2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课件新人教B版选修1_2

在进行类比推理时，充分认识两个系统的相同(或相似)之处，充 分考虑其中的本质联系，再进行类比，避免因类比的相似性较 少，被一些表面现象迷惑导致类比结论的错误．
1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合
适( )
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
D．矩形
解析：选 C．只有平行四边形与平行六面体较为接近．
归纳推理在图形中的应用策略
1.把 1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角 形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．
则第七个三角形数是( ) A．27 C．29
B．28 D．30
解析：选 B．把 1，3，6，10，15，21，…依次记为 a1，a2，…， 则可以得到 a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5， a6－a5＝6，所以 a7－a6＝7，即 a7＝a6＋7＝28.
本部分内容讲解结束
按ES特殊到一般的过
特征
类比是从特殊到特殊的过程
程
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理是由一般到一般的推理过程．( × ) (2)归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确．( √ ) (3)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( × )
2．数列 5，9，17，33，x，…中的 x 等于( )
(2)归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
根据一类事物的__部__分__对 根据_两__类___不同事物之间具 象具有某种性质，推出这 有某些__类__似__(或_一__致___)性， 定义 类事物的_所___有__对象都具 推测其中一类事物具有与另
有这种性质的推理，叫做 一类事物类似(或相同)的性质
A．47
B．65
C．63
D．128
答案：B
3．各项都为正数的数列{an}中，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…， 猜想数列{an}的通项公式为________．
答案：an＝n(n2＋1)
(1)由下列各式： 13＝12， 13＋23＝32， 13＋23＋33＝62， 13＋23＋33＋43＝102， … 请你归纳出一般结论．
解：内切圆半径 r―类―比→内切球半径 R， 三角形的周长：a＋b＋c―类―比→三棱锥各面的面积和： S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD， 三角形面积公式系数12 ―类―比→三棱锥体积公式系数13. 所以类比得三棱锥体积 VA-BCD＝13R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)．
1 解析：VV12＝313SS12hh12＝SS12·hh12＝14×12＝18. 答案：1∶8
4．已知 f(n)＝1＋12＋13＋…＋n1(n∈N＋)，计算得 f(2)＝32，f(4)>2， f(8)>52，f(16)>3，f(32)>72，推测当 n≥2 时，有__________． 解析：通过观察归纳可得 f(2n)>n＋2 2. 答案：f(2n)>n＋2 2
1．利用归纳推理解决问题时，要善于归纳，要对有限的资料作 归纳整理，提出带规律性的说法，要准确捕捉有用信息并进行 分析，大胆猜测，小心验证即可． 2．利用类比推理解决问题时一定要注意两类事物的相似性，例 如，拿分式同分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比 等，但类比推理的结论不一定正确，需要证明．
第二章 推理与证明
2．1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合情推理
第二章 推理与证明
1.了解合情推理的含义及作用． 2.理解归纳推理与 类比推理的特点及步骤． 3.会利用归纳和类比的方法进行推 理．
1．推理 (1)定义：根据一个或几个_已__知__事__实___(或假设)得出一个判断，这 种思维方式就是_推__理___．
1.观察下列等式： 1＋1＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， … 照此规律，第 n 个等式可为________________________．
解析：观察规律可知，左边为 n 项的积，最小项和最大项依次 为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以 2n，则第 n 个等式 为：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)． 答案：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)
2．已知数列{an }满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)． (1)求 a2，a3，a4，a5； (2)归纳猜想通项公式 an.
解：(1)当 n＝1 时，a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3， 当 n＝2 时，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7， 同理可得 a4＝15，a5＝31. (2)由于 a1＝1＝21－1， a2＝3＝22－1， a3＝7＝23－1， a4＝15＝24－1， a5＝31＝25－1， 所以可归纳猜想 an＝2n－1(n∈N＋).
归纳推理在几何图形中的应用 如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边 (包括两个端点)有 n(n>1，n∈N＋)个点，每个图形总的点数记为 an，则 a6＝________，an＝________(n>1，n∈N＋)．
【解析】 依据图形特点，可知第 5 个图形中三角形各边上各 有 6 个点， 因此 a6＝3×6－3＝15. 由 n＝2，3，4，5，6 的图形特点归纳得 an＝3n－3(n>1，n∈N＋)． 【答案】 15 3n－3
类比推理的一般步骤
1.下面使用类比推理正确的是( ) A．“若 a·3＝b·3，则 a＝b”类推出“若 a·0＝b·0，则 a＝b” B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“(a·b)c＝ac·bc” C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类推出“a＋c b＝ac＋bc(c≠0)” D．“(ab)n＝anbn”类推出“(a＋b)n＝an＋bn”
类比推理及其应用 类比平面内直角三角形的勾股定理，试写出空间中四面 体性质的猜想．
【解】 如图(1)，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：c2＝a2＋b2；
类比直角三角形的勾股定理，在四面体 P-DEF 中，如图(2)，猜 想：S2＝S21＋S22＋S23(S、S1、S2、S3 分别是四面体 P­DEF 的面 △PEF、△DEF、△PFD、△PDE 的面积)．
解析：选 C．A 错，因为类比的结论 a 可以不等于 b；B 错，类 比的结论不满足分配律；C 正确；D 错，乘法类比成加法是不 成立的．
2．已知△ABC 的边长分别为 a，b，c，内切圆半径为 r，用 S△ABC 表示△ABC 的面积，则 S△ABC＝12r(a＋b＋c)．类比这一结 论有：若三棱锥 A-BCD 的内切球半径为 R，求三棱锥 A-BCD 的体积．
(2)结构：推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)， 叫做_前__提___；一部分是由已知判断推出的新判断，叫做_结__论___． (3)分类：推理__合演____情绎____推推____理理______
2．合情推理 (1)合情推理 ①定义：当前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理． ②分类：_归__纳__推__理___和_类__比__推___理__是数学中常用的合情推理．
(2)当 n＝1 时，a1＝1； 当 n＝2 时，a2＝1＋1 1＝12；
1 当 n＝3 时，a3＝1＋2 12＝13；
1 当 n＝4 时，a4＝1＋3 13＝14. 通过观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒数，由此归
纳出 an＝n1.
由已知数、式进行归纳推理的步骤 (1)要注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化 规律． (2)要注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征． (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点． (4)运用归纳推理得出一般结论．
数与式的推理
(2)已知数列{an}的第 1 项 a1＝1，且 an＋1＝1＋anan(n＝1，2，3，…)， 试归纳出这个数列的通项公式． 【解】 (1)由左、右两边各项幂的底数之间的关系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， 可得一般结论：13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2， 即 13＋23＋33＋…＋n3＝n(n2＋1)2.
2．由数列 1，10，100，1000，…，猜测该数列的第 n 项可能是
() A．10n
B．10n－1
C．10n＋1
D．10n－2
解析：选 B．数列各项依次为 100，101，102，103…，由归纳推 理可知，选 B．
3．在平面上，若两个正三角形的边长比为 1∶2，则它们的面积 比为 1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为 1∶2， 则它们的体积比为__________．
2．根据图中 5 个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第 n 个图中有________个点．
解析：观察图形的变化规律可得：图(2)从中心点向两边各增加 1 个点，图(3)从中心点向三边各增加 2 个点，图(4)从中心点向 四边各增加 3 个点，如此，第 n 个图从中心点向 n 边各增加 (n－1)个点，易得答案：1＋n·(n－1)＝n2－n＋1. 答案：n2－n＋1