新初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编附答案解析

新初中数学方程与不等式之分式方程易错题汇编附答案解析
一、选择题
1．某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本，求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ） A ．240120
420x x
-=- B ．240120
420x x -=+ C ．
120240
420x x -=- D ．
120240
420
x x -=+ 【答案】D 【解析】 【分析】
设第一次买了x 本资料，则第二次买了(x ＋20)本资料，由等量关系第二次比第一次优惠了
4列出方程即可解答． 【详解】
解：设第一次买了x 本资料，则第二次买了(x ＋20)本资料， 根据题意可得：
120240
420
x x -=+ 故选：D 【点睛】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，设出未知数，找到等量关系是解题的关键．
2．某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨
1
3
，小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元，已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多35m ．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x 元/3m ，根据题意列方程，正确的是（ ）
A ．3015
5113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ．3015
5113x x -=⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．15305
113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭
D ．15305
113x x -=⎛⎫- ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
利用总水费÷单价＝用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m 3得
出方程即可． 【详解】
解：设去年居民用水价格为x 元/3m ，
根据题意得：3015
5113x x -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭
， 故选：A ． 【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．
3．下列说法中正确的是（ ）
A ．顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形
B ．9的平方根为3
C ．抛物线21
(1)32
y x =-
++的顶点坐标为(1，3) D ．关于x 的分式方程1
21
m x -=-的解为非负数，则m 的取值范围是m≥-1 【答案】A 【解析】 【分析】
根据各个选项中的说法，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】
A 、顺次连接一个四边形四边中点得到的四边形是平行四边形，该选项正确；
B 、9的平方根是±3，该选项错误；
C 、抛物线21
(1)32
y x =-++的顶点坐标为(-1，3) ，该选项错误； D 、由方程
121
m x -=-去分母得：1
2m x +=，
∵关于x 的分式方程的解为非负数，
∴
102m +≥且1
12
m x +=≠， 解得：1m ≥-且1m ≠，该选项错误； 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质、平方根、平行四边形的判定、中点四边形、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．解分式方程要注意分母不能为0这个条件．
4．若 x=3 是分式方程21
02
a x x --=- 的根，则 a 的值是
A ．5
B ．-5
C ．3
D ．-3
【答案】A 【解析】
把x=3代入原分式方程得，21
0332
a --=-，解得，a=5，经检验a=5适合原方程. 故选A.
5．若关于x 的分式方程
2x
x -﹣
12m x
--=3的解为正整数，且关于y 的不等式组2()52
212
6m y y y ⎧-≤⎪⎪⎨
+⎪+>⎪⎩至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m 的取值之和为（ ） A ．1 B ．0
C ．5
D ．6
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m 的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m 的值，最后求和即可． 【详解】
解：化简不等式组为25
632y m y y -≤⎧⎨+>+⎩
，
解得：﹣2＜y ≤
52
m +， ∵不等式组至多有六个整数解，
∴
5
2m +≤4， ∴m ≤3，
将分式方程的两边同时乘以x ﹣2，得 x +m ﹣1=3（x ﹣2）， 解得：x =
5
2
m +， ∵分式方程的解为正整数， ∴m +5是2的倍数， ∵m ≤3，
∴m =﹣3或m =﹣1或m =1或m =3， ∵x ≠2，
∴
5
2
m +≠2， ∴m ≠﹣1，
∴m =﹣3或m =1或m =3，
∴符合条件的所有整数m 的取值之和为1， 故选：A ． 【点睛】
本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．
6．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a ，则数
a 使关于x 的不等式组()124212
2123
x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩至少有四个整数解，且关于x 的分式方程
2
33
a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ．
29
B ．
13
C ．
49
D ．
59
【答案】C 【解析】 【分析】
先解出不等式组，找出满足条件的a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a 的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a 的个数除以总数即可求出概率． 【详解】 解不等式组得：7x a
x ≤⎧⎨
>-⎩
， 由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3， ∴a 的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5， 分式方程去分母得：﹣a ﹣x+2＝x ﹣3， 解得：x ＝
52
a - ， ∵分式方程有非负整数解， ∴a ＝5、3、1、﹣3，
则这9个数中所有满足条件的a 的值有4个， ∴P ＝
49
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．
7．如果关于x 的不等式（a +1）x >2的解集为x <-1，则a 的值是（ ）． A ．a =3 B ．a ≤-3
C ．a =-3
D ．a >3
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的解集得出关于a 的方程，解方程即可． 【详解】
解：因为关于x 的不等式（a +1）x >2的解集为x <-1， 所以a+1＜0，即a ＜-1，且2
1
a +=-1，解得：a=-3． 经检验a=-3是原方程的根 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了不等式的解集，当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．
8．已知关于x 的分式方程211x k x x
-=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．20k -<< B ．2k >-且1k ≠- C ．2k >-
D ．2k <且1k ≠
【答案】B 【解析】 【分析】
先用k 表示x ，然后根据x 为正数列出不等式，即可求出答案. 【详解】 解：211x k
x x
-=--Q
， 21
x k
x +∴
=-， 2x k ∴=+，
Q 该分式方程有解，
21k ∴+≠， 1k ∴≠-， 0x Q >， 20k ∴+>， 2k ∴>-，
2k ∴>-且1k ≠-，
故选：B ． 【点睛】
本题考查的是分式方程，熟练掌握分式方程是解题的关键.
9．解分式方程11
222x x x
-+=--的结果是（ ） A ．x="2" B ．x="3"
C ．x="4"
D ．无解
【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】
解：去分母得：1﹣x+2x ﹣4=﹣1， 解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解． 故选D ．
考点：解分式方程．
10．若关于x 的方程244
x a
x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．-4 B ．2
C ．0
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．让最简公分母x-4=0，得到x=4．再将x=4代入去分母后的方程即可求出a=4. 【详解】
解：由分式方程的最简公分母是x-4， ∵关于x 的方程244
x a x x =+--有增根， ∴x-4=0，
∴分式方程的增根是x=4．
关于x 的方程
244
x a x x =+--去分母得x=2(x-4)+a, 代入x=4得a=4 故选D ． 【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
11．甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km/h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ） A ．1806x +=120
6
x - B ．1806x -=120
6
x + C ．
1806x +=120
x D ．
180x =120
6
x - 【答案】A 【解析】
分析：直接利用两船的行驶距离除以速度=时间，得出等式求出答案．
详解：设甲、乙两船在静水中的速度均为xkm/h ，则求两船在静水中的速度可列方程为：
1806x +=120
6x -． 故选A ．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出行驶的时间和速度是解题关键．
12．已知关于x 的分式方程22124
x mx
x x --=+-无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．0或-8
C ．-8或-4
D ．0或-8或-4
【答案】D 【解析】 【分析】
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】
解：分式方程去分母得：（x−2）2−mx ＝（x ＋2）（x−2）， 整理得：（4＋m ）x ＝8， 当m ＝−4时整式方程无解；
当x ＝−2时原方程分母为0，此时m ＝−8； 当x ＝2时原方程分母为0，此时m ＝0， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容．
13．分式方程22111
x x x -=--，解的情况是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝2
C ．x ＝﹣1
D ．无解
【答案】D 【解析】 【分析】
观察式子确定最简公分母为（x+1）（x ﹣1），再进一步求解可得． 【详解】
方程两边同乘以（x+1）（x ﹣1），得： x （x+1）﹣（x 2﹣1）＝2， 解方程得：x ＝﹣1，
检验：把x ＝﹣1代入x+1＝0， 所以x ＝﹣1不是方程的解． 故选：D ． 【点睛】
此题考查分式方程的解，掌握运算法则是解题关键
14．某工程队准备修建一条长1200米的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20％，结果提前两天完成任务，若设原计划每天修建道路x 米，则根据题意可列方程为（ ）. A ．120012002(120%)x x -=+ B ．
12001200
2(120%)x x
-=-
C ．
12001200
2(120%)x x
-=+
D ．1200
1200
2(120%)x x -=-
【答案】A 【解析】
设原计划每天修建道路xm ,则实际每天修建道路为(1+20%)xm ，
由题意得,()12001200
2120%x x
-=+. 故选A.
15．方程31144
x x x --=--的解是（ ） A ．－3 B ．3
C ．4
D ．－4
【答案】B 【解析】 【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】
去分母得：3-x-x+4=1， 解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解． 故选：B ． 【点睛】
此题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16．如果关于x 的分式方程
2ax 4
23x x 3
++=--有正整数解，且关于y 的不等式组()3y 34y
y a
⎧-⎨
≥⎩＞无解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣16 B ．﹣15
C ．﹣6
D ．﹣4
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据分式方程有正整数解确定出a 的值，再由不等式组无解确定出满足题意的a 的值，求出之和即可． 【详解】
解：分式方程去分母得：2+ax ﹣2x+6＝﹣4， 整理得：(a ﹣2)x ＝﹣12(a ﹣2≠0)， 解得：x 12
a 2
=-
-， 由分式方程有正整数解，得到a ＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10， 当a ＝﹣2时，x ＝3，原分式方程无解， 所以a ＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10，
不等式组整理得：y<9
y a -⎧⎨≥⎩
，
由不等式组无解，即a≥﹣9，
∴符合条件的所有整数a 有1，0，﹣1，﹣4， ∴a ＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4， 故选：D ． 【点睛】
此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．若关于x 的分式方程3222x m m
x x
++=--有增根，则m 的值为（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．
【详解】
解：方程两边都乘x﹣2，
得x+m﹣3m＝2（x﹣2），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，2+m﹣3m＝0，
∴m＝1，
故选：C．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0确定可能的增根；
②化分式方程为整式方程；
③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．
18．甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为( )
A．30
x
＝
45
6
x+
B．
30
x
＝
45
6
x-
C．
30
6
x-
＝
45
x
D．
30
6
x+
＝
45
x
【答案】A
【解析】
【分析】
设甲每小时做x个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等即可列方程.
【详解】
设甲每小时做 x 个，乙每小时做（x+6）个，根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间
相等可得30
x
=
45
6
x+
.
故选A．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找到关键描述语，正确找出等量关系是解决问题的关键．
19．《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）
A．900900
2
13
x x
⨯=
+-
B．
900900
2
13
x x
=⨯
+-
C．900900
2
13
x x
⨯=
-+
D．
900900
2
13
x x
=⨯
-+
【答案】A
【解析】
【分析】
设规定时间为x天，可得到慢马和快马需要的时间，根据快马的速度是慢马的2倍的速度关系即可列出方程．
【详解】
解：设规定时间为x天，则慢马需要的时间为（x+1）天，快马的时间为（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍
∴900900
2
13 x x
⨯=
+-
故选A．
【点睛】
本题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系即可列方程．
20．方程
221
11
x x
x x
-
=
-+
的解是（）
A．x＝1
2
B．x＝
1
5
C．x＝
1
4
D．x＝
1
4
【答案】B
【解析】
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：去分母得：2x2+2x＝2x2﹣3x+1，
解得：x＝1
5
，
经检验x＝1
5
是分式方程的解，
故选B．【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．。