人教版数学九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程(传播问题和增长率问题)(教学课件)

人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，
若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．
【详解】
解：设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，
依题意，得：x（x﹣1）＝90，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．
故答案为：10．
课堂练习 （利用一元二次方程解决比赛/握手/红包/赠送类问题 ）
等量关系为：今年投资额+明年投资额=9万元
1）今年投资额为：3 1 + x 万元
2）明年投资额为：3 1 + x
则3 1 + x +3 1 + x 2 =9
2
万元
课堂练习 （利用一元二次方程解决增长率问题）
变式 3-1 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂
八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）
02
利用一元二次方程解决增长率问题
两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6000
元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙
种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降额较大？
思考：什么是下降额？下降率如何计算？
样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为( )
A．x+(x+1)x＝36
B．1+x+(1+x)x＝36
C．1+x+x2＝36
D．x+(x+1)2＝36
【详解】
设1人每次都能教会x名同学，
根据题意得：1+x+(x+1)x＝36．
故选B．
课堂练习 （利用一元二次方程解决传播问题）
假设每个支干长出2枝
1+2+ =7
1+3+ =13
假设每个支干长出3枝
假设每个支干长出n枝
1+n+
01
利用一元二次方程解决传播问题
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，
主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
解：设每个支干长出 x 个小分支，
变式1-1 为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传
播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友
转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依次类推．已知经
过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（
A．9
B．10
C．11
【详解】
由题意，得 n+n2+1=111，
2）设：设未知数；
3）列：列方程；
4）解：解方程；
5）验：根据实际验结果；
6) 答：写出答案。
01
利用一元二次方程解决传播问题
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平
均一个人传染了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
具体传播过程
…
开始传染源
一轮传染
x
传染源数、第一轮被传染数和
元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙
种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
解：设乙种药品成本的年平均下降率为 x
6000（1-x）
一年后乙种药品成本为____________元，
6000 1 − 2
两年后乙种药品成本为____________元．
A．50（1+x2）=196
B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196
D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196
【详解】
一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，
那么可以用x分别表示八、九月份的产量：八、九月份的产量分别为50（1+x）、50（1+x）2，
变式2-2 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有二
人参加这次聚会，则列出方程正确的是(
A．( − 1) = 10
(−1)
B．
2
= 10
(+1)
2
= 10
C．( + 1) = 10 D．
)
【解析】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x-1（次）；
依题意，可列方程为：
元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙
种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x
5000（1-x）
一年后甲种药品成本为____________元，
2
5000
1
−

两年后甲种药品成本为____________元．
−1
2
=10；故选B．
课堂练习 （利用一元二次方程解决比赛/握手/红包/赠送类问题 ）
变式2-3 有n支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两个队之间只比赛一场，
则下列方程中符合题意的是(
)
A．n(n﹣1)＝15
B．n(n+1)＝15
C．n(n﹣1)＝30
D．n(n+1)＝30
【详解】∵有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
量为____________
kg．
50000 1 + x
年平均增长率为 x
2
50 000(1 + x )
50000
2．某粮食厂2016年面粉产量为a吨，如果在以后两年平均减产的百分率为 x，那么
a(1 – x)
a(1 – x)2
预计 2017 年的产量将是_________．2018年的产量将是__________．
x
121+121×10 = 1 331（人）
前2轮患病人数
…
…
二轮传染
…
…
…
…
…
…
x(x+1)
第三轮患病人数
三轮总共患病人数
…
…
【问题】如果按照这样的传播速度，第三轮传染过后总共会有多少人得流感？
01
利用一元二次方程解决传播问题
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，
主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
…
二轮传染
…
…
…
…
…
…
…
…
第二轮被传染数的总和是 121 个人．
x(x+1) 列方程 1 + x + x (1 + x) = 121
解方程得x1 =10，x2 =-12 （不合题意，舍去）
答：平均一个人传染了 10 个人．
分析：
1
1）开始传染源_________人；
2）第一轮后有_________人患了流感；
成本下降额表示绝对变化量，
成本下降率表示相对变化量，
两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。
列方程得6000 1 − 2 =3600
解方程得x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）．
答：乙种药品成本的年平均下降率为0.225
两种药品成本的年平均下降率相等，
成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大。
02
利用一元二次方程解决增长率问题
理解变化率
1)如果增长率问题中的基数为a，平均增长率为x，则第一)
的数量为____________，第二次增长后的数量为____________．
2)如果下降率问题中的基数为a，平均下降率为x，则第一次下降后
2
a(1－x)
a(1－x)
下降额=下降前的量-下降后的量
增长额=增长后的量-增长前的量
02
利用一元二次方程解决增长率问题
两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6000
元，随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙
种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降额较大？
课前导入
学习目标
1）根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。
2）根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理。
3）通过一元二次方程解决实际生活问题。
重点
通过一元二次方程解决实际生活问题。
难点
通过实际问题中的数量关系，列方程并求解。
知识点回顾
列方程解决方程的基本步骤
1）审：分清已知未知，明确数量关系；
元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（
A．8%
B．9%
C．10%
【解析】
设平均每次下调的百分率为x，
由题意，得 6000（1-x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选C．
D．11%
）.
课后回顾
提问
01
02
03
甲种药品成本的年平均下降额为
（5 000 - 3 000 ）÷ 2 = 1 000（元），
乙种药品成本的年平均下降额为
（6 000 - 3 600 ）÷ 2 = 1 200（元）．
显然，乙种药品的年平均下降额较大
02
利用一元二次方程解决增长率问题
两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6000
解得：n1=-11（舍去），n2=10，
故选B．
D．12
）
课堂练习 （利用一元二次方程解决比赛/握手/红包/赠送类问题）
典例2 毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有 名学生，
那么所列方程为( )




A． + =
B． − =
则 1 + x + x2 = 91
解方程，得x1 = 9，x2 = -10（不合题意，舍去）
答：每个支干长出 9 个小分支
课堂练习 （利用一元二次方程解决传播问题）
典例1 某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第
一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这
x+1
x（x+1）
3）第二轮传染中，已经患病的人平均又传染了x人，第二轮后有___________人患了流感；
利用一元二次方程解决传播问题
01
有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平
均一个人传染了几个人？
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
具体传播过程
…
…
开始传染源
一轮传染
C． + =
D． − =
【详解】
解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，
∴全班共送：（x-1）x=1980，
故选：D．
课堂练习 （利用一元二次方程解决比赛/握手/红包/赠送类问题 ）
变式2-1 今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个
1
∴共比赛场数为2 ( − 1)，
∴共比赛了15场，
1
∴ 2 ( − 1) = 15， 即 − 1 = 30. 故选C.
02
利用一元二次方程解决增长率问题
1．某农户的小麦产量年平均增长率为 x，第一年的产量为 50 000 kg，第二年的产
2
50000 1 + x
50 000(1+x ) kg，第三年的产量为______________
列方程得5000 1 − 2 =3000
解方程得x1≈0.225，x2≈1.775（舍去）．
答：甲种药品成本的年平均下降率为0.225
【扩展】下降率是用减少的数除以原数，则所得结果必定小于1，因此不能大于或等于1。
02
利用一元二次方程解决增长率问题
两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6000
从而根据题意得出方程：50+50（1+x）+50（1+x）2=196．故选C．
课堂练习 （利用一元二次方程解决增长率问题）
变式3-2 我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，
购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860
的数量为__________，第二次下降后的数量为___________．
课堂练习 （利用一元二次方程解决增长率问题）
典例3 某校去年对操场改造的投资为3万元，预计今明两年的投资总额为9万元，若设该
校今明两年在操场改造投资上的平均增长率是x，则可列方程为_____________________.