a a a a a a ==
-+ 因为对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(1)(ln )f f f a +≥，
所以211
1ln ln ,22a a a a a a +
≥-+ 即2
11ln ln 1022
a a a a a -+-≤
令2
11()ln ln 1,(1)22g a a a a a a a e =-+-≤<，
所以2
1()(ln 1)0,2
g a a =-<'
所以函数g(a)在（1，e ）上单调递减， 所以max 1
()(1)02
g a g ==-
<， 所以当1≤a<e 时，满足题意.
当a e ≥时，函数f(x)在(0,1)单调递增,
因为对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥， 所以(0)(0)(1)f f f +≥, 故1+11
2
a ≥
， 所以 4.a ≤ 故 4.e a ≤≤
综上所述，a ∈[]
1
4，. 故选C.
点睛：本题的难点在于“对区间[]
01
，内的任意实数123x x x 、、，都有()()()123f x f x f x +≥”的转化.由于是函数的问题，所以我们要联想到利用函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等）来分析解答问题.本题就是把这个条件和函数的单调性和最值联系起来，完成了数学问题的等价转化，找到了问题的突破口.
2．执行如图所示的程序框图，若输入ln10a =，lg b e =，则输出的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2lg e
D ．2lg10
【答案】A 【解析】 【分析】
根据输入的值大小关系，代入程序框图即可求解.
【详解】
输入ln10a =，lg b e =，
因为ln101lg e >>，所以由程序框图知， 输出的值为11ln10ln10ln100lg a b e
-=-=-=. 故选：A 【点睛】
本题考查了对数式大小比较，条件程序框图的简单应用，属于基础题. 3．下列选项中，说法正确的是（ ）
A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2
000x R x x ∃∈->，”
B ．若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r
的夹角为钝角 C ．若22am bm ≤，则a b ≤
D ．“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】
对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r
的夹角为钝角或平角；对于C 当m=0时，满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断． 【详解】
选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确； 选项B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r
的夹角为钝角或平角，因此不正确. 选项C 当m=0时,满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立，因此不正确；
选项D 若“()x A B ∈I ”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈U ”，因此“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件，故正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.
4．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则1
2
z z 等于（ ） A ．345
i
+-
B ．
345
i
+ C ．34i -+
D ．
345
i
-+ 【答案】A 【解析】 【分析】
先通过复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到22z i =-+，再利用复数的除法求解1
2
z z . 【详解】
因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数12z i =+， 所以22z i =-+
所以
()()()1222234
22255
+--+===---+-+--i i z i i z i i i 故选：A 【点睛】
本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题.
5．某中学有高中生1500人，初中生1000人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为n 的样本.若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ） A ．20 B ．50
C ．40
D ．60
【答案】B 【解析】 【分析】
利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可. 【详解】
由题意，30=150015001000
n
⨯+，解得50n =.
故选：B. 【点睛】
本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.
6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2- B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】C
【分析】
利用等差数列的性质化简已知条件，求得2a 的值. 【详解】
由于等差数列{}n a 满足443S a =+，所以123443a a a a a +++=+，1233a a a ++=，2233,1a a ==. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.
7．设函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4
x π
=
对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
2
B ．
C ．
12 D ．12
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数()f x 为R 上的奇函数可得ϕ，由函数()f x 的对称轴及单调性即可确定ω的值，进而确定函数
()f x 的解析式，即可求得12f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值.
【详解】
函数()()sin f x x ωϕ=+（0>ω，0ϕπ<≤）是R 上的奇函数， 则ϕπ=，所以
()sin f x x ω=-.
又()f x 的图象关于直线4
x π
=
对称可得
4
2
k πω
π
π=
+，k Z ∈，即24k ω=+，k Z ∈，
由函数的单调区间知，12114π
πω
≤⋅， 即 5.5ω≤，
综上2ω=，则()sin 2f x x =-，
1122f π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
.
故选：D
本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题. 8．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）
A ．
12
B ．
13
C
．
4
D
．
3
【答案】C 【解析】 【分析】
根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率. 【详解】
因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以
1d =
≤
，解得k ≤≤
所以相交的概率224
P ==
,故选C.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题. 9．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是公比为1
3的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为
（ ） A ．(1,2) B ．(0,3)
C ．(0,2)
D ．(0,1)
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】
由已知得1
11
11113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，则
1
11
1111
3n n a a -=
⎛⎫⎛⎫
-+ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭.
因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，
所以10n n a a +>>，则1
1111
11111111
33n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭， 化简得11
111
0113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<.
故选：D. 【点睛】
本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.
10．过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=u u u v u u u v ，若以AB
为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 B ．3
C ．2
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
由0FA FB +=u u u r u u u r 得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2
b a
c a
=+，再结合,,a b c 关系求解即可
【详解】
因为0FA FB +=u u u r u u u r
，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左
顶点，所以2b a c a =+，即22
c a a c a
-=+，则c a a -=，故2c e a ==.
故选：C 【点睛】
本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题．
11．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则
()
AB AC AD ⋅+=u u u r u u u r u u u r
（ ）
A ．
5
2
B ．4
C ．2
D ．13+【答案】B 【解析】
【分析】
连接CD 、OD ，即可得到60CAB DOB ︒∠=∠=，1AC =，再根据平面向量的数量积及运算律计算可得； 【详解】
解：连接CD 、OD ，
C Q ，
D 是半圆弧的两个三等分点， //CD AB ∴，且2AB CD =，60CAB DOB ︒∠=∠=
所以四边形AODC 为棱形，
1cos 12
12
AC AB AC AB BAC ∴=∠=⨯⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r g g
∴()
11222AB AC AD AB AC AC AB AB AC AB ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g
2
122AC AB AB =+u u u r u u u r u u u r g ．
21
21242
=⨯+⨯=
故选：B
【点睛】
本题考查平面向量的数量积及其运算律的应用，属于基础题.
12．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，
2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-
C ．2(2log 6,0]-
D ．2log 32
(
,0]4
- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.
当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.
当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1
(,4)4
内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.
当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.
若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.
只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292
a a <+⎧⎨≥+⎩，解得
2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32
(,0]4
-.故选D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则的值
是 ． 【答案】25
【解析】
试题分析：由三角函数定义知5cos 5
α=
=，又由诱导公式知5
cos()cos παα-=-=-，所以答案应填：．
考点：1、三角函数定义；2、诱导公式．
14．已知函数()()2
2,2,
{2,2,
x x f x x x -≤=-> 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则的取值范围是__________．
【答案】7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
∵()(
)2
2,2,
2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩， ∴()2
22,02{
,0
x x f x x x ---=<… ，
∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点， ∴方程f(x)−g(x)=0有四个解， 即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解，
即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b 的图象有四个交点，
()()222,0
2{2,02
58,2
x x x y f x f x x x x x ++<=+-=-+>剟 ， 作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b 的图象如下，
115572222224f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+-=+
-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ ，
结合图象可知，
7
4
<b<2，
故答案为7,24⎛⎫
⎪⎝⎭
. 点睛： (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
15．已知F 为双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D 为垂足，
且||||2
FD OF =（O 为坐标原点）
，则C 的离心率为________. 【答案】2 【解析】 【分析】
求出焦点到渐近线的距离就可得到,,a b c 的等式，从而可求得离心率． 【详解】
由题意(c,0)F ，一条渐近线方程为b
y x a
=，即0bx ay -=，
∴ FD b =
=，由||||2FD OF =得2b c =，
∴2
22234b c c a =
=-，224c a =，∴2c
e a
==． 故答案为：2. 【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于,,a b c 的等式． 16．函数2()x f x x e -=⋅的极大值为________. 【答案】12e
【解析】 【分析】
对函数求导，根据函数单调性，即可容易求得函数的极大值. 【详解】
依题意，得222()e 2e e (12)x x x
f x x x ---'=-=-.
所以当1,
2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,2x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<.
所以当12
x =时，函数()f x 有极大值1
2e . 故答案为：12e
. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的性质，考查运算求解能力以及化归转化思想，属基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()ln f x x x x =+，()x x g x e
=
. （1）若不等式()()2
f x
g x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值； （2）证明：()()1f x x g x +->.
（3）设方程()()f x g x x -=的实根为0x .令()()()
00,1,
,,f x x x x F x g x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩若存在1x ，()21,x ∈+∞，
12x x <，使得()()12F x F x =，证明：()()2012F x F x x <-.
【答案】（1）1
e
（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）由题意可得，ln 1x x a e +≤，令()ln 1
x
x k x e +=，利用导数得()k x 在[)1,+∞上单调递减，进而可得结论；
（2）不等式转化为11ln x x x e +>，令()1ln t x x x =+，()1
x h x e
=，利用导数得单调性即可得到答案； （3）由题意可得0
01
ln x x e =
，进而可将不等式转化为()()1012F x F x x <-，再利用单调性可得0
1
011122ln x x x x
x x e --<，记()0
022ln x x x x m x x x e --=-，01x x <<，再利用导数研究单调性可得()m x 在()
01,x 上单调递增，即()()00m x m x <=，即01
01
1122ln x x x x x x e --<，即可得到结论.
【详解】
（1）()()2
f x
g x ax ≥，即()2
ln x x x x x ax e +⋅
≥，化简可得ln 1x x a e
+≤. 令()ln 1x x k x e
+=，()()1
ln 1x
x x k x e -+'=，因为1x ≥，所以11x ≤，ln 11x +≥. 所以()0k x '≤，()k x 在[
)1,+∞上单调递减，()()11k x k e
≤=. 所以a 的最小值为
1e
.
（2）要证()()1f x x g x +->，即()ln 10x x
x x x e
+>
>. 两边同除以x 可得11
ln x
x x e +
>. 设()1ln t x x x =+
，则()22111x t x x x x
-'=-=. 在()0,1上，()0t x '
<，所以()t x 在()0,1上单调递减.
在()1,+∞上，()0t x '>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11t x t ≥=. 设()1
x h x e
=
，因为()h x 在()0,∞+上是减函数，所以()()01h x h <=. 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->.
（3）证明：方程()()f x g x x -=在区间()1,+∞上的实根为0x ，即0
01
ln x x e =
，要证 ()()2012F x F x x <-，由()()12F x F x =可知，即要证()()1012F x F x x <-.
当01x x <<时，()ln F x x x =，()1ln 0F x x '=+>，因而()F x 在()01,x 上单调递增. 当0x x >时，()x x F x e =
，()10x
x
F x e -'=<，因而()F x 在()0,x +∞上单调递减. 因为()101,x x ∈，所以0102x x x ->，要证()()1012F x F x x <-. 即要证01
01
1122ln x x x x x x e --<
.
记()0022ln x x
x x
m x x x e
--=-
，01x x <<. 因为001ln x x e =，所以0000ln x x x x e =，则()0
0000ln 0x x
m x x x e =-=.
()0000022212121ln 1ln x x x x x x
x x x x
m x x x e e e
---+--'=++=++-. 设()t t n t e =，()1t t
n t e
-'=，当()0,1t ∈时，()0n t '>.
()1,t ∈+∞时，()0n t '<，故()max 1
n t e
=.
且()0n t >，故()10n t e <<，因为021x x ->，所以002120x x x x
e e
---<<.
因此()0m x '
>，即()m x 在()01,x 上单调递增.
所以()()00m x m x <=，即01
01
1122ln x x x x x x e --<.
故()()2012F x F x x <-得证. 【点睛】
本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.
18．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为
1sin ρθ=-（02,0θπρ≤<>），M 为该曲线上的任意一点.
（1）当3
2
OM =
时，求M 点的极坐标； （2）将射线OM 绕原点O 逆时针旋转
2
π
与该曲线相交于点N ，求MN 的最大值. 【答案】（1）点M 的极坐标为37,26π
⎛⎫ ⎪⎝
⎭或311,26
π⎛⎫
⎪⎝⎭
（221 【解析】 【分析】 （1）令
3
1sin 2
θ=-，由此求得θ的值，进而求得点M 的极坐标. （2）设出,M N 两点的极坐标，利用勾股定理求得MN 的表达式，利用三角函数最值的求法，求得MN 的最大值. 【详解】
（1）设点M 在极坐标系中的坐标3,2θ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 由1sin ρθ=-，得31sin 2θ=-，1
sin 2
θ=- ∵02θπ≤< ∴76θπ
=
或116
πθ=， 所以点M 的极坐标为37,26
π
⎛⎫
⎪⎝⎭或311,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭
（2）由题意可设()1,M ρθ，2,
2N π
ρθ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭
.
由1sin ρθ=-，得11sin ρθ=-，21sin 1cos 2πρθθ⎛⎫
=-+=-
⎪⎝⎭
.
==
M N
=
=
故54
π
θ=
时，MN 1. 【点睛】
本小题主要考查极坐标的求法，考查极坐标下两点间距离的计算以及距离最值的求法，属于中档题. 19．在某社区举行的2020迎春晚会上，张明和王慧夫妻俩参加该社区的“夫妻蒙眼击鼓”游戏，每轮游戏中张明和王慧各蒙眼击鼓一次，每个人击中鼓则得积分100分，没有击中鼓则扣积分50分，最终积分以家庭为单位计分.已知张明每次击中鼓的概率为
34
，王慧每次击中鼓的概率为2
3；每轮游戏中张明和王慧
击中与否互不影响，假设张明和王慧他们家庭参加两轮蒙眼击鼓游戏.
（1）若家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，问张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动洗衣机的概率是多少？
（2）张明和王慧他们家庭两轮游戏得积分之和ξ的分布列和数学期望()E ξ. 【答案】（1）2
3
（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）要积分超过200分，则需两人共击中4次，或者击中3次，由此利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
（2）求得ξ的所有可能取值，根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. 【详解】
（1）由题意，当家庭最终积分超过200分时，这个家庭就可以领取一台全自动洗衣机，所以要想领取一台全自动洗衣机，则需要这个家庭夫妻俩在两轮游戏中至少击中三次鼓.设事件i A 为“张明第i 次击中”，事件i B 为“王慧第i 次击中”，1,2i =，由事件的独立性和互斥性可得P （张明和王慧家庭至少击中三次鼓）
()()()()()
12121212121212121212P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B =++++
3322132233122
24433443344333
⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以张明和王慧他们家庭可以领取一台全自动
洗衣机的概率是
23
. （2）ξ的所有可能的取值为－200，－50，100，250，400.
11111
(200)4433144
P ξ=-=⨯⨯⨯=，
111231115
(50)24433443372
P ξ⎛⎫=-=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
13123311112237
(100)4443344334433144P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
331231225
(250)24433443312
P ξ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，
3322361
(400)44331444
P ξ==⨯⨯⨯==.
∴ξ的分布列为
∴()200(50)10025040022514472144124
E ξ=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=（分） 【点睛】
本小题考查概率，分布列，数学期望等概率与统计的基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数据处理，应用意识.
20．已知函数2()1f x x x =-+，且,R m n ∈．
（1）若22m n +=，求()2()f m f n +的最小值，并求此时,m n 的值； （2）若||1m n -<，求证:|()()|2(||1)f m f n m -<+． 【答案】（1）最小值为7
3，此时23
m n ==；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）由已知得2
2
2
2
()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n +=+-++=++， 法一:22m n +=Q ，22m n ∴=-，根据二次函数的最值可求得；
法二:运用基本不等式构造2
2
221(24+4)3m n m n n m +≥
+214
=(2)=33m n +，可得最值； 法三：运用柯西不等式得：222
222222=)(111112(()3)3
m n m n n m n n +++≥++++，可得最值；
（2）由绝对值不等式得，()()11f m f n m n m n m n -=-⋅+-<+-，又
1m n +-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m =-+-≤-+-<++=+，可得证.
【详解】
（1）2
2
2
2
()2()(2)(2)321f m f n m n m n m n +=+-++=++， 法一:22m n +=Q ，22m n ∴=-，
2222277
()2()(22)216856()333
f m f n n n n n n ∴+=-++=-+=-+≥
()2()f m f n ∴+的最小值为7
3，此时23
m n ==；
法二:22222222221=)=+2(112(36[+4)](3+434)3m n m n m m n n m n n m +++≥+Q 2
14=(2)=33
m n +，
47()2()133f m f n ∴+≥+=，即()2()f m f n +的最小值为7
3，此时23
m n ==；
法三：由柯西不等式得：
2222222222=)(1111114
2(()(2)333)3
m n m n n m n n m n +++≥++=+=++，
47()2()133f m f n ∴+≥+=,即()2()f m f n +的最小值为7
3，此时23
m n ==；
（2）1m n -<Q ，2
2
()()()()11f m f n m n m n m n m n m n ∴-=---=-⋅+-<+-， 又1m n +-()(21)211(21)2(1)n m m m n m m m =-+-≤-+-<++=+，
|()()|2(||1)f m f n m ∴-<+.
【点睛】
本题考查运用基本不等式，柯西不等式，绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值，属于中档题.
21．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨=+⎩（α为参数），M 为1C 上的动点，P 点
满足2OP OM =u u u r u u u u r
，点P 的轨迹为曲线2C . （Ⅰ）求2C 的方程；
（Ⅱ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2
C 的异于极点的交点为B ，求AB .
【答案】（Ⅰ）4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩
（α为参数）；（Ⅱ）【解析】 【分析】
（Ⅰ）设点(),P x y ，()11,M x y ，则1
122x x y y =⎧⎨
=⎩
，代入化简得到答案.
（Ⅱ）分别计算1C ，2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，8sin ρθ=，取3
π
θ=代入计算得到答案.
【详解】
（Ⅰ）设点()
,P x y ，()11,M x y ，2OP OM =u u u r u u u u r
，故1
1
22x x y y =⎧⎨
=⎩，
故2C 的参数方程为：4cos 44sin x y α
α
=⎧⎨=+⎩（α为参数）.
（Ⅱ）12cos :22sin x C y αα
=⎧⎨
=+⎩，故22
40x y y +-=，极坐标方程为：4sin ρθ=；
24cos :44sin x C y αα
=⎧⎨=+⎩，故2280x y y +-=，极坐标方程为：8sin ρθ=.
3
π
θ=
，故14sin
233
π
ρ==，28sin
433
π
ρ==，故1223AB ρρ=-=.
【点睛】
本题考查了参数方程，极坐标方程，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力. 22．已知抛物线1C ：22y px =（0p >）上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.
（1）求p 的值；
（2）设()00,P x y （002x <≤）为抛物线1C 上的动点，过P 作圆()2
211x y ++=的两条切线分别与y
轴交于A 、B 两点.求AB 的取值范围. 【答案】（1）2p =；（2）02AB <≤ 【解析】 【分析】
（1）根据横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4，由抛物线的定义得到342
p
+
=求解. （2）设过点()00,P x y 的直线方程为00()y y k x x -=-，根据直线与圆()2
211x y ++=相切，则有
002(1)
11
y k x k -+=+，整理得：()()(
)2220000022110x x k y x k y +-++-=，根据题意
()()0010020,,0,k A y x B y k x --，建立()
00
2
1212124k k k k A x k x k B -=+-=，将韦达定理代入求解.
【详解】
（1）因为横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4， 由抛物线的定义得：342
p
+=， 解得:2p =.
（2）设过点()00,P x y 的直线方程为00()y y k x x -=-， 因为直线与圆()2
211x y ++=相切，
所以
002
(1)
11
y k x k -+=+，
整理得：()()()
2
2
2
0000022110x x k y x k y +-++-=，
()200012122
20000
211
,22y x y k k k k x x x x +-+=⋅=++， 由题意得：()()0010020,,0,k A y x B y k x -- 所以()
002
1212124k k k k A x k x k B -=+-=，()
()
()
22000
2
2
00028
2
2
21222y x x x x x ++==-
+
++++，
因为002x <≤，
所以011
2
214x +≤<， 所以02AB <≤. 【点睛】
本题主要考查抛物线的定义及点与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90ABC ∠=︒，22AB DC BC ==，E 为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点B ，C 不重合）.
（Ⅰ）证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；
（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值6
N 点位置；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）存在，此时N 为BC 的中点. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）证明PE ⊥平面EBCD ，得到平面PEB ⊥平面EBCD ，故平面PBC ⊥平面PEB ，EM ⊥平面
PBC ，得到答案.
（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，MQ ⊥平面EBCD ，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥，过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角，设2PE EB BC ===，BN x =，计算得到答案. 【详解】
（Ⅰ）∵PE EB ⊥，PE ED ⊥，EB ED E =I ，∴PE ⊥平面EBCD . 又PE ⊂平面PEB ，∴平面PEB ⊥平面EBCD ，
而BC ⊂平面EBCD ，BC EB ⊥，∴平面PBC ⊥平面PEB ， 由PE EB =，PM AB =知EM PB ⊥，可知EM ⊥平面PBC ， 又EM ⊂平面EMN ，∴平面EMN ⊥平面PBC .
（Ⅱ）假设存在点N 满足题意，过M 作MO EB ⊥于O ，由PE EB ⊥知//PE MQ ， 易证PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD ，
过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥（三垂线定理）， 即MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角， 不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，
在Rt EBN ∆中，设BN x =（02x <<），由Rt ~Rt EBN ERQ ∆∆得，
BN EN
RQ EQ
=
即
x RQ =RQ =tan MQ MRQ RQ ∠==，
依题意知cos 6
MRQ ∠=，即tan MRQ ∠=
=1(0,2)x =∈， 此时N 为BC 的中点.
综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值66
，此时N 为BC 的中点.
【点睛】
本题考查了面面垂直，根据二面角确定点的位置，意在考查学生的空间想象能力和计算能力，也可以建立空间直角坐标系解得答案.。