张量第四章
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第四章 张量代数
§4.1 张量的基本运算
一、加法
阶数相同、指标的结构和次序相同的诸张量可以加。
张量的代数和,就是将对应的同名分量相加。
1、 张量加法满足交换律和结合律。
2、 张量加法对坐标变换是不变的。
二、乘法
对任何阶与结构的张量都可施行乘法。
用第一个张量的每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量。
由这些乘积所组成的集合仍是一个张量,即两个张量的乘积。
j i A ⋅与m kl B ⋅ 乘 m
kl j i jm kl i B A C ⋅⋅⋅⋅⋅=为一个五阶张量。
1、 张量乘法是不可交换的。
2、 张量乘法对坐标变换是不变的。
3、 乘积张量的阶数等于因子张量阶数之和。
三、连并与缩并
连并:当两个张量相乘时,如果一个张量的上标和另一个张量的下标相同,则按哑标求和,结果仍为一个张量。
这种乘积运算称为连并。
缩并:对于同一个张的某个上标和某个下标取为相同的标号,则对哑标求和,其结果仍为张量,称为缩并。
缩并只能对二阶以上的混变张量进行。
四、指标的上升与下降
指标的上升和下降通过度量张量与张量的连并来进行。
度量张量的逆变分量可以提升指标。
度量张量的协变分量可以下降指标。
k
ij ijl kl
T T g ⋅⋅= i j k
m l
i
kl im T T g g =⋅ 五、对称化和反对称化
1、对称化
对于任意一个n 阶张量中的某些上标或某些下标中的r 个指标的对称化,就是把这r 个指标按不同次序排列所得到的!r 个同份异构张量求和,并除以!r 的算术平均值的运算。
其结果关于所参与的r 个指标对称,也即所得张量与对称化指标的位置元素,称为关于该r 个指标的对称张量。
一般把参与对称化的指标用( )括起来,未参与对称化的指标用一对竖线分开。
)(!
21
)(ji ij ij T T T +=
)(!31)(ilkj
m ljki m jikl m jlki m likj m ijkl m l k ij m T T T T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++++=
2、反对称化
反对称化就是将参与反对称化的r 个上标或下标,通过指标的交换构成!r 个同份异构张量。
对于指标偶次交换得到的张量取正。
奇次交换取负。
由这些张量代数和除以!r 的平均值,得到的张量是关于这r 个指标的反对称张量。
在这个张量中将r 个指标里的任意两个换
位时,张量改变正负量。
)(!
21
][ji ij ij T T T -=
)(!31][ilkj
m ljki m jikl m jlki m likj m ijkl m l k ij m T T T T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅---++=
§4.2 可乘张量、对称张量和反对称张量
一、
可乘张量
若因子张量是n 个矢量,则乘积为一个n 阶张量. l k j i i l jk d c b a M ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅
由上述矢量积可确定是可乘张量,为最简单张量,任何一个张量都可表示为可乘张量之和。
二、 对称张量
如果逆变张量或协变张量相对于全部指标都是对称化的,称为对称张量。
例:ij
T 是对称张量 )
(ij ij
T
T = 即 ji
ij
T T =
ijk T 是对称张量 )(ijk ijk T T =
即 kji ikj jik kij jki ijk
T T T T T T
=====
))
)(((kl ij ijkl
T T =
即关于i 、j 对称、k 、l 对称、ij 、kl 对称
三、 反对称张量
如果张量的阶数小于或等于空间的维数,当逆变或协变张量相对于全部指标都是反对称化的时候,就称为这个张量为反对称张量。
反对称张量中,两个指标数值相等的分量恒等于零。
在三维空间中,讨论二阶和三阶反对称张量
][ij ij T T = 即 ji ij T T =
j i b a 反对称, ][j i j i b a b a = i j j i b a b a -=
若ijk T 是反对称张量 T ijk =T [ijk]
在其27个分量中,独立分量只有一个。
(如ijk
∈)
§4.3 二阶张量的特征值和不变量
对连并运算
j i j i a T b ⋅= (4-20) 若设j
a 为空间点坐标j
x ,则
j i j i x T b ⋅= (4-21) 1、 若把i j T ⋅作为变换系数,则i
b 为新坐标分量'
i x
j i j i x T x ''⋅= (4-22)
2、 若仍在旧坐标系中考察'
i x ,则j
x 与i
b 为同一坐标系中的两点,则(4-21)相当于一个变换,i j T ⋅把j
x 点变换为i
b 点:i
b 为j
x 的象。
j i j i x T x ⋅= (4-23)
对任何一个矢量,都有: j
i j i
v T v ⋅=' (4-24)
j v 是矢量分量,i v '是同一矢量的象的分量。
若0)det(≠⋅i
j T ,则(4-24)可求逆。
若i
i
v v λ=',即矢量经过变换后只改变大小改变方向,则称此矢量为二阶张量i j T ⋅的特征
矢量。
j i j i j i j v v v T λδλ==⋅ (4-25) 0)(=-⋅j i j i j v T λδ
上式存在非零解的条件是
0)det(=-⋅i j i j T λδ (4-26)
det )(2
1
))()((6
1)det(23=--+-⇒∈∈---=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅i j j i i j j j i i i i ijk
lmn k n k
n j m j m i l i l i j i j T T T T T T T T T T λλλλδλδλδλδ (4-27)
λ为特征值,上式为λ的三次代数方程式,也称张量i j T ⋅的特征方程式。
1、 特征方程式是张量方程,对任何坐标系都成立。
2、 特征矢量和特征值不随张量分量所在坐标系变化。
i i T T ⋅I = j i i j j j i i T T T T T ⋅⋅⋅⋅∏-= i j T T ⋅I∏=det
是张量i j T ⋅的第一、第二、第三不变量。
3、 一般情形下求解特征方程式可得三个不同的根,因此可确定三个特征矢量。
特征矢量的方向称为二阶张量的主方向或主轴。
对称张量特征值为实数,特征向量正交。
4、 二阶对称张量的正规形式
若把特征矢量选为基矢量,即以二阶对称张量的三个主轴作为参考标架,则对称张
量可简化为对角线形式,称为二阶对称张量的正规形式。
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)3()
2()1('3'3'2'2'
1'10
0000
000000λλλT T T 5、 类似的,有
0)(=-⋅i i j i j v T λδ
i v 和j v 属于同一个特征值λ,分别称为i j T ⋅的左特征矢量和右特征矢量。
§4.4 仿射变换、物体的刚性移动
j i j i x T x ⋅=' j i j i v T x ⋅='
建立了同一个坐标系中两个空间点或矢量的关系式,或说确定了空间点和向量的运动。
则由上述两式所确定的空间变换称为仿射变换。
仿射变换构成一个群,即连续数次仿射变换的结果仍是仿射变换。
现用仿射变换研究变形体的刚性转动或刚体转动。
首先考察刚体绕固定轴转动。
为方便,取笛卡儿直角坐标,并把X 3作为旋转轴,α表刚体转角。
x
2
x 1
x x 'x 0
设),,(321x x x A ),,(321
x x x A ''''
则 ⎪⎩
⎪
⎨⎧='+='-='33212211sin sin sin cos x x x x x x x x αααα (4-34) 这是一个正交仿射变换,称旋转变换,变换矩阵
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-10
0cos sin 0sin cos αααα (4-35) 称为旋转算子。
利用张量变换普遍公式可得任意坐标系中旋转算子的分量,称为旋转张量,记为i
j v ∙
j
i j i x v x ∙=' (4-36) i
k j k i j v v δ=∙∙ (4-37)
若点A 用矢量表示,另一点B 用表示,则
i i
j j a v a ∙=' k
l k l b v b ∙='
i i k i i k k j k i i j j j b a b a b v a v b a ===''∙∙δ
即(4-36)所确定的运动,保持两矢量的长度和夹角不变,即两矢量的点积守恒。
另一个问题:
已知绕定点转动的刚体位移,求相应的旋转算子。
可假定式依次通过该点的三个坐标轴123,,x x x 完成的,即
)0()0()1()2()3()2()2()3()1()1()2()0()0()1(i j i
k j l k l k l k
l
j k j
k
i j i j
x
v v v x x
v x x v x x
v x ∙∙∙∙∙∙=⇒===
连续数次仿射变换仍是仿射变换,则 i l i
l
x v x )3()3(∙= )0()1()2()3(j i k j l k l i
v v v v ∙∙∙∙=
合成转动不是各分转动之和,而是各旋转张量的连并。
§4.5 张量分量和物理分量
对线元
i i dx g s d = (a)
i g 一般不是单位矢量。
dx i 也不一定有长度量纲,如柱坐标
dr dx =1 θd dx =2 dz dx =3
(b)
若用单位矢量)(i e 作基矢量, )
()(i i dx e d = (c)
则 dr dx
=)
1( θrd dx =)2( dz dx =)3( (d)
则(d)式中分量为物理分量,(b)式中为张量分量。
在任一曲线坐标系中,有
i
i i i g v g v v == (4-49)
若用与i g 或i
g 相一致的单位矢量)(i e 或)(i e 表示同一矢量,为
)()()()(i i i i e v e v v == (4-50)
ii i g g ==
||
ii i g g ==|| (不求和)
ii i i g g e =)( ii
i i g
g e =)
( (不求和)
3
1
3
1
)(i ii i
i ii i
i i
v g g g v
g v ∑∑=====
这样
ii i i g v v =)( ii
i i g v v =)( (不求和) 对正交系
ii
i
ii i i i g v g v v v ===)()( (不求和) 对高阶张量
)
()
()(n k j kk jj ii j i n
k n
k j i j i n k e
e
e g g g T
g
g g g T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∙∙∙∙⋅∙∙∙∙∙∙⋅∙∙
nn kk jj ii j
i n k j i n k g g g g T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅)
()()()(
【例】前已求出极坐标和直角坐标间的应力转轴公式,试将极坐标表示的分量化为物理分量形式。
对正交系
ii
ii
ii ii i i i i g T g T T T
=
==))(()
)(( (不求和) jj
ii ij jj ii ii j i j i g g T g g T T T =
==))(())((
1=rr g 2r g =θθ
则
xy y x r r r θτθθσθσσσcos sin 2sin cos 22))((++==
xy y x θτθθσθσσσθθθcos sin 2cos sin 22))((-+==
xy y x r r τθθσσθθστθθ)sin (cos )(cos sin 22
))((-+--==
此即弹性力学中的转轴公式。