广东六校2019高三第二次联考试题--数学(文)

广东六校2019高三第二次联考试题--数学（文）
〔文科〕数学试题
参考学校：惠州一中 广州二中 东莞中学 中山纪中 深圳实验 珠海一中
本试题共4页，20小题，总分值150分，考试用时120分钟
1. 函数()f x =
A 、(0,3)
B 2.复数
311(i i
-A 、(1,1)3.“1x =2)0x -=”的 A. B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件4.tan 330° Ａ、
Ｂ、3
33
5.下图为函数
f ，2()f x a =3lo
g a x 在同一直角坐标系下的部分图象，
那么以下结论正确的选项是 〔 〕 A . 311a a >>
B. 321a a >>
C. 121a a >>
D. 211a a >> 6.假设()(0)f x c a =≠是定义在上的偶函数,那么〔 〕 A 、1- B 、0 C 1 D 7.在1和256之间顺次插入三个数,,a b c ，使1,,,,256a b c 成一个等比数列，那么这5个数
之积．．为
〔 〕
A 、182
B 、192
C 、202
D 、212
8.假设函数3()1f x x x =-+在区间(,)a b 〔,a b 是整数，且1b a -=〕上有一个零点，那么a b +的值为 〔 〕
A 、3
B 、2-
C 、2
D 、3-
9.如右图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，那么OP 〔 〕 F
E
G O
Q
O y 3
2.52
1.5
1
0.5
0.5
1
A、FO
B、OG
C、OH
D、EO
10. 如图，将等比数列{}
n
a的前6项填入一个三角形的顶点及各边中点的位置，
且在图中每个三角形的顶点所填的三项也成等比数列，数列{}
n
a的前2018
项和
2013
4026,
S=那么满足n a n
n
n a
>的n的值为
〔〕
A、2
B、3
C、2013
D、4026
二.填空题：本大题共4小题，每题5分，总分值20分
11.函数
2
log
()
3x
x
f x
⎧
=⎨
⎩
(0)
(0)
x
x
>
≤
，那么(0)
f=
12.,,
a b c分别是ABC
∆的三个内角,,
A B C所对的边，
假设1
1,
2
a b B
===
，那么
sin A=
13.1
|
|=
a，2
|
|=
b，()
a b a
+⊥，那么与夹角为
14.定义在R上的函数()
f x对任意实数x均有1
(2)()
2
f x f x
+=-
，且()
f x在区间[]
0,2
上有表达式2
()2
f x x x
=-+，那么函数)
(x
f在区间[3,2]
--上的表达式为()
f x= _______________
三、解答题：本大题共6小题，总分值80分、解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤、
15.〔本小题总分值12分〕
函数()cos2sin2
f x x x
=+
〔1〕求()
f x的最大值和最小正周期；
〔2〕设
,[0,]
2
π
αβ∈
，
()()
282
f f
απβ
π
+=+=
sin()
αβ
+的值
16. 〔本小题总分值12分〕
(sin,cos)
aθθ
=、(3,1)
b=
〔1〕假设//
a b，求tanθ的值；
〔2〕假设
()
f a b
θ=+，ABC
∆的三个内角,,
A B C对应的三条边分别为a、b、c，且
(0)
a f
=，
()
6
b f
π
=-
，
()
3
c f
π
=
，求AB AC
⋅。

17. 〔本小题总分值14分〕
在等比数列}
{
n
a中，公比1
q>，且满足
234
28
a a a
++=，
3
2
a+是
2
a与
4
a的等差中项.
〔1〕求数列{}
n a 的通项公式；
〔2〕假设25
log n n b a +=，且数列
{}n b 的前n 的和为n S ，求数列n S n ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
的前n 的和n T 18. 〔本小题总分值14分〕
数列{}n a ，{}n b 满足12a =，1
1b =，且
111131
14413144
n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨
⎪=++⎪⎩〔2n ≥〕，数列{}n
c 满足
n n n c a b =+
〔1〕求1c 和2
c 的值，
〔2〕求证：数列 {}n c 为等差数列，并求出数列{}n c 的通项公式
〔3〕设数列{}n c 的前n 和为n
S ，求证：
123
11111n
S S S S ++++< 19. 〔本小题总分值14分〕
函数2()21f x x tx =-+，()ln g x b x =，其中,b t 为实数
〔1〕假设()f x 在区间[3,4]为单调函数，求实数t 的取值范围 〔2〕当1t =时，讨论函数()()()h x f x g x =+在定义域内的单调性
20. 〔本小题总分值14分〕
三次函数32() ()f x ax bx cx d a b c d R =+++∈、、、为奇函数，且在点(1,(1))f 的切线方程为32y x =-
(1)求函数()f x 的表达式. (2)数列{}
n a 的各项基本上正数,且关于*n N ∀∈,都有
2
1
1
()()
n n
i i i i a f a ===∑∑,求数列
{}
n a 的首项1
a 和通项公式 (3)在(2)的条件下，假设数列{}n
b 满足1*42(,)n
a n n
b m m R n N +=-⋅∈∈,求数列{}n b 的最
小值.
2018届高三六校第二次联考〔文科〕数学试题
参考答案及评分标准
第一卷选择题〔总分值50分〕
【一】选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分、 1、〔C 〕 2、〔B 〕 3、〔A 〕 4、〔A 〕5、〔C 〕 6、〔B 〕 7、〔C 〕 8、〔D 〕9、(A)10、〔B)
第二卷非选择题〔总分值100分〕
【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分、 11、1
122133
、()4(2)(4)f x x x =-++
【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤、
解：〔1〕
()cos 2sin 222)
f x x x x x =+=…………………1分
)
4
x π=+………………………4分
且
x R ∈()f x ∴5分 最小正周期22
T π
π
=
=……………………………………6分 〔2〕
(
)sin(2()))
282842
f α
παππ
πα+=++=+…………………7分
α==，cos α∴=
8分
又
[0,]2πα∈，
sin α∴=
…………………9分
(
)sin(2(
))2)
2
2
44
f β
β
ππ
ππβπ+=++=++…………………10分
)4
π
β=+=…………………11分
又3[0,],[,],244442ππππππβββ∈∴+∈∴+=⇒4
πβ=
sin()sin()sin cos cos sin 444πππ
αβααα+=+=⋅+⋅=
…………………12分
16.〔本小题总分值12分〕
解：〔1〕
//,sin 0a b θθ∴-=…………………3分
sin 3cos tan θθθ∴=⇒=…………………6分
〔2〕
(sin 1)a b θθ+=++…………………7分
(sin a b θ∴+=
==…………………8分
(0)a f ∴===
()6
b f π
∴=-==
()3
3c f π∴===…………………10分
由余弦定理可知：
222cos 2b c a A bc +-==
…………………11分
7cos cos 2
AB AC AB AC A bc A ∴⋅===
…………………12分
〔其它方法酌情给分〕
解〔1〕由题可知：3
2
42(2)a a
a +=+…………………1分
24328a a a +=-，3332(2)28,8a a a ∴+=-∴=…………………3分
32431
208()20,2a a a a q q q q q
∴+==+=+==或12q =
〔舍去〕…………5分 333822n n n n a a q --∴==⨯=…………………7分
〔2〕
55522,2,log 25n n n n n n a a b n +++=∴===+，16b ∴=…………………9分
因此数列
{}n b 是以6为首项1为公差的等差数列，
1()(11)22
n n b b n n n S ++∴==
…………………11分
11111222n S n n n +∴==+…………………12分 因此数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以6为首项，12为公差的等差数列，因此
2111(6)232224
n n n n n T +++=
=…………………14分 18.〔本小题总分值14分〕
解〔1〕1
1
1
3c a b =+=…………………1分
21131111,
444a a b =++=…………………2分 2111391,
444
b a b =++=…………………3分 2225
c a b =+=…………………4分
〔2〕证明：因为
11113114413144
n n n n n n a a b b a b ----⎧
=++⎪⎪⎨
⎪=++⎪⎩，
11111113113
(1)(1)22
4444
n n n n n n n n n n c a b a b a b a b c -------∴=+=+++++=++=+ ……………6分 1
2,2n n n c c -∴≥-=，即数列{}n c 以13c =为首项，2为公差的等差数列……………7分
3(1)221n c n n ∴=+-=+…………………8分
〔3〕
(321)(2)
2
n n n
S n n ++∴==+…………………10分 解法一：
12311111111324
(2)
n S S S S n n ++++=+++
⨯⨯⨯+
因为
1111(2)(1)1n n n n n n <=-
⨯+⨯++，…………………12分
因此1
111111111
()()()111324
(2)1223
11
n n n n n +++<-+-++-=-<⨯⨯⨯+++ …………………14分 解法二：
123
111111
11324
(2)
n S S S S n n ++++
=+++
⨯⨯⨯+
因为
1111()
(2)22
n n n n =-⨯++…………………12分
因此
12311111111324(2)n S S S S n n ++++=+++⨯⨯⨯+
111111111111111111111()()()()()()()2132242352462221122
n n n n n n =-+-+-+-++-+-+---++…………………13分
11113113(1)()122124124n n n n =+--=-+<<++++…………………14分 19.〔本小题总分值14分〕 解：〔1〕2()21f x x tx =-+的对称轴为x t =，…………………2分 开口向上，因此当3t ≤时，函数在[3,4]单调递增，…………………4分 当4t ≥时函数在[3,4]单调递减，…………………6分
因此假设()f x 在区间[3,4]为单调函数，那么实数t 的取值范围3t ≤或4t ≥……………7分
〔2〕2()21ln h x x x b x =-++的定义域为(0,)+∞……………8分
222()22b x x b h x x x x
-+'=-+=
，……………9分
令2()22g x x x b =-+，(0,)+∞，
因此()g x 在(0,)+∞的正负情况与()h x '在(0,)+∞的正负情况一致 ①当480b ∆=-≤时，即
12
b ≥
时，那么2()220g x x x b =-+≥在(0,)+∞恒成立，因此
()0h x '
≥在(0,)+∞恒成立，因此函数()h x 在(0,)+∞上为单调递增函数……………10分
②当480b ∆=->时，即
12
b <
时，令方程2()
220g
x x x b =-+=的两根为12,x x ，且 120
x x ==>
……………11分
〔i 〕当
110102
x b =>⇔>⇔<<
时，不等式2()220g x x x b =-+>解集为
11()
+-+∞，
2
()220 g x x x b
=-+<
解集为，因此()
h x
的单调增区间为
)
+∞
；
单调减区间为 (12)
分
(ii)
当
1
010
x b
=≤⇔≤⇔≤
时，不等式2
()220
g x x x b
=-+>解
集为
)
+∞
，2
()220
g x x x b
=-+<
解集为，因此()
h x的单
调增区间为
)
+∞
；单调减区间为……………13分
综上所述：当1
2
b≥
时，函数()
h x在(0,)
+∞上为单调递增函数
当1
2
b
<<
时，()
h x
的单调增区间为
)
+∞
；
单调减区间为
当0
b≤时，()
h x
的单调增区间为
)
+∞
；
单调减区间为……………14分
20.〔本小题总分值14分〕
解：(1)()
f x为奇函数，()()
f x f x
∴-=-，即
3232
ax bx cx d ax bx cx d
-+-+=----2
220
bx d
∴+=0
b d
∴==…………2分3
()
f x ax cx
∴=+，又因为在点(1,(1))
f的切线方程为32
y x
=-
(1)33
1,0
(1)1
f a c
a c
f a c
'=+=
⎧
∴⇒==
⎨
=+=
⎩
，3
()
f x x
∴=…………4分
(2)由题意可知：
222
12
1
()()
n
i n n
i
a a a a S
=
=+++=
∑
1
()
n
i
i
f a
=
=
∑3333
12123
()()()
n n
f a f a f a a a a a
+++=++++
因此33332
123n n
a a a a S
++++=……..…....①
由①式可得32
1111
,01
a a a a
=>⇒=………….5分
当2
n≥，33332
12311
n n
a a a a S
--
∴++++=………②
由①-②可得:
322
11
()n n n n n n a S S a S S --=-=+ {}n a 为正数数列212n n n n n a S S S a -∴=+=-…..③…………..6分
21112n n n a S a ---∴=-………..④ 由③-④可得:
22
11
n n n n a a a a ---=+ 10n n a a -+>,11n n a a -∴-=,{}n a ∴是以首项为1，公差为1的等差数列, (8)
分
*()n a n n N ∴=∈…………9分
〔注意：学生可能通过列举然后猜测出*()n a n n N ∴=∈，扣2分，即得7分〕
(3)
()n a n n N +=∈,12242(2)()n n n n b m m m n N ++∴=-⋅=--∈
令2(2)n t t =≥,
22()(2)n b t m m t ∴=--≥…………10分 (1)当2m ≤时,数列{}n b 的最小值为当1n =时,144n b b m ==-……….11分
(2)当2m >时
①假设*2(,2)k m k N k =∈≥时,数列
{}n b 的最小值为当n k =时,2k b m =- ②假设
1*
22(,2)
2
k k m k N k ++=∈≥时,数列{}n b 的最小值为,当n k =时或1n k =+ 221(2)k k k b b m m +==--
③假设
1*
222(,2)
2
k k k
m k N k ++<<∈≥时,数列{}n b 的最小值为,当n k =时,
22(2)k k b m m =--
④假设1
1
*
222
(,2)
2
k k k m k N k +++<<∈≥时,数列
{}n b 的最小值为,当1n k =+时
1221(2)k k b m m ++=--…………14分。