2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷(文科)(a卷)(解析版)

2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷（文科）（A卷）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U=R，A=，B={x|lnx＜0}，则A∪B=（）
A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|x＜﹣1或x≥2}D．{x|0＜x＜2}
2．已知复数z=a+bi（a，b∈R，且ab≠0），若z（1﹣2i）为实数，则=（）
A．2 B．﹣2 C．﹣D．
3．下列四个函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数的是（）
A．y=x2﹣2x B．y=x3C．y=ln D．y=|x|+1
4．A是半径为2的圆O内一个定点，P是圆O上的一个动点，线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q，则|OQ|•|QA|的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，若从中任选2人，则选出的火炬手的编号不相连的概率为（）
A．B．C．D．
6．已知||=3，||=5，与不共线，若向量k+与k﹣互相垂直，则实数k的值为（）
A．B．C．±D．±
7．点P（﹣，1）是函数f（x）=sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜）的图象的一个对
称中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为．
①f（x）的最小正周期是π；
②f（x）的值域为[0，2]；
③f（x）的初相φ为
④f（x）在[，2π]上单调递增．
以上说法正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知点P在以F1，F2为焦点的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．1D．1+
9．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则
实数a的取值范围为（）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2]D．[﹣3，1]
10．执行如图所示的程序框图若输出的n=9，则输入的整数p的最小值是（）
A．50 B．77 C．78 D．306
11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）
A．4+B．6C．4+D．6
12．如图正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E在线段BB1和线段A1B1上移动，∠
EAB=θ，θ∈（0，），过直线AE，AD的平面ADFE将正方体分成两部分，记棱BC所
在部分的体积为V（θ），则函数V=V（θ），θ∈（0，）的大致图象是（）
A．B．
C．D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上）13．如图网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为．
14．函数y=sinx和y=cosx在x=处的两条切线与x轴围成封闭区域D，点（x，y）∈D，则x+2y的最小值为．
15．已知0＜a≤，设函数f（x）=+sinx（x∈[﹣a，a]）的最大值为P，
最小值为Q，则P+Q的值为．
16．在△ABC中，D为AB的一个三等分点，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，则cosB=．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在正项数列{a n}、{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n
+1成等差数列，b n，a n
+1
，b n
+1
成
等比数列．
（1）证明：{}成等差数列，并求出a n，b n；
（2）设c n=，求数列{c n}的前n和S n．
18．在某次足球比赛中，对甲、乙两队上场的13名球员（包括10名首发和3名替补登场（守门员除外））的跑动距离（单位：km）进行统计分析，得到的统计结果如茎叶图所示，其中茎表示整数部分，叶表示小数部分．
（1）根据茎叶图求两队球员跑动距离的中位数和平均值（精确到小数点后两位），并给出一个正确的统计结论；
（2）规定跑动距离为9.0km及以上的球员为优秀球员，跑动距离为8.5km及以上的球员为积极球员，其余为一般球员．现从两队的优秀球员中随机抽取2名，求这2名球员中既有甲队球员又有乙队球员的概率．
19．如图，在多面体EF﹣ABCD中，ABCD，ABEF均为直角梯形，∠ABE=∠ABC=，
DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD．
（1）求证：DF⊥平面ABCD；
（2）若△ABD是边长为2的等边三角形，且BF与平面ABCD所成角的正切值为1，求点E到平面BDF的距离．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的交点为F，过F且倾斜角为的直线l被抛物线C
截得的线段长为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知直线y=﹣x和抛物线C交于点O，A，线段AO的中点为Q，在AO的延长线上任取一点，P作抛物线C的切线，两切点分别为M、N，直线MQ交抛物线C于另一点B，问直线AB的斜率k0是否为定值？如果是，求k0的值，否则，说明理由．
21．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．
（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；
（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5，DB=10．（1）求AB的长；
（2）求．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长
度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．
（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=+的最大值M．
（1）求实数M的值；
（2）求关于x的不等式|x﹣|+|x+2|≤M的解集．
2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷（文科）（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U=R，A=，B={x|lnx＜0}，则A∪B=（）
A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|x＜﹣1或x≥2}D．{x|0＜x＜2}【考点】并集及其运算．
【分析】求出A与B中不等式的解集，分别确定出A与B，找出两集合的并集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：≤0，即（x+1）（x﹣2）＜0，且x﹣2≠0，
解得：﹣1≤x＜2，即A={x|﹣1≤x＜2}，
由B中不等式变形得：lnx＜0=ln1，得到0＜x＜1，即B={x|0＜x＜1}，
则A∪B={x|﹣1≤x＜2}，
故选：B．
2．已知复数z=a+bi（a，b∈R，且ab≠0），若z（1﹣2i）为实数，则=（）
A．2 B．﹣2 C．﹣D．
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接把复数z=a+bi代入z（1﹣2i），然后由复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．
【解答】解：∵z（1﹣2i）=（a+bi）（1﹣2i）=（a+2b）+（b﹣2a）i为实数，
∴b﹣2a=0，即．
故选：A．
3．下列四个函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数的是（）
A．y=x2﹣2x B．y=x3C．y=ln D．y=|x|+1
【考点】函数单调性的性质．
【分析】逐一分析四个函数的奇偶性，单调性，判断是否满足既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数，可得答案．
【解答】解：函数y=x2﹣2x为非奇非偶函数；
函数y=x3为奇函数；
函数y=ln的定义域为（﹣1，1），
函数y=|x|+1既是偶函数又在（0，+∞）上为增函数，
故选：D
4．A是半径为2的圆O内一个定点，P是圆O上的一个动点，线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q，则|OQ|•|QA|的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由已知得|OQ|+|QA|=|OQ|+|QP|=|OP|=2，从而2=|OQ|+|QA|≥
2，由此能求出|OQ|•|QA|的最大值．
【解答】解：∵A是半径为2的圆O内一个定点，P是圆O上的一个动点，
线段AP的垂直平分线l与半径OP相交于点Q，
∴|OQ|+|QA|=|OQ|+|QP|=|OP|=2，
∴2=|OQ|+|QA|≥2，
∴|OQ|•|QA|≤1，
当且仅当Q为OP中点时取等号，
∴|OQ|•|QA|的最大值为1．
故选：A．
5．在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，若从中任选2人，则选出的火炬手的编号不相连的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】先求出基本事件总数，再求出选出的火炬手的编号不相连包含的基本事件个数，由此能求出选出的火炬手的编号不相连的概率．
【解答】解：有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手，若从中任选2人，有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共有10种，其中选出的火炬手的编号不相连的有（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，5），共有6种，
故选出的火炬手的编号不相连的概率=
6．已知||=3，||=5，与不共线，若向量k+与k﹣互相垂直，则实数k的值为（）
A．B．C．±D．±
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用向量的数量积为0，列出方程即可推出结果．
【解答】解：||=3，||=5，与不共线，向量k+与k﹣互相垂直，
可得（k+）（k﹣）=0，
得k2||2﹣||2=0，
k2=，
解得k=．
故选：D．
7．点P（﹣，1）是函数f（x）=sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜）的图象的一个对称
中心，且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为．
①f（x）的最小正周期是π；
②f（x）的值域为[0，2]；
③f（x）的初相φ为
④f（x）在[，2π]上单调递增．
以上说法正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、最值，以及它的图象的对称性，得出结论，从而得到答案．
【解答】解：∵点P（﹣，1）是函数f（x）=sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜）的图
象的一个对称中心，
∴m=1，ω•（﹣）+φ=kπ，k∈Z．
∵点P到该图象的对称轴的距离的最小值为=•=，∴ω=2，
∴φ=kπ+，∴φ=，f（x）=sin（2x+）+1．
故①f（x）的最小正周期是π，正确；②f（x）的值域为[0，2]，正确；
③f（x）的初相φ为，正确；
④在[，2π]上，2x+∈[，]，再根据函数的周期性，等价于2x+∈[﹣
，]，
故函数f（x）单调递增，故④正确，
故选：D．
8．已知点P在以F1，F2为焦点的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上，过P作y轴的垂线，
垂足为Q，若四边形F1F2PQ为菱形，则该双曲线的离心率为（）
A．B．C．1D．1+
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出P的坐标，代入双曲线方程，得出e的方程，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，∠PF2x=60°，
∴P（2c，c），
代入﹣=1，可得﹣=1，
∴4e4﹣8e2+1=0，
∵e＞1，
∴e=．
故选：B．
9．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则
实数a的取值范围为（）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2]D．[﹣3，1]
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（1，1），B（2，4），
∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，
∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，
经过点A时取得最小值为a+1，
若a=0，则y=z，此时满足条件，
若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，
即0＜a≤1，
若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，
即﹣2≤a＜0，
综上﹣2≤a≤1，
故选：B．
10．执行如图所示的程序框图若输出的n=9，则输入的整数p的最小值是（）
A．50 B．77 C．78 D．306
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出输入的P的最小值．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
n=1，S=0，输入P，S=0+2=2，n=2，S≤P，
S=2+22=6，n=3，S≤P，
S=﹣6+23=2，n=4，S≤P，
S=2+24=18，n=5，S≤P，
S=﹣18+25=14，n=6，S≤P，
S=14+26=78，n=7，S≤P，
S=﹣78+27=50，n=8，S≤P，
S=50+28=306，n=9，S＞P，
终止循环，输出n=9；
所以P的最小值为78．
故选：C．
11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）
A．4+B．6C．4+D．6
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．
【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，
∴几何体底面弧长为=．
圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．
作出几何体的侧面展开图如图所示：
其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，
AC=AD=4，．
∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．
∴∠BAB′=120°．
∴BB′==6．
故选D．
12．如图正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 在线段BB 1和线段A 1B 1上移动，∠
EAB=θ，θ∈（0，
），过直线AE ，AD 的平面ADFE 将正方体分成两部分，记棱BC 所
在部分的体积为V （θ），则函数V=V （θ），θ∈（0，
）的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】函数的图象．
【分析】根据条件求出V=V （θ）的表达式，即可得到结论．
【解答】解：当时，BE=tanθ，则三棱柱的体积为，
当θ∈（，）时，AE=tan（﹣θ）=cotθ，
则棱BC所在部分的体积为V（θ）=1﹣tan（﹣θ），
则函数V=V（θ），θ∈（0，）的图象关于点对称，
故选：C．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上）13．如图网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为4．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可得该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，画出直观图并求出棱长、判断出线面的位置关系，代入棱锥体积公式可得答案．
【解答】解：由几何体的三视图得几何体是侧放的四棱锥S﹣ABCD，
直观图如图所示：
其中底面ABCD是直角梯形ABCD，且AB∥CD，AD⊥AB，
AD⊥AS，AB=4，CD=AD=AS=2，且AS⊥平面ABCD，
∴这个几何体的体积V=
=4，
故答案为：4．
14．函数y=sinx和y=cosx在x=处的两条切线与x轴围成封闭区域D，点（x，y）∈D，
则x+2y的最小值为﹣1．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和方程，作出两切线，可得三角形的区域，作出直线l0：x+2y=0，平移l0，即可得到所求最小值．
【解答】解：函数y=sinx的导数为y′=cosx，
可得在x=处的切线斜率为，切点为（，），
方程为y﹣=（x﹣），
即为y=x+﹣；
函数y=cosx的导数为y′=﹣sinx，
可得在x=处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣），
即为y=﹣x++．
作出两切线，可得区域D，作出直线l0：x+2y=0，
平移l0，可得通过点A（﹣1，0），x+2y取得最小值，且为﹣1．
故答案为：﹣1．
15．已知0＜a≤，设函数f（x）=+sinx（x∈[﹣a，a]）的最大值为P，
最小值为Q，则P+Q的值为4030．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】给出一个具体函数想研究最值，可以考虑函数的单调性，本题需要对分式型的式子进行变形．
【解答】f（x）==2016+sinx+，
∵0，f（x）在[﹣a，a]上单调递增，
∴P+Q=f（﹣a）+f（a）=4032﹣sina﹣+sina﹣=4032﹣﹣
=4030，
故答案为：4030
16．在△ABC中，D为AB的一个三等分点，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，则cosB=．
【考点】余弦定理．
【分析】令AC=AD=1，CD=m＞0，可求AB=3，BC=3m，利用余弦定理可得关于cosA的等式，解得m的值，利用余弦定理即可求cosB的值．
【解答】解：令AC=AD=1，CD=m＞0，
则：AB=3，BC=3m，
则利用余弦定理可得：．
∴．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在正项数列{a n}、{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n
+1成等差数列，b n，a n
+1
，b n
+1
成
等比数列．
（1）证明：{}成等差数列，并求出a n，b n；
（2）设c n=，求数列{c n}的前n和S n．
【考点】数列的求和；等差关系的确定．
【分析】（1）由题意可得：2b n=a n+a n
+1
，，由b n＞0，a n＞0，
，可得，即可证明，进而得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．
【解答】（1）证明：由题意可得：2b n=a n+a n
+1
，，
∵a1=2，b1=4，∴a2=6，b2=9，
b n＞0，a n＞0，a n，b n，a n
+1
成等差数列，
∴，
∴成等差数列，∴，
a n==n（n+1）．
（2）解：，
=．
18．在某次足球比赛中，对甲、乙两队上场的13名球员（包括10名首发和3名替补登场（守门员除外））的跑动距离（单位：km）进行统计分析，得到的统计结果如茎叶图所示，其中茎表示整数部分，叶表示小数部分．
（1）根据茎叶图求两队球员跑动距离的中位数和平均值（精确到小数点后两位），并给出一个正确的统计结论；
（2）规定跑动距离为9.0km及以上的球员为优秀球员，跑动距离为8.5km及以上的球员为积极球员，其余为一般球员．现从两队的优秀球员中随机抽取2名，求这2名球员中既有甲队球员又有乙队球员的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【分析】（1）由茎叶图可知甲队球员跑动距离的中位数和乙队球员跑动距离的中位数，求出甲队球员跑动距离的平均数和乙队球员跑动距离的平均数，由于跑动距离的平均值反映的是两队球员跑动的平均距离，球员跑动的积极程度不能通过中位数的对比来下结论．
（2）根据茎叶图可知，两队的优秀球员共5名，其中甲队2名，乙队3名．由此利用列举法能求出这2名球员中既有甲队球员又有乙队球员的概率．
【解答】解：（1）由茎叶图可知，甲队球员跑动距离的中位数为8.2km，
乙队球员跑动距离的中位数为8.1km，…
甲队球员跑动距离的平均数为：
..
乙队球员跑动距离的平均数为：
..
由于跑动距离的平均值反映的是两队球员跑动的平均距离，
因而可知乙队球员相对甲队球员跑动的更加积极，
而从中位数对比可知甲队球员跑动距离的中位数比乙队球员跑动距离的中位数大，
因而球员跑动的积极程度不能通过中位数的对比来下结论．…
（2）根据茎叶图可知，两队的优秀球员共5名，其中甲队2名，乙队3名．
将甲队的2名优秀球员分别记为a，b，乙队的3名优秀球员分别记为A，B，C，则从中随机抽取2名，
所有可能的结果为ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC，BC共10个．
其中既有甲队球员又有乙队球员（记为事件M）包含的结果为aA，aB，aC，bA，bB，bC 共6个…
由古典概型的概率计算公式知，这2名球员中既有甲队球员又有乙队球员的概率为：
．…
19．如图，在多面体EF ﹣ABCD 中，ABCD ，ABEF 均为直角梯形，∠ABE=∠ABC=，
DCEF 为平行四边形，平面DCEF ⊥平面ABCD ． （1）求证：DF ⊥平面ABCD ；
（2）若△ABD 是边长为2的等边三角形，且BF 与平面ABCD 所成角的正切值为1，求点E 到平面BDF 的距离．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）由∠ABE=∠ABC=
可得AB ⊥平面BCE ，于是EF ⊥平面BCE ，从而EF ⊥
CE ，故四边形CDFE 为矩形，于是D ⊥CD ，根据面面垂直的性质得出DF ⊥平面ABCD ； （2）连接BD ，DE ，则∠FBD 为BF 与平面ABCD 所成角，故而得出DF=BD=2，计算出BC ，CD ，根据V B ﹣DEF =V E ﹣BDF 列方程即可得出点E 到平面BDF 的距离．
【解答】证明：（1）∵
，
∴AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，又BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BE ∩BC=B ， ∴AB ⊥平面BCE ，∵EF ∥AB ，
∴EF ⊥平面BCE ，∵CE ⊂平面BCE ，
∴EF ⊥CE ．又四边形CDFE 是平行四边形， ∴四边形CDFE 是矩形， ∴DF ⊥DC ．
又平面DCEF ⊥平面ABCD ，且平面ABCD ∩平面CDFE=CD ，DF ⊂平面CDFE ， ∴DF ⊥平面ABCD ． （2）连接BD ，DE ．
∵△ABD 是边长为2的等边三角形，四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC=，
∴．
由（1）得DF ⊥平面ABCD ，∴∠FBD 为BF 与平面ABCD 所成角的角， ∴tan ∠FBD=1，即DF=BD=2．
∴V B ﹣DEF =
=
=
．
设E 到平面BDF 的距离为d ，则V E ﹣BDF ==
=
∵V B ﹣DEF =V E ﹣BDF ，∴
=
，解得
．
20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的交点为F，过F且倾斜角为的直线l被抛物线C
截得的线段长为8．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知直线y=﹣x和抛物线C交于点O，A，线段AO的中点为Q，在AO的延长线上任取一点，P作抛物线C的切线，两切点分别为M、N，直线MQ交抛物线C于另一点B，问直线AB的斜率k0是否为定值？如果是，求k0的值，否则，说明理由．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）求得直线l的方程，代入抛物线的方程求得交点，运用弦长公式，可得p=2，进而得到抛物线的方程；
（2）由解得O（0，0），A（4，﹣4），OA的中点为Q（2，﹣2），设点P（m，﹣
m），M（x1，y1），N（x2，y2），求得切线MP，NP的方程，进而得到直线MQ的方程，代入抛物线的方程，求得B的纵坐标，运用直线的斜率公式计算即可得到定值﹣1．
【解答】解：（1）过F（，0）且倾斜角为的直线l的方程为y=x﹣，
代入抛物线y2=2px，可得y2﹣2py﹣p2=0，
解得y=（1±）p，可得弦长为•|y1﹣y2|=4p=8，
解得p=2，即有抛物线的方程为y2=4x；
（2）由解得O（0，0），A（4，﹣4），OA的中点为Q（2，﹣2），
设点P（m，﹣m），M（x1，y1），N（x2，y2），
过M的切线为y1y=2（x+x1），切线过P，可得（y1+2）（﹣m）=2x1，
同理可得（y2+2）（﹣m）=2x2，
相除可得==，化为y1y2（y2﹣y1）=2（y1﹣y2）（y1+y2），
由y1≠y2，可得y1y2=﹣2（y1+y2），
即y2=﹣，
直线MQ：y+2=（x﹣2）=（x﹣2），
代入y2=4x，可得y2﹣（﹣2）y﹣2（y1+2）﹣2（﹣4）=0，
即有y1+y B=，可得y B=，
则k NB═====﹣1．
则直线NB的斜率k0为定值﹣1．
21．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+a（a∈R），其导函数为f′（x）．
（Ⅰ）求函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x的极值；
（Ⅱ）当x＞1时，关于x的不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出满足条件的a 的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题知x＞0，f'（x）=lnx﹣2ax+1，
则g（x）=f'（x）+2a（x﹣1）=lnx﹣x+1，，
当0＜x＜1时，，g（x）为增函数；当x＞1时，，
g（x）为减函数．
所以当x=1时，g（x）有极大值g（1）=0，g（x）无极小值．
（Ⅱ）由题意，f'（x）=lnx﹣2ax+1，
（ⅰ）当a≤0时，f'（x）=lnx﹣2ax+1＞0在x＞1时恒成立，
则f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）＞f（1）=0在（1，+∞）上恒成立，与已知矛盾，故a≤0不符合题意．
（ⅱ）当a＞0时，令φ（x）=f'（x）=lnx﹣2ax+1，则，且．
①当2a≥1，即时，，
于是φ（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，
所以φ（x）＜φ（1）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（1，+∞）上成立．
则f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，
所以f（x）＜f（1）=0在x∈（1，+∞）上成立，符合题意．
②当0＜2a＜1，即时，＞1，，
若，则φ'（x）＞0，φ（x）在上单调递增；
若，则φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减．
又φ（1）=1﹣2a＞0，所以φ（x）＞0在上恒成立，即f'（x）＞0在上恒成立，
所以f（x）在上单调递增，则f（x）＞f（1）=0在上恒成立，
所以不符合题意．
综上所述，a的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5，DB=10．（1）求AB的长；
（2）求．
【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．
【分析】（1）根据弦切角定理，推导出△ABC∽△DBA，由此能求出AB的长．
（2）根据切割线定理，推导出△ABC∽△DBA，
得，，由此能求出．
【解答】解：（1）根据弦切角定理，
知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，
∴△ABC∽△DBA，则，
故．…
（2）根据切割线定理，
知CA2=CB•CF，DA2=DB•DE，
两式相除，得（*）
由△ABC∽△DBA，
得，，
又，由（*）得．…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长
度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．
（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），把代入即可得出；
由斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）即可得出直线的参数方程．
（II）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0，利用根与系数的关系、直
线参数的意义即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），
即x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．
l的参数方程为（t为参数，t∈R），
（Ⅱ）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0，
解得，t1=，t2=．
则|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=+的最大值M．
（1）求实数M的值；
（2）求关于x的不等式|x﹣|+|x+2|≤M的解集．
【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．
【分析】（1）利用不等式的基本性质求得f（x）的最大值，可得M的值．
（2）由绝对值三角不等式可得|x﹣|+|x+2|≥3=M，结合题意可得本题即求|x﹣
|+|x+2|=M=3的解集，从而求得x的范围．
【解答】解：（1）因为a，b＞0时，≤，
∴，
当且仅当时等号成立．
故函数f（x）的最大值M为3．
（2）由绝对值三角不等式可得：|x﹣|+|x+2|≥|x﹣﹣（x+2）|=3=M，
即|x﹣|+|x+2|≥M，
当且仅当﹣2≤x≤时，取等号．
又不等式|x﹣|+|x+2|≤M，
∴只有|x﹣|+|x+2|=M=3，
故要求的不等式的解集为{x|﹣2≤x≤}．
2016年10月17日。